资源简介

甘肃省金昌市金川高级中学 2025届高三高考冲刺联考卷(三)
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2 6 < 0 ， = log2 ≤ 2 ， = ∈ ∪ , ∩ ，则 =( )
A. (0,3) B. ( 2,4] C. ( 2,0) ∪ [3,4] D. ( 2,0] ∪ [3,4]
2.一组数据：1，3，5，7 的均值和方差分别为( )
A. 4，5 B. 5，4 C. 3，6 D. 6，3
3.函数 ( ) = e ln 在 = 1 处的切线斜率为( )
A. 0 B. 1 C. D. e + 1
4 π.当 2 < <
π
2时，方程 2sin2 = cos 的解的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.已知 = 0， = 2 = 2，则 =( )
A. 2 B. 5 C. 2 2 D. 3
6.已知数列 的前 项和 = ( + 1)( + 2)
1 1 1
，则 + + + =( )1 2
A. 16 B.
3 3
3( +1) C. D. +1
7.已知袋中共有 7 个黑球、 个白球，所有球除颜色外，其余均相同，甲和乙两人各从袋中随机且不放回
地取出一球，若两球颜色不同，则甲胜；若两球颜色相同，则乙胜.要使甲取得胜利的概率高于乙，则正整
数 的取值范围是( )
A. 6,7,8,9 B. 5,6,7,8,9,10
C. 4,5,6,7,8,9,10,11 D. 7,8
8.过直线 = 1 上的动点 作 2 = 的两条切线，切点分别为 , ，则 的重心的轨迹方程为( )
A. = 2 2 B. = 4 2 + 1 C. = 43
2 + 1 4 23 D. = 3 + 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 满足 1 2i = 3 + 4i， 为虚数单位， 是 的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. = 1 + 2i B. + i = 10
C. = 5 D. 2在复平面上对应的点在第二象限
10.已知等差数列 的公差 > 0，其前 项和记为 ， 1 < 0，则下列说法正确的是( )
第 1页，共 8页
A.数列 中有最大项 B.数列 中有最小项
C.若 10 11 < 0

，则 55 < 10 < 45 D.若 20 < 20， 21 > 21，则 取最小值时 = 9
11.已知 为坐标原点，点 的轨迹与 轴的交点分别为 (2,0)， ( 2,0)，当点 与 , 均不重合时，点
到点 和到定直线 + 2 = 0 的距离的平方的和为 16，则下列说法正确的是( )
2 2A.点 的轨迹方程为 4 + 8 = 1
B. | |的最大值为 2
C.当点 与 , 均不重合时，直线 ， 的斜率之积为定值
D.若 (0,2)， (0, 2)，∠ (∠ ≠ 0)邻补角的平分线所在直线为 ，作直线 1 ⊥ 且交 于点 1， 1 ⊥
且交 于点 1，则 1 = 1 = 2 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 > 0 +1 +1， > 0， + = 1，则 + 的最小值为 ．
13.已知 ( ) = cos π 2， = log22025， = 1， = 0.2
0.3，则 ( )， ( )， ( )的大小关系为 . (均用“>”
连接)
14.在正方体 1 1 1 1中，已知 = 2， 为棱 的中点， 为棱 1 1上一点， //平面 1 1，
则三棱锥 1 外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知某高中高一年级共有 1200 名学生，高二年级共有 1100 名学生，高三年级共有 1000 名学生．
(1)对高一、高二、高三年级按比例用分层随机抽样的方法，从全校抽取 99 名学生参加活动，则高一、高
二、高三年级分别抽取多少名学生？
(2)从全校抽取容量为 500 的有放回简单随机样本，得到如下数学成绩与学生性别的不完整列联表，请补全
列联表．
单位：人
数学成绩
性别 合计
不优秀 优秀
男 260 300
女 30
合计 500
第 2页，共 8页
(3)依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，分析(2)中的抽样数据，能否据此推断数学成绩与学生性别有关
联？
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.1 0.05 0.01

