资源简介

江西省部分学校 2025 届高三下学期 4 月模拟
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 i2022 = 1 i，则 =( )
A. 1+ i B. 1 i C. 1 + i D. 1 i
2.已知集合 = ∣ > , = ∣ 2 4 + 3 < 0 .若 ∪ = ，则 的取值范围为( )
A. ( ∞,1] B. ( ∞,3] C. [1, + ∞) D. [3, + ∞)
3.已知 sin = 4 , ∈ 0, π5 2 ，则 cos
π
4 =( )
A. 2 210 B. 10 C.
7 2
10 D.
7 2
10
4.某产品的标准质量是 100 克/袋，抽取该产品 8 袋，称出各袋的质量(单位：克)如下：
98 99 100 100 100 100 101 102
这 8 袋产品中，质量在以平均数为中心，1 倍标准差范围内的有( )
A. 4 袋 B. 6 袋 C. 7 袋 D. 8 袋
5.函数 ( ) = + e e cos 的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.某超市在清明节期间出售 2 款 品牌的清明果，2 款 品牌的清明果，1 款 品牌的清明果.若将这 5 款清
明果并排摆在货架的同一层上，则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有( )
A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 48 种
27
2
.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，左顶点为 ，离心率为 3， 为 上一点，且位于第
一象限，若 垂直于 轴，则直线 的斜率为( )
第 1页，共 10页
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8.将一根长为 3 的铁丝截成 9 段，使其组成一个正三棱柱的框架(铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和)，
则该正三棱柱的体积最大为( )
A. 3 3 3 336 B. 72 C. 108 D. 324
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
e 9 , ≤ 0.已知函数 ( ) = ln , > 0，则下列结论正确的是( )
A. ( )是奇函数
B. ( )是增函数
C.不等式 ( ) > 0 的解集为( ∞,0] ∪ (1, + ∞)
D.若函数 = ( ) 恰有两个零点，则 的取值范围为(0,1]
10.已知数列 的前 项和为 ，数列 + 3 的前 项积为 , +11 = 1， +1 = 2 ，则( )
( +3)
A. 3 = 12 B. +1 = 2 3 C. 5 = 109 D. = 2 2
11.素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿
体”是学习素描时常用的几何体实物模型．如图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字
贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切
点为 ，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面， 为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于 , 两点，
且 为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为 8 3 8，其底面圆的半径为 8 2 4 6，
圆柱的半径为 3 1，下列结论正确的是( )
A. = 3 + 1
B. =
C.点 到圆锥底面的距离为 2 2 3 + 1
D.点 到圆锥底面的距离为 2 2 + 3 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
第 2页，共 10页
12.已知 , 分别为圆 : 2 + 2 = 1 与圆 : ( 4)2 + 2 = 1 上一点，则| |的最小值为 ．
13.在边长为 1 的正方形 中， 是 的中点， 是 的中点，则 = ．
14 π π.已知函数 ( ) = sin 2 6 在 , + 3 ( ∈ )上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中，点 , 分别在棱 1,
1
1上， = 1, = 2， 1 = 3, = 2 , 1 =
2．
(1)证明： ⊥ 1 ．
(2)求平面 1 与平面 1 1 的夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 3 sin = 5 sin ．
(1)求 cos 的最小值．
(2)已知 13 2 = 10 2 + 2 ．
①求 sin ；
②若 = 10，求 的周长．
17.(本小题 15 分)
( ) = ln 1 1已知函数 + ．
(1)若 = 0，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)若 ( ) ≤ 0，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > > 0) (1,0)
1
的右焦点为 ，离心率为2，点 在 上，且位于第二象限，点 (4,0)，
直线 与 在第一象限交于点 ．
第 3页，共 10页
(1)求 的方程；
(2)若 是 的中点，求直线 的方程；
(3)过点 作直线 1 ⊥ 轴，过点 作直线 2 ⊥ 轴，直线 1, 2交于点 ，证明直线 过定点，并求出该定点．
19.(本小题 17 分)
已知数列 共 ( ≥ 2)项，对于 中的项 (2 ≤ ≤ )，若对任意的 < ，都有 < ，则称 为
中的一个“局部 max 一项”，记 是 中所有“局部 max 一项”组成的集合．
(1)已知数列 共 5 项，且 1 = 1, 1 = 1(2 ≤ ≤ 5)．
( )若 为 1,2,1,2,3，求 ；
( )若 1 1的值为 1 和 1 的概率均为2，记 中有 个元素，求 ( )．
(2)若数列 满足 1 = 1, 为大于 1 的偶数， 1 ≥ 1(2 ≤ ≤ ), ≥ + 3， ∈ ，求 中元
素个数的最大值. (结果用 和 表示)
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13. 516
14. 12 , 3
15.【详解】(1)以 1为坐标原点， 1 1, 1 1, 1 所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 51(2,1,0), (2,0,2), 0,1, 2 ，
所以 1 = (0, 1,2), = 2,1,
1
2 ．
1
证明：因为 1 = 1 × 1 + 2 × 2 = 0，
所以 ⊥ 1
(2)设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
第 5页，共 10页
1 = 0, + 2 = 0,则 即

