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第二十一章 尺规作图与无刻度直尺作图
1.[2022·山东德州]在△ABC中,根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC的大小关系的是 ( )
2.[2024·四川自贡]如图,以点A 为圆心,适当的长为半径画弧，交∠A 的两边于点M,N,再分别以点 M,N为圆心,AM的长为半径画弧，两弧交于点 B，连接MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
3.[2023·天津]如图,在△ABC中,分别以点A 和点C 为圆心，大于 AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于 M，N两点，直线 MN 分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
4.[2023·内蒙古通辽]下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°.
求作:Rt△ABC的外接圆.
作法：如图2.
(1)分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于 P，Q两点；
(2)作直线PQ,交AB于点O;
(3)以点O为圆心,OA 为半径作⊙O.
⊙O即为所求作的圆.
4.下列不属于该尺规作图的依据的是( )
A.两点确定一条直线
B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
5.[2023·山东枣庄]如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=30°,以点 A 为圆心,AB的长为半径作弧交AC 于点 D，连接BD，再分别以点 B，D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论不正确的是 ( )
A. BE=DE B. AE=CE
C. CE=2BE
6.[2024·黑龙江齐齐哈尔]如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点 H，画射线 OH.若H(2a-1,a+1),则a= .
7.[2023·四川成都]如图,在△ABC中,D是边AB 上一点，按以下步骤作图：
①以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点M,N;
②以点D 为圆心，AM的长为半径作弧，交DB于点M';
③以点 M'为圆心，MN 的长为半径作弧，在∠BAC 的内部交②中的弧于点 N';
④过点 N'作射线DN'交BC 于点E.
若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21,则 的值为 .
8.[2023·四川广元]如图,a∥b,直线l与a,b分别交于B,A两点,分别以点 A,B为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 E，F，作直线 EF，分别交直线a,b于点C,D,连接AC.若∠CDA=34°,则∠CAB 的度数为 .
9.[2023·湖北荆州]如图,∠AOB=60°,点C在OB 上,( ,P为∠AOB内一点.根据图中的尺规作图痕迹推断，点P 到OA 的距离为 .
10.[2023·山东东营]如图,在△ABC中,以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC,BC于点D,E,再分别以点D,E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点 F，作射线CF交AB 于点G.若AC=9,BC=6,△BCG的面积为8,则△ACG的面积为 .
11.[2024·山东滨州]如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B均在格点上.
(1)AB的长为 ;
(2)请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以 AB 为边的矩形ABCD，使其面积为 ，并简要说明点C，D的位置是如何找到的(不用证明)： —— 。
12.[2023·广东]如图,在□ABCD 中,∠DAB=30°.
(1)实践与操作：过点 D 作边AB 上的高DE(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求 BE的长.
13.[2023·江苏连云港]如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边AC 于 点 D, 连接 BD, 过点 C 作CE∥AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 B 作⊙O的切线，交CE于点F(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)；
(2)在(1)的条件下,求证:BD=BF.
14.[2023·湖北武汉]如图,在由边长为1的小正方形组成的8×6网格中，每个小正方形的顶点叫做格点.正方形ABCD的四个顶点都是格点，E 是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)在图1中，先将线段BE绕点 B顺时针旋转90°，画出对应线段 BF，再在CD上画点G,并连接BG,使∠GBE=45°;
(2)在图2中，M是BE 与网格线的交点，先画点 M关于BD 的对称点 N，再在 BD 上画点 H,并连接 MH,使∠BHM=∠MBD.
1. D A.由作图痕迹，知在 AC上截取线段等于AB,则AC>AB,所以A选项不符合题意.
B.由作图痕迹，知在射线 AB 上截取线段等于AC,则AC>AB,所以B选项不符合题意.
C.由作图痕迹，知作 BC的垂直平分线把AC 分成两条线段.根据三角形的三边关系可知这两条线段的和大于AB，则AC>AB，所以C选项不符合题意.
D.由作图痕迹，知作AC的垂直平分线把BC 分成两条线段.根据三角形的三边关系可知这两条线段的和大于AB，则 BC>AB，不能判断AB与AC 的大小关系，所以D选项符合题意.
2. A 由作图过程可知AM=AN=MB=NB,
∴四边形AMBN是菱形，
∴∠MBN=∠A=40°.
