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广东省六校2025届高三下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线两个焦点，，焦距为，为曲线上一点，，则( )
A. B. 或 C. D.
4.数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5.已知向量，向量在上的投影向量，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是( )
A. 函数的一个对称中心为 B.
C. 函数为周期函数，且一个周期为 D.
7.已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校名学生参加数学竞赛，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的值为
B. 估计这名学生数学考试成绩的众数为
C. 估计总体中成绩落在内的学生人数为
D. 估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为
10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则下列结论中正确的是( )
A. 点关于轴的对称点在直线上
B. 若，平分，则
C. 若，则抛物线上不存在点，使得
D. 存在点使得点是的垂心
11.设有限集合，其中，，若存在非空集合，使得中所有元素之和与中所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则( )
A. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有个
B. 若集合中元素满足，，，，则存在使得是“可拆等和集”
C. 存在公比为正整数，且公比不为的等比数列，使得集合是“可拆等和集”
D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆与圆的公共弦长为 ．
13.已知，则 ．
14.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得其中，，，，，则称为的“重覆盖函数”若为的“重覆盖函数”，则实数的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，．
若在上单调递增，求的取值范围
若，，求的最大值．
16.本小题分
在四棱锥中，，，，，．
证明：二面角为
求平面与平面所成的二面角的余弦值．
17.本小题分
设函数，其中．
讨论的单调性；
确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立为自然对数的底数．
18.本小题分
已知某盒子里装有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，每轮从盒子中随机取出个小球，放回盒子中．
若有放回地连续抽取轮，求轮取出的白球总数的数学期望
若规定：取出的是白球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中．
Ⅰ求在第轮取出黑球的条件下，第轮恰好取出所有白球的概率
Ⅱ求第轮恰好取出所有白球的概率．
19.本小题分
设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线．
圆是直线族的包络曲线，求，满足的关系式
已知的包络曲线为，设直线，且，与的公共点分别为，，记，若直线，斜率存在且不为零．
Ⅰ若两切线，的斜率之积为，求点的轨迹方程
Ⅱ已知为坐标平面内一定点，为平面上的任意点，向量，点绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”若Ⅰ中的曲线是“反比例曲线”，过原点的直线与曲线交于点，将绕点旋转至能在曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交曲线于点，将绕点旋转至能在曲线的渐近线上找到点，点满足在中，设底边上的高为，求．
参考答案
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10.
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14.
15.解：．
当时，，因为在上单调递增，
所以，所以，
可得的取值范围为．
，，，，
是三角形内角，，所以，得，
由余弦定理：；
即，
可得，，当且仅当时等号成立，
即取得最大值．

16.证明：在梯形中，取中点，连接，
，，
，又，
四边形为平行四边形，
，，
为直角三角形，，
又，，
，平面，
平面，平面，
，
又，且必与相交，，平面，
平面，平面，
平面平面，二面角为．
解：过作，由知，平面，所以平面，则，，两两垂直，从而可建立以为原点的空间直角坐标系如图，
由题意，，，，，
则，，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
设平面与平面夹角为，
则，，
平面与平面所成的二面角的余弦值为．
17.解：由题意，，，
当时，，，在上单调递减．
当时，，
当时，，
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
原不等式等价于在上恒成立，
令，
只需在上恒大于即可，
又，故在处必大于等于；
，
由，可得；
另一方面，当时，
，
，故，又，
故时，，
当时，在单调递增，
当时，，
故在上单调递增，
当时，，
即在上恒大于，
综上，．
18.解：由题意，每轮取出的白球概率为，
轮取出的白球总数∽，
则．
记“第轮取出白球，“第轮取出黑球”，
Ⅰ记“在第轮取出黑球的条件下，第轮恰好取出所有白球”，
则
．
Ⅱ解法一：由题意，前轮中恰有一轮取出白球，
，，
则第轮恰好取出所有白球的概率
．
解法二：考虑前次和第次的情况，
如果白球在第次，则概率为
如果恰有一个白球在前次的概率为，则，所以
考虑第次和后面次的情况，同理可得
所以化简可得．
19.解：由题可得，直线族为圆的切线，
故圆心到的距离，
所以，满足．
设点，设过点的切线方程为，即，
联立得，
由，得，
可得出关于的二次方程，
方程有两个不等根，则，且，可得，
设过点的两条切线的斜率分别为，，可得，整理可得，
又因为且，以及，可得且，即且，
所以，点的轨迹方程为且
Ⅱ由Ⅰ可知，双曲线下：可逆时针旋转角，得到的反比例函数图象表达式为，即．
设经过旋转变换后，，
因为是等腰三角形，所以，
根据反比例函数定义可得，
，
故且，
从点向轴作垂线交于点，向轴作垂线交于点，
设矩形的面积为，
因为，
当时，．
由于，，
故当时，，
因为，
所以，从而，
以此类推，，
因为，
所以，可得．

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