1
= 0, 2 + + 2 = 0.
取 = 2，则 = 52 , 4,2 ．
易得平面 1 1 的一个法向量为 1 1 = (0,1,0)．
因为，
8 105所以平面 1 与平面 1 1 的夹角的余弦值为 105 ．
16.【详解】(1)在 中，由 3 sin = 5 sin 及正弦定理，得 3 2 = 5 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 53 ，
cos = 1 5 1 5 1则 2 ( + ) 6 ≥ 2 2 6 = 6，当且仅当 = 时取等号，
所以 cos 1的最小值为6．
13 2
(2) cos =
2+ 2 2 10
2 3 2 5 1
①在 中，由余弦定理得 2 = 2 = 20 = 20 = 4，
sin = 1 cos2 = 15所以 4 ．
2 2
②由 = 10，得 = 3 5 = 6,
2 + 2 = 13 10 = 13，
则( + )2 = 2 + 2 + 2 = 25，解得 + = 5，
所以 的周长为 + + = 5 + 10．
17.【详解】(1)若 = 0，则 ( ) = ln , (1) = 0，
′( ) = 1 ln 2 ,
′(1) = 1．
故曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 = 1．
(2)(解法一)因为函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
所以 ( ) = ln +
1 1
≤ 0 等价于 ln + 1 ≤ 0．
( ) = ln + 1 , ∈ (0, + ∞) ′( ) = +2设函数 ，则 2 ．
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0, ( )在(0, + ∞)上为增函数．
因为 (1) = ln1 + 1 1 = 0，所以 ( ) > 0 在(1, + ∞)上恒成立，不符合题意．
当 < 0 时，函数 = + 2 是减函数．
第 6页，共 10页
当 ∈ 0, 4 4 2 时，
′( ) > 0, ( )在 0, 2 上单调递增；
当 ∈ 4 2 , + ∞ 时，
′( ) < 0, ( ) 4在 2 , + ∞ 上单调递减．
( ) 4 4 4所以 max = 2 = ln 2 + 2 1 = 2ln( ) + 2ln2 2．
因为 ( ) ≤ 0，所以 2ln( ) + 2ln2 2 ≤ 0．
设函数 ( ) = 2ln( ) + 2ln2 2, ∈ ( ∞,0)，则 ′( ) = +2 ．
当 ∈ ( ∞, 2)时， ′( ) < 0, ( )在( ∞, 2)上单调递减；
当 ∈ ( 2,0)时， ′( ) > 0, ( )在( 2,0)上单调递增．
所以 ( )min = ( 2) = 2ln2 + 2 + 2ln2 2 = 0，
所以 2ln( ) + 2ln2 2 ≤ 0 有唯一解，即 = 2．
故 的取值范围是 2 ．
(解法二)因为 ( )的定义域为(0, + ∞)．
所以 ( ) = ln 1 1 + ≤ 0 等价于 ln + 1 ≤ 0．
设函数 ( ) = ln + 1 , ∈ (0, + ∞)，则 ( ) ≤ 0．
因为 (1) = 0，所以 ′(1) = 0．
因为 ′( ) = +2 ′ +22 ，所以 (1) = 2 = 0，解得 = 2．
下面证明 = 2 时， ( ) ≤ 0．
= 2 ( ) = ln 2 1 , ∈ (0, + ∞) ′( ) = +1当 时， ， ．
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0, ( )在(0,1)上单调递增；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0, ( )在(1, + ∞)上单调递减．
所以 ( )max = (1) = 0，故 ( ) ≤ 0，得证，故 的取值范围是 2 ．
= 1,
18. 【详解】(1)由题意可得 =
1 ,解得 2 22 = 4, = 3，
2 = 2 + 2,
2

