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第十一章 二次函数
1.[2023·湖南株洲]如图所示，直线l为二次函数 的图象的对称轴，则下列说法正确的是 ( )
A. b恒大于0 B. a,b同号
C. a,b异号 D.以上说法都不对
2.[2023·四川南充]若点 P(m,n)在抛物线 上，则下列各点在抛物线 上的是 ( )
A.(m,n+1) B.(m+1,n)
C.(m,n--1) D.(m-1,n)
3.[2024·陕西 A卷]已知二次函数y= 的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … 0 3 5
y … 0
下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向上
B.当x>0时，y随x的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是x=1
4.[2024·四川凉山州]抛物线 经过(--2,y ),(0,y ),( ,y )三点，则y ，y ，y 的大小关系正确的是( )
5.[2024·四川眉山]定义运算“ ”:a b=(a+2b)(a-b).例如,4 3=(4+2×3)(4-3),则函数y=(x+1) 2的最小值为 ( )
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
6.[2023·四川泸州]已知二次函数 y= (其中x是自变量)，当0A.0B. a<-1或a>3
C.-3D.-1≤a<0或07.[2023·山东枣庄]二次函数 bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴是直线x=1,有下列结论:①abc<0;②方程 必有一个根大于2且小于3；③若((0,y ),( ,y )是抛物线上的两点，则y 0;⑤对于任意实数m,都有m(am+b)≥a+b，其中正确结论的个数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
8.[2023·湖南郴州]已知抛物线 6x+m与x轴有且只有一个交点，则m= .
9.[2023·湖北襄阳]如图，一位篮球运动员投篮时，篮球从点 A 出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是 下列说法正确的是 (填序号).
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m ;
②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m.
10.[2023·黑龙江牡丹江]将抛物线 y= 向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.
11.[2024·新疆]如图,抛物线 4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点 C 在点 D 下方),且 CD=3.当AD+BC的值最小时，点 C 的坐标为
12.[2023·北京]在平面直角坐标系xOy中，M(x ,y ),N(x ,y )是抛物线y= 上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t.
(1)若对于 有 求t的值；
(2)若对于 都有y 13.[2023·辽宁本溪]商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x/元 … 50 60 70 …
月销量y/台 … 90 80 70
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)当护眼灯的销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月销售利润为多少元
14.[2022·山东聊城]如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3),对称轴为x=-1,顶点为D.
(1)求二次函数的解析式.
(2)连接DA,DC,CB,CA,如图1所示,求证:∠DAC=∠BCO.
(3)如图2,延长DC交x轴于点M,平移二次函数 的图象，使顶点 D 沿着射线DM 方向平移到点D 且 ,得到新抛物线 y ,y 交 y轴于点 N.如果在 y 的对称轴和y 上分别取点 P,Q,使以 MN 为一边,M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标.
15.[2024·甘肃临夏州]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C，作直线 BC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1，P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作PQ⊥BC，垂足为Q，线段 PQ是否存在最大值 若存在，请求出最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)如图2，M是直线BC 上一动点，过点 M 作线段MN∥OC(点 N 在直线BC下方),已知MN=2,若线段MN与抛物线有交点，请求出点 M 的横坐标xM的取值范围.
1. C ∵直线l为二次函数 的图象的对称轴，
∴a,b异号.
解析式为y=x+1，反比例函数的解析式为
(2)把x=0代入y=x+1,得y=1,∴B(0,1).把y=1代入 解得x=6,∴C(6,1),
∴BC=6,
13.解:(1)∵点A(m,4)在反比例函数 的图象上， 解得：m=1,∴A(1,4).
∵点A(1,4),C(0,3)都在一次函数y= kx+b的图象上，
解得 ∴一次函数的解析式为y=x+3.
(2)在y=x+3中,令y=0,得x=-3,
∴B(-3,0),∴OB=3.
∵C(0,3),∴OC=3.
如图，当点P在第三象限时，过点A作AH⊥y轴于点 H,过点 P作 PD⊥x轴于点 D,∴AH=1.
即 解得 PD=2,∴点 P 的纵坐标为-2.
同理可得，当点 P在第一象限时，点P 的纵坐标为2.
将y=2 或 y=-2 代入 得x=2或x=-2,
∴点 P 的坐标为(2,2)或(-2,-2).
2. D ∵点 P(m,n)在抛物线 上，
把x=m代入 得 ∴点(m,n+1)不在抛物线. 上，故A不符合题意；
把x=m+1代入 得 ∴点(m+1,n)不在抛物线 上，故B不符合题意；
把x=m代入. 得 ∴点(m,n-1)不在抛物线. 上，故C不符合题意；
把x=m-1代入y=a(x+1) ,得( ∴点(m-1,n)在抛物线. 上，故D符合题意.
3. D由题意，得 解得 所以二次函数的解析式为
因为a=-1<0,
所以图象的开口向下.故A 选项不符合题意.
因为
所以当x>1时，y随x的增大而减小.故B选项不符合题意.
令y=0,得 解得
所以图象与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0).