2.706 3.841 6.635
16.(本小题 12 分)
已知 ( ) = ln 1 ，当 ≥ 1 时， ( ) ≤ 0．
(1)求 (1)的值；
(2) 1证明：实数 的取值范围为 2 , + ∞ ；
(3) ∈ 4 8 4 证明：当 时，4×12 1+ 4×22 1 + + 4 2 1 > ln(2 + 1)．
17.(本小题 12 分)
如图，在三棱台 1 1 1中， 为等边三角形，且∠ 1 = ∠ 1 = 135°， = 2 2， 1 = 1，
1 = 5．
(1)证明：平面 1 1 ⊥平面 1 1；
(2)求二面角 1 的正弦值．
18.(本小题 12 分)
2 2
已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)
7
过点 0, 2 ， 1, 2 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知斜率为 2 的直线 交椭圆于 ， 两点(点 ， 不重合)，且 交直线 = + 4 于点 ，探究| | | |
是否有最小值．
第 3页，共 8页
19.(本小题 12 分)
已知 ∈ ，两个函数 ( )， ( )图象上各有一个点列： 1， 2，…， ，…，与 1， 2，…， ，….按照
某种法则，产生一种唯一的对应关系： 1 → 1 → 2 → 2 → → → → +1 → +1 → ，则称 1，
1 22，…， ，…与 1， 2，…， ，…为“相伴互生成点列”.若 ( ) = + ( > 0)， ( ) = + ( > 0)，
1 = 1， 1 1, 1 是 ( )图象上的一点，过 1作 ( )的一条切线，切点为 1 1, 1 1 > 1 ，切线交 ( )
的图象于另一点 2 2, 2 .再过 2作 ( )的一条切线，切点为 2 2, 2 ，且 2 > 2，…，依次类推，
得到函数 ( )， ( )的相伴互生成点列： 1， 2，…， ，…与 1， 2，…， ，…．
(1)求点 1， 2的坐标；
(2)求 的通项公式；
(3)证明： +1 +2的面积为定值．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13. ( ) > ( ) > ( )
14.11
15. (1)99 × 1200 1100【详解】 1200+1100+1000 = 36，99 × 1200+1100+1000 = 33，
99 × 10001200+1100+1000 = 30，
故高一、高二、高三年级分别抽取学生 36 名、33 名、30 名．
(2)
单位：人
数学成绩
性别 合计
不优秀 优秀
男 260 40 300
女 170 30 200
合计 430 70 500
(3)零假设为 0：数学成绩与学生性别无关．
2 = 500×(260×30 40×170)
2 500
300×200×430×70 = 42×43 < 1 < 6.635．
故依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，因此可以认为 0成立，即认为数
学成绩与学生性别无关．
第 5页，共 8页
16.【详解】(1) (1) = ln1 (1 1) = 0;
2
(2)证明：当 ≥ 1时， ′2 ( ) =
1 1 1 1 1 1 1
1 + 2 ≤ 2 1 + 2 = 2 1 ≤ 0．
故 ( )在[1, + ∞)上单调递减，故当 ≥ 1 时， ( ) ≤ (1) = 0，符合题意．
1 2
当 < 2时，
′( ) = + 2 ，
′(1) > 0，存在 0使得当 1 ≤ < 时， ′0 ( ) > 0 恒成立，则存在 0 > 1
使得 0 > (1) = 0，矛盾．
1
故实数 的取值范围为 2 , + ∞ ;
(3)证明：由(2) 1 1知，当 > 1 时，ln < 2 ．
ln 2 +1 < 1 × 2 +1 2 1 4 故 2 1 2 2 1 2 +1 = 4 2 1，
故当 ∈ 4 8 4 3 5 2 +1时，4×12 1+ 4×22 1 + + 4 2 1 > ln 1 + ln 3 + + ln 2 1 = ln(2 + 1)．
2 2 2
17.【详解】(1) + 由题意，在 中，cos∠ = 1 1 21 1 2× × = ，1 2
故∠ 1 = ∠ 1 1 = 45°，
故∠ 1 1 = ∠ 1 ∠ 1 = 90°，故 1 = 1 = 1， 1 1 = 2．
同理∠ 1 1 = 90°，则∠ 1 1为平面 1 1与平面 1 1所成二面角的平面角，
而 1 = 1 = 1， 1 1 = 1 1 = 2，故∠ 1 1 = 90°．
故平面 1 1 ⊥平面 1 1．
(2)以 为原点， 1， 1， 1的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ．
则 (0,0,0)， (2,0, 2)， 1(1,0,0)， (0,2, 2)， 1(0,1,0)，
则 = (2,0, 2)， 1 = (0,1,0)．
平面 1 的一个法向量为 1 = (1,0,0)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
第 6页，共 8页
= 0, 2 2 = 0,
则 故 令 = 1，故 = (1,0,1)，
1 = 0, = 0,
1则 cos 1, =
= 1 = 2，故 sin 2 1× 2 2 1, = ， 1 2
2
故二面角 1 的正弦值为 2 ．
2
7 2 = 1,18.【详解】(1)将 0, 2 ， 1, 2 代入椭圆方程得

