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黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025届高三下学期4月适应性练习
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，集合，则 ．
A. B. 或
C. D.
2.若，则 ．
A. B. C. D.
3.单位向量，满足，则在上的投影向量为 ．
A. B. C. D.
4.等差数列满足，，则 ．
A. B. C. D.
5.与的公切线过，且有极小值，则极小值为 ．
A. B. C. D.
6.正三棱柱上底面的重心为，若与所成角为，则三棱锥与的体积之比为 ．
A. B. C. D.
7.离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则 ．
A. B. C. D.
8.曲线上有不同的三点，，，且成等差数列，，则过，的直线的斜率的取值范围为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，，，，若这组数据的极差是中位数的倍，则 ．
A. 的取值范围是
B. 若，这组数据的方差为
C. 这组数据的上四分位数为或
D. 这组数据经过重新排列后，可能成等差数列
10.已知抛物线的焦点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，交于两点，且直线过，则 ．
A. 的周长为
B. 圆为的内切圆
C. 准线和所夹锐角正弦值为
D. 抛物线上存在一点，使得为等边三角形
11.设，是函数与在上的两个交点，则 ．
A. 的最小正周期为 B. 的最小正零点为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则 ．
13.某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其中第三天和第五天各需个人同时参加，其余的天数只能有一个人参加，每个人都至少参加一次活动，至多参加两次活动，则不同的安排方法有 种．结果用数字表示
14.已知曲线的中心为，过的直线交曲线于，两点，，则三角形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，．
求．
若为边中点，，求的面积．
16.本小题分
已知数列满足，，．
求的通项公式；
设的前项和为，是否存在实数，，使得是等差数列，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
记，求．
17.本小题分
一款节目要求受试者在个排列成一行的盒子中随机抽取小球，盒子中有数量若干的红球和白球，每抽到一个白球得分，每抽到个红球得分，设最后在所有盒子抽取完，得分为．
若，每个盒子中白球和红球数相等，且每个盒子抽取个球，求的分布列和数学期望；
若第一个盒子抽取个小球，第二个盒子抽取个小球，第三个盒子抽取个小球，第四次抽取个小球由此周期循环下去．
(ⅰ)若每个盒子中白球和红球数量均为个，求在每个周期内的数学期望与方差；
(ⅱ)若第一个盒子中有个红球，第二个盒子中有个白球，个红球，第三个盒子中有个白球，个红球，第四个盒子有个白球，第五个盒子中有个红球，以此周期循环，讨论一个完整周期内的数学期望与方差；
(ⅲ)为减少的方差，请提出两条建议．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为矩形，，是等边三角形，平面平面，，分别是，的中点，与交于点，平面与直线交于点．
证明：平面；
求与平面所成角的正弦值；
设为平行四边形内部一点．
(ⅰ)求的面积的取值范围．
(ⅱ)当取得最小值时，求二面角的正弦值．
19.本小题分
设，曲线，与交于，两点，且线段过．
求关于的表达式．
证明：．
在曲线上找到一点，过该点作平行于的的切线交于，两点，求四边形的面积关于的表达式，并求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由，
由正弦边角互化，得．
由，
又，则；
如图，设，则，
由题意
，
，
，
在三角形中，
在三角形中，
两式相除并化简可得：．
由积化和差公式，
则
，则且，
所以，则在上单调递增，在上单调递减，
而在上单调递减，且，，，
所以与在上有一个交点，
注意到满足方程，则，
则为直角三角形，又，，则，
则．
16.解：因为，两边同除于，则，
所以，，，，
累加可得，
所以，
则当时，，
又当；当也适合上式，
故，则．
由可知，，，所以
则的前项和为
要使得是等差数列，所以
要使得为一个常数，
令，则对任意恒成立，
则，解得．
所以存在存在实数，，使得是等差数列，且．
由知，，
则．
当时，，
则；
则，
则，
故．
．
17.解：每个盒子的得分是一个随机变量，
其可能取值为：抽到白球，概率，抽到红球，概率，
单个盒子的期望得分：，
每个盒子贡献或分，总共有个盒子，
因此总得分的取值范围为，
若抽到个白球，则总得分每个白球比红球多分，共多分，
抽到个白球的概率服从二项分布，
即，
个白球：，
个白球：，
个白球：，
个白球：，
个白球：，
个白球：，
，
所以
；
计算一个完整周期的期望与方差，
每次抽取的得分是一个随机变量，其可能取值为抽到白球，概率，抽到红球，概率
单次抽取的期望：，
因为，，
所以单次抽取的方差，
由于每次抽取独立，总方差为各次抽取方差之和，
题目中一个周期内共抽取次，
所有抽取独立，总得分是次独立抽取的得分之和，
总数学期望：
总方差；
由于盒子的红球白球的的个数的情况成为周期，取球的个数成为周期，故盒子得分的情况以其最小公倍数为周期结合超几何分布，经计算，下表列出从第个盒子到第个盒子得分的期望与方差．
其中第个盒子的得分期望为，方差：，同理可得第，，个盒子的得分期望与方差如表所述，其余盒子的得分值是固定的，方差为．
盒子 类型 抽取次数 不放回得分计算 期望 方差
红 必得分
白红 超几何分布：红得分概率为或白红得分概率为
白红 抽完得分白红
白 必得分
红 抽次红球得分
白红 抽完得分白红
白红 白得分概率为，或红得分概率为
白 抽白得分
红 抽红得分
白红 白得分概率为或红得分概率为
白红 抽白分，概率为或白红分，概率为
白 抽完得分白
总数学期望，
总方差；
建议：调整各盒子的抽取次数，减少在高方差盒子中的抽取次数．
原因，不同盒子的单次抽取方差不同，例如高方差盒子：红球和白球比例接近如各占，此时单次抽取方差最大见下方公式推导
低方差盒子：红球或白球占比极高如红球，单次抽取方差趋近于，
若某盒子的单次抽取方差较大，减少其抽取次数，可显著降低总方差，
公式推导以单次抽取为例：
设某盒子抽到白球的概率为，红球概率为，得分分别为和。
单次方差，
当时，方差最大；当接近或时，方差趋近于，
所以减少高方差盒子的抽取次数，增加低方差盒子的抽取次数，总方差降低，
建议：使各盒子中的红球和白球比例更不均衡，降低每次抽取的方差，
由公式可知当红球和白球比例悬殊时单次方差显著减小．
策略：设计盒子时，让某些盒子几乎全为红球或白球，从而减少单次抽取的波动．
18.解：是等边三角形，是的中点，．
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
又平面，．
由题可知：，
，即．
又，平面，平面，
平面．
，分别是，的中点，，．
由知，平面，又平面，．
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，．
平面与直线交于点，平面平面．
，平面，平面，平面．
平面，平面平面，，．
点是的中点，点是的中点，．
，，．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，．
平面的一个法向量为，
，
与平面所成角的正弦值为．
为平行四边形内部一点，
，其中，．
．
，
点到直线的距离为
．
，．
，
即的面积的取值范围为．
，．
，，当，时，取得最小值，
此时，即点与坐标原点重合．
由知平面，又平面，．
又，，平面，平面，
平面，即平面．
又，平面．
平面，平面平面．
当取得最小值时，点与坐标原点重合，
二面角的平面角为直二面角，其正弦值为．
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