又因为图象的顶点坐标为(1，1)，
所以图象经过第一、三、四象限.故C选项不符合题意.
因为二次函数解析式为
所以图象的对称轴是x=1.故D选项符合题意.
∴抛物线开口向上，对称轴是x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小.
关于直线x=1的对称点是(
5. B 由题意,得y=(x+1) 2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x+5)(x-1),
即
∴函数y=(x+1) 2的最小值为-9.
6. D 二次函数 的图象的对称轴是
当a>0时,令x=1,则a-2a+3>0,解得a<3,∴0当a<0时,令x=3,则9a-6a+3≥0,
解得a≥-1,∴-1≤a<0.
综上所述，a的取值范围为--1≤a<0或07. C 根据题图可知,a>0,c<0.
∵对称轴是直线x=1，
即(b=-2a,∴b<0,
∴abc>0,故①错误.
方程 的根，即为二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标.
根据题图可知一个交点横坐标x 的取值范围为 ，且两个交点关于直线x=1对称，
∴另一个交点横坐标x 的取值范围为
3,故②正确.
∵对称轴是直线x=1，
∴点 离对称轴更近,∴y >y ,故③错误.
令x=-1,由题图可知,y=a+2a+c=3a+c>0,∴6a+2c>0.
∵a>0,∴lla+2c>0,故④正确.
证明 a-2a=-a恒成立,
即证 恒成立.
∴对于任意实数m,都有m(am+b)≥a+b,故⑤正确.
综上所述，②④⑤正确.
8.9 ∵抛物线 与x轴有且只有一个交点，
∴方程 有两个相等的实数根，即
解得m=9.
9.①
10.2或4 抛物线y=(x+3) 向下平移1个单位长度后的抛物线l的解析式为. 设抛物线l向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y=
∵新抛物线经过原点,∴当x=0时,y=0,
解得h=2或h=4.
(4,1) 如图,作点 A 关于对称轴的对称点A',将点 A'向下平移3个单位长度，得到点 A"，连接A"B，交对称轴于点 C，此时AD+BC的值最小,AD+BC=A"B.
在 中,令x=0,则y=6,∴A(0,6).
令y=0,则 解得x=2或x=6,∴B(2,0).
∵抛物线的对称轴为 ∴A'(8,6),∴A"(8,3).
设直线 A"B 的函数解析式为y=kx+b.将A"(8,3),B(2,0)代入,得 解得
∴直线A"B的函数解析式为 当x=4时,y=1,∴C(4,1).
12.解:(1)∵对于 有 ∴a+b+c=4a+2b+c,∴3a+b=0,
∵对称轴
∴点M(x ,y )离对称轴更近，
13.解:(1)设y与x之间的函数解析式为y= kx+b(k≠0)。
由题表,知当x=50时,y=90;当x=60时,y= 解得
∴y与x之间的函数解析式为y=-x+140(40≤x≤80).
(2)设月销售利润为W元，
则 W=(x-40)y=(x--40)(-x+140).
整理，得 2500(40≤x≤80).
∵--1<0,
∴当x≤90时，W随x的增大而增大，
∴当x=80时,W有最大值,且最大值为2400.答：当护眼灯的销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月销售利润为2400元.
14.解:(1)由题意,得 解得
∴二次函数的解析式为
(2)证明:∵当x=-1时,y=-1-2×(-1)+3=4,∴D(-1,4).
令 解得
∴A(-3,0),B(1,0),∴AD =20.
∵C(0,3),∴CD =2,AC =18,
∴AC +CD =AD ,∴∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCO.
(3)如图,过点 D 作DE⊥y轴于点E,过点 D 作D F⊥y轴于点F,
∴DE∥FD ,DE=CE=1,
∴△D FC∽△DEC,
2CE=2,∴D (2,1),
∴y 的解析式为
当x=0时,y=-3,∴N(0,-3).
同理可得 ∴OM=3,∴M(3,0).
设P(2,m).
当四边形MNQP 是平行四边形时，MN∥PQ,PQ=MN,
∴点Q的横坐标为-1.
当x=-1时, ∴Q(-1,-8);
当四边形 MNPQ是平行四边形时，
同理可得，点Q的横坐标为5，
当x=5时,
∴Q(5,-8).
综上所述,点Q的坐标为(-1,-8)或(5,-8).
15.解:(1)°。抛物线. 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
解得 抛物线的解析式为
(2)存在.
如图,过点 P 作 PN⊥AB 于点 N,交 BC 于点M.
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线 BC的函数解析式为y=-x+3.
∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠CBO=45°.
∵∠MNB=90°,
∴∠PMQ=∠NMB=45°.
∵PQ⊥BC,
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴当PM的值最大时，PQ的值最大，设 ,则 M(m,-m+3),
∵--1<0,
∴当 时，PM 的值最大，PM的最大值为
∴PQ的最大值为 此时点P(
(3)设M(a,-a+3),则N(a,-a+1),当点N在抛物线上时，
解得
。线段MN与抛物线有交点，
∴满足条件的点 M 的横坐标的取值范围为 或

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