1 7
2 + 4 2 = 1,
2
2 = 2
2
解得 ， 2 = 8，故椭圆的标准方程为 8 + 2 = 1．
(2)设直线 的方程为 = 2 + ， 0, 0 ， 1, 1 ， 2, 2 ，
= 2 + ,
联立 0 0 = + 4,得 = 0 + 4．0 0
将 = 2 + 代入椭圆方程整理得，17 2 + 16 + 4 2 8 = 0，
= (16 )2 4 × 17 × 4 2 8 > 0，解得 34 < < 34，
+ = 16
2
故 1 2 17， 1 2 =
4 8
17 ，
故| | | | = 5 1 0 2 0 = 5 1 2 0 21 + 2 + 0
= 5 4
2 8
17
16 + 2 = 5 4 20 17 0 17 8 + 16
2
0 + 17 0 ，
将 = 0 + 4 代入上式，得| | | | =
5
17 5
2
0 + 32 0 + 56 ，
由 34 < < 34，得 4 34 < 0 < 4 + 34，又
32
10 < 4 34，
故| | | |没有最小值．
19.【详解】(1) 21 = 1，则 ′1 = 2． 1 = 1 ， 21
1+
2
2
则 1 1 = 1
2
2，得 2 1 4 1 + 2 = 0，且 1 > 1，1 1
解得 1 = 2 + 2
2
，所以 1 = 1 + = 4，故 1 2 + 2, 4 ．1
+ 12 2 2
由题知， 2 1 =
′ 1 = 1 2 = 2 2 2，2 2+ 2
22 2 2+1 即 2
1
1 = = 2 2 2，解得 2 = 3 + 2 2．2 2 2
故 2 =
1
2 + = 3 + 2 2 + 3 2 2 = 6，故 2 3 + 2 2, 6 ．2
(2) 易知 = ′ 2 = 1 ， 2
第 7页，共 8页
将 2 1 = + ， = + ，代入上式化为关于 的一元方程得，2
2 2

4 + = 0，
同理 2 2 +1 4 2 +1 + = 0，故 ， +1是方程 2 2 4 + 2 = 0 的两根，且 +1 > ，
2
故 + +1 = 2 ， 2 +1 = 2，故 + +1 = 4
2
= 8 +1，
整理得 2 2 +1 6 +1 + = 0，故 +1 = 3+ 2 2 ，
1 1
故 = 1 3 + 2 2 = 3 + 2 2 ．
(3)证明：过 ， +1， +2分别向 轴作垂线，垂足的横坐标分别为 ， +1， +2，再分别向 轴作垂线，
垂足的纵坐标分别为 ， +1， +2，
则 1 1 +1 +2 = 2 + +2 +2 2 + +1 +1
1
2 +1 + +2 +2 +1 =
1
2 +2 +1 + +1 +2 + +2 +1
= 1 1 2 1 2 2 12 + + + 1 + + 2 ( 1) (其中 = 3 + 2 2)，
1 2 4 3
故上式化简为 2 22 +
3 + 3 2 + 2 + 1 + 1 = 2 +2 1 2 2 2 ．
因为 = 3 + 2 2，故 +1 +2的面积为定值．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