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第十四章 相似
1.[2023·广东]我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了 ( )
A.黄金分割数 B.平均数
C.众数 D.中位数
2.[2023·吉林]如图,在△ABC 中,点 D在边AB上,过点 D 作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则 的值是( )
A. B. C. D.
3.[2023·四川遂宁]在方格图中，以格点为顶点的三角形叫格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为 ( )
A.(-1,0) B.(0,0)
C.(0,1) D.(1,0)
4.[2023·陕西 A 卷]如图,DE 是△ABC的中位线,点 F在DB 上,DF=2BF,连接EF 并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为( )
A. 2 B.7 C. 2 D.8
5.[2023·湖北仙桃]如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点 D 在边AC 上,且 BD 平分△ABC 的周长,则BD的长是 ( )
A. B.
6.[2023·浙江嘉兴]如图,点 P 是△ABC的重心,D是边AC的中点,PE∥AC交BC 于点E,DF∥BC交EP 的延长线于点F.若四边形 CDFE 的面积为6，则△ABC的面积为 ( )
A.12 B.14 C.18 D.24
7.[2024·江苏扬州]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设 AB=36cm, ，小孔O到AB 的距离为30cm,则小孔 O 到 A′B′的距离为 cm.
8.[2023·山东临沂]如图，在三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与 BC,AC平行的方向，在边 AB 上从靠近点A的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 .
9.[2023·黑龙江绥化]如图，在平面直角坐标系中,△ABC 与△AB'C'的相似比为1:2,点A 是位似中心.已知点A(2,0),C(a,b),∠C=90°,则点 C'的坐标为 .(结果用含a，b的式子表示)
10.[2023·湖南常德]如图1,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB 上一点,且AD=2,过点D作DE∥BC交AC 于点E,将△ADE 绕点 A 顺时针旋转到如图2 所示的位置，则图2中 的值为 .
11.[2023·湖南湘潭]如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD 是斜边 BC 上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
12.[2023·湖北仙桃]如图,点 E,F 分别在AB,CD 上,将边长为 3 的正方形ABCD 沿直线EF 折叠,使点 B 的对应点M 落在边AD 上(点 M不与点A,D重合)，点C 的对应点落在点 N 处，MN与CD 相交于点P,连接BM.
(1)求证:∠AMB=∠BMP;
(2)若DP=1,求MD的长.
1. A
2. A ∵DE∥BC,
3. A如图.
∠MDE=2α.
∵∠C=α,∴∠DEC=∠MDE-∠C=α,
∴∠C=∠DEC,∴DE=DC,
∴DM=DC,即 D是MC的中点.
(2)∠AEF=90°.
证明:如图,延长FE到点H,使EH=FE,连接CH,AH,AF.
∵DF=DC,∴DE是△FCH的中位线,
∴DE∥CH,CH=2DE.
由旋转的性质,得DM=DE,∠MDE=2α,
∴∠FCH=2α.
∵∠B=∠ACB=α,
∴AB=AC,∠ACH=α,
∴∠B=∠ACH.
设DM=DE=m,DC=n,则CH=2m,CM=m+n,DF=DC=n,
∴FM=DF--DM=n-m.
∵AM⊥BC,∴BM=CM=m+n,
∴BF=BM--FM=m+n--(n--m)=2m,
∴CH=BF.
在△ABF和△ACH中,
∴△ABF≌△ACH(SAS),
∴AF=AH.
∵FE=EH,
∴AE⊥FH,即∠AEF=90°.
△ABC与△DEF 的对应顶点的连线相交于点(--1,0),则位似中心的坐标为(-1,0).
4. C ∵DE是△ABC的中位线,
∴△DEF∽△BMF,
5. C 在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长,
∴AB+AD=BC+CD=6,
∴AD=3,CD=2.
如图,过点 D作DE⊥BC于点E,
∴AB∥DE,∴△CDE∽△CAB,
6. C如图,连接 BD.
∵点 P 是△ABC的重心,D是边AC的中点,
∴点 P在BD上,
∴BP:PD=2:1.
∵DF∥BC,∴△DFP∽△BEP,
∵EF∥AC,∴△BEP∽△BCD,
设△DFP的面积为m,则△BEP 的面积为4m,△BCD的面积为9m.
∵四边形CDFE的面积为6，
∴m+9m-4m=6,
解得m=1,
∴△BCD的面积为9,∴△ABC的面积为18.
7.20 设小孔O到A'B'的距离为x 由题意,得△ABO∽△A'B'O,则 解得x=20.
8.14 如图.
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形 DECF 为平行四边形,△ADE∽△ABC,△BDF∽△BAC,
∵AC=6,BC=9,∴DE=3,DF=4,
∴平行四边形纸片的周长是2×(3+4)=14.
9.(6-2a,-2b) 如图,过点C作CM⊥AB于点M,过点C'作C'N⊥AB'于点N,则∠AMC=∠ANC'=90°.
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1:2,
∵∠CAM=∠NAC',∴△ACM∽△AC'N,
∵点A(2,0),C(a,b),
∴OA=2,OM=a,CM=b,∴AM=a--2,
∴ON=AN-OA=2a-6,
∴点C'的坐标为(6-2a,-2b).
10. ∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
即
由旋转的性质,知∠DAB=∠EAC,
11.解:(1)证明:∵AD是斜边BC 上的高,
∴∠BDA=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC.又∵∠B为公共角,∴△ABD∽△CBA.
(2)由(1),知△ABD∽△CBA,
12.解:(1)证明:由折叠的性质可知∠EBC=∠EMN,BE=ME,∴∠EBM=∠EMB,
∴∠EBC-∠EMN-∠EMN-∠EMB,即∠MBC=∠BMP.
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,
∴∠MBC=∠AMB,∴∠AMB=∠BMP.
(2)设 MD=x,AE=y,则 AM=3-x,EB=EM=3-y.
在 Rt△AEM中,
即
∵∠ABC=∠EMN=90°,
∴∠AME+∠DMP=90°.
又∵∠AEM+∠AME=90°,
∴∠AEM=∠DMP.
∵∠A=∠D,
∴△AEM∽△DMP,
即
解得
∴MD的长为

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