资源简介

第十七章 特殊平行四边形
1.[2023·广东深圳]如图,在□ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE.若四边形ECDF为菱形，则a的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2024·甘肃]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC 的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.[2023·湖北十堰]如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是 ( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线 BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
4.[2023·四川乐山]如图,菱形ABCD的对角线AC 与BD 相交于点O，E 为边BC 的中点,连接OE.若AC=6,BD=8,则OE= ( )
A.2 B. C.3 D.4
5.[2023·河北]如图,在 Rt△ABC 中,AB=4,M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若 则S△ABC= ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
6.[2023·浙江宁波]如图，以钝角三角形ABC的最长边 BC 为边向外作矩形BCDE, 连 接 AE, AD, 设 △AED,△ABE,△ACD 的面积分别为 S,S ,S .若要求出 的值，只需知道( )
A.△ABE的面积
B.△ACD的面积
C.△ABC的面积
D.矩形 BCDE 的面积
7.[2023·山东临沂]若菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8，则该菱形的面积为 .
8.[2023·广东]如图,边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上，则图中阴影部分的面积为 .
9.[2023·黑龙江牡丹江]如图，在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 A,B在x轴上,AB=2,A(1,0),∠DAB=60°.将菱形 ABCD绕点 A 旋转 90°后,得到菱形 AB C D ,则点 C 的坐标为
10.[2023·陕西A卷]如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在边AD 上,且ED=3,M,N分别是边AB,BC上的动点,且 BM=BN,P 是线段CE 上的动点,连接 PM,PN.若PM+PN=4，则线段PC的长为 .
11.[2023·云南]如图,在 ABCD 中,AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线,且点 E,F分别在边 BC,AD上,AE=AF.
(1)求证:四边形AECF 是菱形;
(2)若∠ABC=60°,△ABE 的面积为 ，求平行线AB与DC 间的距离.
12.[2023·浙江绍兴]如图,在正方形ABCD 中,G是对角线 BD 上的一点(不与点 B,D重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足,连接EF,AG,并延长AG交EF 于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH 与EF 是否垂直，并说明理由.
13.[2023·山西]阅读与思考
下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
如图1，我们知道，在四边形ABCD中，若E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,AD的中点,顺次连接点 E,F,G,H,E,得到的四边形 EFGH 是平行四边形.
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varignon, Pierre 1654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明，证明过程如下：
证明:如图2,连接AC,分别交 EH,FG于点 P,Q,过点 D 作 DM⊥AC 于点M,交 HG于点N.
∵H,G分别是AD,CD的中点,
(依据1)
∵四边形 EFGH 是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE∥GF,即HP∥GQ.
∵HG∥AC,即HG∥PQ,
∴四边形 HPQG是平行四边形，(依据2)
同理……
任务：(1)材料中的依据1是指： ；依据2是指: .
(2)请用刻度尺、三角尺等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形 EFGH 为矩形(要求同时画出四边形 ABCD 的对角线).
(3)在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形 EFGH的周长与对角线AC，BD 长度的关系，并证明你的结论.
第十七章 特殊平行四边形
1. B ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,CE∥FD,CD=AB=4.
∵将线段AB水平向右平移得到线段FE，
∴AB∥EF∥CD,
∴四边形ECDF为平行四边形.
当CD=CE=4时,四边形ECDF为菱形,此时a=BE=BC-CE=6-4=2.
2. C ∵四边形 ABCD为矩形,对角线AC,BD相交于点O，
∴OA=OB=OC=OD.
∵∠ABD=60°,AB=2,
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=OB=OC=OD=2,
∴AC=OA+OC=4.
3. C 向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，故A选项不符合题意；
此时对角线BD的长度减小，对角线 AC的长度增大，故B选项不符合题意；
边BC上的高减小，所以面积变小，故C选项符合题意；
四边形的四条边长度不变，所以周长不变，故D选项不符合题意.
4. B ∵四边形ABCD是菱形,
∵AC=6,BD=8,∴OC=3,OB=4,
∵E为边BC的中点，
5. B ∵四边形 AMEF是正方形,∴AM =16,∴AM=4.
在Rt△ABC中,∵M是斜边BC的中点,
即BC=2AM=8,
在 Rt△ABC中, 4
6. C 如图,过点A 作AG⊥ED 于点G,交 BC 于点F.
∵四边形 BCDE 是矩形,
∴∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°,BC∥ED,BC=ED,BE=CD,
∴四边形 BFGE是矩形,∠AFB=∠FGE=90°,
∴FG=BE=CD,AF⊥BC,
∴只需知道 S△ABC，就可求出 的值.
7.24 菱形的面积为
8.15 如图.
∵BF∥DE,∴△ABF∽△ADE,∴AD=BE.
∵AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,
∴ =BF ,∴BF=2,∴GF=6-2=4.
∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴AD=DE.
∵AC=4+6=10,AD=20,DE=10,
∴ = ,∴CK=5,∴HK=6-5=1.
故阴影部分的面积为 (1+4)×6=15.
或 ∵菱形ABCD的顶点A,B在x轴上,AB=2,A(1,0),∠DAB=60°,∴AD=AB=BC=CD=2,边AB上的高是 ∴点C 的纵坐标为±3，横坐标为
∴点C 的坐标为 或
10.2 如图,过点 P 分别作PF⊥DC,PG⊥BC,PH⊥AB,垂足分别为F,G,H.
∵DE=CD=3,∠D=90°,∴∠ECD=45°,
∴∠ECB=45°,∴PG=CG.
∵PF⊥DC,PG⊥BC,∠BCD=90°,
∴四边形 PFCG 为矩形,
∴PF=CG,∴PG=PF.
∵PM≥PH,PN≥PG,
∴PM+PN≥PH+PG=PH+PF=4.
∵PM+PN=4,
∴PM与PH 重合,PN与PG 重合.
又∵BM=BN,
∴四边形 PHBG为正方形，
∴PH=PG=2,∴PC=2
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC.
∵AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线,
∠DCF= ∠BCD,∴∠DAE=∠BCF.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BCF=∠AEB,∴AE∥FC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形.
(2)如图,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=EB.
∵∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE=∠AEB=∠ABE=60°.
∵△ABE的面积为
∴AB=4,
即AB=AE=EB=4.
(1),知四边形AECF是菱形,
∴AE=CE=4,∠EAC=∠ECA.
∵∠AEB是△AEC的一个外角,
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°,
∴∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,即AC⊥AB.
在 Rt△ABC 中, 由勾 股 定 理, 得 AC = 即平行线AB与DC 间的距离为4
12.解:(1)证明:在正方形 ABCD 中,AD⊥CD,GE⊥CD,
∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,
∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH与EF 垂直.理由如下:如图,连接GC交EF 于点O.
∵BD为正方形ABCD 的对角线,
∴∠ADG=∠CDG=45°.
∵DG=DG,AD=CD,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°.
∵GE⊥CD,GF⊥BC,
∴四边形 FCEG为矩形,∴OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,
∴∠DAG=∠OEC.
由(1),得∠DAG=∠EGH,
∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH +∠GEH = ∠OEC +∠GEH =∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
13.解：(1)三角形中位线定理 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)如图所示.(答案不唯一)
(3)瓦里尼翁平行四边形 EFGH 的周长等于对角线AC 与BD 长度的和.
证明:∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,AD的中点，
BD,
∴瓦里尼翁平行四边形 EFGH的周长为EF+ AC+BD.

展开更多......

收起↑