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第十三章 三角形
1.[2023·福建]若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是 ( )
A.1 B.5 C.7 D.9
2.[2023·湖南株洲]一名技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD= ( )
A.3. 5cm B. 3cmC.4. 5cm D.6 cm
3.[2023·贵州]5月26 日,2023中国国际大数据产业博览会在贵阳开幕.在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高为 ( )
A.4m B.6m C.10m D.12m
4.[2023·吉林长春]如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.其依据的数学基本事实是 ( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D.两点之间，线段最短
5.[2023·广东深圳]商场某品牌椅子的侧面示意图如图所示,∠DEF=120°,DE与地 面 AB 平行,∠ABD = 50°,则∠ACB= ( )
A.70° B.65° C.60° D.50°
6.[2023·四川凉山州]如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE 的是 ( )
A.∠A=∠D
B.∠AFB=∠DEC
C. AB=DC
D. AF=DE
7.[2023·北京]如图,点A,B,C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点 D，E在直线AC的同侧,AB①a+b上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
8.[2024·四川宜宾]如图,在△ABC中,AB=3 ,AC = 2,以 BC 为边作Rt△BCD,BC=BD,点 D 与点A 在BC的两侧，则AD的最大值为 ( )
C.5 D.8
9.[2023·广西]如图,在边长为2 的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD 上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN 的最大值为 .
10.[2023·重庆 A 卷]如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC上一点,连接AD,过点 B作BE⊥AD于
点E,过点C作CF⊥AD交AD 的延长线于点 F.若BE=4,CF=1,则 EF的长为 .
11.[2024·新疆]如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点 D在直线 AB 上(不与点 A,B 重合),且∠BCD=30°,则AD 的长为 .
12.[2023·四川广安]如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm且与蜂蜜相对的点 B处，则蚂蚁从外壁点 B 处爬行到内壁点A 处的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
13.[2023·江苏苏州]如图,在△ABC中,AB=AC,AD 为△ABC 的角平分线.以点A 圆心，AD 的长为半径画弧，与AB,AC 分别交于点 E, F, 连接DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF;
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
14.[2024·山东威海]【感悟】如图1,在△ABE中,点 C,D 在边 BE 上,AB=AE,BC=DE.求证:∠BAC=∠EAD.【应用】(1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D,E(点 D 在点E 的左侧),使得∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法，保留作图痕迹).
15.[2023· 北京]如图, 在 △ABC 中, 于点M，D是线段MC 上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE.
(1)如图1,当点 E 在线段AC 上时,求证：D是MC的中点；
(2)如图2,若在线段 BM 上存在点 F(不与点 B,M重合)满足 DF=DC,连接AE,EF,直接写出∠AEF 的度数,并证明.
第十三章
1. B 根据三角形的三边关系定理，得4-3解得12. B 由题图可得,∠ACB=90°,AB=7--1=6(cm).
∵D为边AB的中点，
3. B 如图,过点A作AD⊥BC于点D.
在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,
∵AD⊥BC,
4. A ∵O为AA',BB'的中点,
∴OA=OA',OB=OB',
由对顶角相等,得∠AOB=∠A'OB'.
在△AOB和△A'OB'中,
∴△AOB≌△A'OB'(SAS),
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.
10.120 ∵∠A的补角为60°,
11.105 ∵AB∥DE,∴∠BDE=∠B=30°,∴∠CDF=180°--∠EDF--∠BDE=180°-
12.55 ∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
由作图可知，AE垂直平分BC，
∴AE是∠BAC的平分线,
13.解：(1)补全图形如图所示.
(2)∠BON ∠ONM 等边对等角 内错角相等，两直线平行
三角形
5. A ∵DE∥AB,∠ABD=50°,
∴∠D=∠ABD=50°.
∵∠DEF=120°,且∠DEF是△DCE的外角,
∴∠DCE=∠DEF-∠D=70°,
∴∠ACB=∠DCE=70°.
6. D ∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
当∠A=∠D 时,利用“AAS”可证明△ABF≌△DCE，故 A选项不符合题意；
当∠AFB=∠DEC时, 利 用“ASA”可 证 明△ABF≌△DCE,故B选项不符合题意;
当AB=DC时,利用“SAS”可证明△ABF≌△DCE，故C选项不符合题意；
当AF=DE时,无法证明△ABF≌△DCE,故D选项符合题意.
7. D 如图,过点 D作DF∥AC,交AE于点 F,过点B作BG⊥DF于点G.
∵DF∥AC,∠A=90°,∴DF⊥AE.
∵BG⊥DF,∴BG∥AE,
∴四边形ABGF为矩形.
同理，可得四边形 BCDG也为矩形，
∴DF=FG+GD=a+b.
在 Rt△EFD中,c>a+b,故①正确.
∵△EAB≌△BCD,∴AE=BC=b,
∴在 Rt△EAB中,
∵AB+AE>BE,
，故②正确.
∵△EAB≌△BCD,
∴∠AEB=∠CBD,BE=BD.
∵∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠CBD+∠ABE=90°,∴∠EBD=90°.
∵BE=BD,∴∠BED=∠BDE=45°,
故③正确.
8. D 如图,将 BA 绕点 B 顺时针旋转 90°,得到BE,连接AE,DE,∴BE=AB,∠ABE=90°,
∵∠DBC=90°=∠EBA,∴∠DBE=∠CBA.
又∵BD=BC,AB=BE,
∴△DBE≌△CBA(SAS),∴DE=AC=2.在△ADE中,AD∴当A，D，E三点共线时，AD取最大值，
∴AD的最大值为6+2=8.
9. 如图，连接AE.
∵M,N分别是EF,AF的中点,
∴MN是△AEF的中位线,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,
∴当 BE最大时,AE 最大,此时MN 最大.
∵E是BC上的动点，
∴当点E和点C 重合时,BE 最大,即BE=2,此时
∴MN的最大值为
10.3 ∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BEA=∠AFC=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠ABE=∠FAC.
在△ABE和△CAF中,
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴BE=AF,AE=CF.
∵BE=4,CF=1,∴AF=4,AE=1,
∴EF=AF-AE=4-1=3.
11.6或12 在Rt△ABC中,∠A=30°,
当点 D在点B 的左上方时，如图所示.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.
又∵∠BCD=30°,
∴AD=8+4=12.
当点 D在点B 的右下方时，如图所示.
易得∠ABC=60°,∠BCD=30°,∴∠CDA=90°.
在Rt△BCD中,∠BCD=30°,∴BD= ×4=2,∴AD=8-2=6.
综上所述，AD的长为6或12.
12.10 圆柱形玻璃杯的部分侧面展开图如图所示,作点 B关于EF 的对称点 B',连接 B'A,则B'A的长度即为蚂蚁从外壁点B 处爬行到内壁点A 处的最短路程.
过点 B'作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D.
由题意，得 5(cm),BF=B'F=DE=1 cm,
∴AD=AE+DE=6cm,
13.解:(1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.
由题意,得AE=AF.
在△ADE和△ADF中 ∴△ADE≌△ADF(SAS).
(2)∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线,AB=AC,
由题意,得AE=AD,∴∠AED=∠ADE,
14.解:【感悟】过点A作AH⊥BE于点H(图略).
∵AB=AE,BC=DE,∴BH=EH,CH=DH,
∴∠BAH=∠EAH,∠CAH=∠DAH,
∴∠BAC=∠EAD.
【应用】(1)如图1,点 D,E 即为所求.
(2)如图2,点 D,E即为所求.
15.解：(1)证明：由旋转的性质，得

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