3. D 由题意，得MN是线段AC 的垂直平分线，
∴AC=2AE=8,AD=DC,∴∠DAC=∠C.
∵BD=DC,∴BD=AD,
∴∠B=∠BAD.
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,
∴2∠BAD+2∠DAC=180°,
∴∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠BAC=90°.
在Rt△ABC中,BC=BD+DC=2AD=10,
4. D
5. D 连接 PB,PD(图略).
由作图方法,得AB=AD,PB=PD,
∴AP垂直平分线段BD，
∴BE=DE,∴A选项不符合题意.
∵∠ABC=90°,∠C=30°,∴∠BAC=60°.
∵AB=AD,AP⊥BD,∴AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,
∴∠CAE=∠C,
∴AE=CE,∴B选项不符合题意.
在Rt△ABE中,∠BAE=30°,
∴AE=2BE,
∴CE=2BE,∴C选项不符合题意.
在 Rt△ABC中,∠C=30°,
∴AC=2AB.
∵AD=AB,∴AD=CD,
∴D选项符合题意.
6.2 由作图过程可知OH 为∠MON 的平分线,∴∠MOH=45°,∴2a-1=a+1,解得a=2.
7. 由作图方法,知∠A=∠BDE,∴DE∥AC,
8.56° 由作图方法可知CD垂直平分线段AB，∴CA=CB,∴∠CAB=∠CBA.
∵CD⊥AB,
∴∠ACD=∠BCD.
∵a∥b,∴∠CDA=∠BCD=34°,
∴∠ACB=2∠BCD=68°,
9. 由 作图痕迹，知PE垂直平分线段OC，OP平分∠AOB,
∵∠AOB=60°,
∴点 P 到OA 的距离为1.
10.12 如图,过点G作GM⊥AC于点M,GN⊥BC于点 N.
由作图方法可知CG平分∠ACB.
∵GM⊥AC,GN⊥BC,
∴GM=GN.
11.(1) (2)取点 E,F,得到正方形 ABEF,AF交格线于点D，BE 交格线于点C，连接DC，得到矩形 ABCD，即为所求 (1)由题图可得，
(2)如图,取点 E,F,令. 得到正方形ABEF，
∴正方形ABEF的面积为 如图，AF交格线于点D，BE交格线于点C，.连接DC,得到矩形ABCD.
∴矩形ABCD的面积为
故矩形 ABCD即为所求.
12.解:(1)如图,DE 即为所求.
∴BE=AB-AE=6-2
13.解：(1)如图，直线BF 即为所求作的切线.
(2)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵AB∥CE,∴∠ABC=∠BCF,
∴∠BCF=∠ACB.
∵点D在以AB 为直径的圆上，
∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°.
∵BF为⊙O的切线,∴∠ABF=90°.
∵AB∥CE,
∴∠BFC+∠ABF=180°,
∴∠BFC=90°,
∴∠BDC=∠BFC.
在△BCD和△BCF中,
∴△BCD≌△BCF(AAS),∴BD=BF.
14.解:(1)如图1,线段 BF,点G和线段 BG 即为所求.
∵BC=BA,CF=AE,∠BCF=∠BAE=90°,
∴△BCF≌△BAE(SAS),
∴∠CBF=∠ABE,
∴∠FBE=∠CBF+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=90°,
∴线段 BE 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段BF.
∵PE∥FC,
∴∠PEQ=∠CFQ,∠EPQ=∠FCQ.
∵PE=FC,
∴△PEQ≌△CFQ(ASA),
∴EQ=FQ,
(2)如图2所示，点N，H和线段MH 即为所求.
∵BC=BA,∠BCK=∠BAE=90°,CK=AE,
∴△BCK≌△BAE(SAS),
∴BK=BE.
∵DK=DE,
∴BK与BE 关于BD 对称.
∵BN=BM,
∴点M,N关于BD 对称.
∵PE∥KL,
∴△POE∽△LOK,
∵MR∥AE,
∵∠MEO=∠BEK,∴△MEO∽△BEK,
∴∠EMO=∠EBK,
∴OM∥BK,
∴∠BHM=∠KBH.
由轴对称的性质可得∠KBH=∠EBH,
∴∠BHM=∠MBD.

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