2
所以 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)依题意画出图像为：
第 7页，共 10页
设直线 1 3 4 3的方程为 = + 4(因为点 在第二象限，所以 > 4 ，即 < 3 )，
设 1, 1 ， 2, 2 ．
2 2+ = 1,
联立直线与椭圆方程 4 3 得 3 2 + 4 2 + 24 + 36 = 0．
= + 4,
当 < 4 3 2 2 23 时， = 24 4 × 36 × 3 + 4 = 144
2 576 > 0．
24 36
由根与系数的关系知， 1 + 2 = 3 2+4①， 1 2 = 3 2+4②.
8 16
因为 是 的中点，所以 1 = 2 2，结合①解得 2 = 3 2+4 , 1 = 3 2+4．
6 5
代入②，解得 = 5 ( =
6 5
5 舍去)，
6 5 6 5
所以直线 的方程为 = 5 + 4，即 + 5 4 = 0(或 5 + 6 4 5 = 0)．
(3)根据题意画出图像为：
36 3
由①②可得， 1 2 = 3 2+4 = 2 ×
24 3
3 2+4 = 2 1 + 2 ．

由题意可得， 1, 2 1 2 1 2 11 ，直线 的方程为 = 1 ( 1) + 1 =2 2 1
1 + 12
3 5
= 2 1 2 1 1 2 1 = 2 1 2 4 1 1 2
4 + +
1 1 1 1 =
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
2 2 2 2 1
1 = 1 1 =2 2 2 2
2 1 5
2 1
2 ，
5
所以直线 过定点 2 , 0 ．
第 8页，共 10页
19.【详解】(1)( )根据题意可得 = 2,3 ．
( )由题意可得 有24 = 16 种情况．
若 = 4 1，则只有 1 种情况，即当 = 2,3,4,5 时， 1 = 1，所以 ( = 4) = 16．
若 = 3，则只有 1 种情况，即当 = 2,3,4 时， 1 = 1，当 = 5 时， 1 = 1，所以 ( =
3) = 116．
若 = 2，则有以下情况：
当 = 2,3 时， 1 = 1，当 = 4 时， 1 = 1，当 = 5 时， 1 = 1 或 1；
当 = 2 时， 1 = 1，当 = 3 时， 1 = 1，当 = 4,5 时， 1 = 1；
当 = 2 时， 1 = 1，当 = 3,4,5 时， 1 = 1．
共 4 种情况，所以 ( = 2) = 4 = 116 4．
若 = 1，则有以下情况：
当 = 2 时， 1 = 1，当 = 3 时， 1 = 1，当 = 4 时， 1 = 1，当 = 5 时，
1 = 1；
当 = 2 时， 1 = 1，当 = 3,4 时， 1 = 1，当 = 5 时， 1 = 1 或 1；
当 = 2 时， 1 = 1，当 = 3,4 时， 1 = 1，当 = 5 时， 1 = 1．
共 4 4 1种情况，所以 ( = 1) = 16 = 4．
( ) = 1 × 14+ 2 ×
1 1 1 19
4 + 3 × 16 + 4 × 16 = 16．
(2)因为 ≥ + 3, 为大于 1 的偶数，所以 ≥ 5.要使 中元素的个数取得最大值，则 中的项尽可能多
的是“局部 max 一项”，
即 1 至 之间的整数从小到大依次是 中的项．
不妨设 中元素的个数取得最大值时，除整数“局部 max 一项”外，其余“局部 max.项”都在区间
1, 内.
记 中元素的个数为 ，在区间 1, 内的“局部 max 一项”有 个，除 1 外的非“局部 max 一项”有
个，则 + + = ①， = 1+ ．
因为 ≥ 1 ≥ + 1 ≤
1
1 ，所以 ，结合①可得 2 ，
= 1 则 + 3 1+ ≤ 1 + 2 = 2 ．
第 9页，共 10页
1 ( ≥ 5) + 3 + 3 为大于 的偶数， 为整数，当 为奇数时， 2 为整数，此时 中元素个数的最大值为

2 ．
( ≥ 6) + 3 ≤ + 3 + 4当 为偶数时， 2 不是整数，满足 2 的最大整数为

2 ，此时 中元素个数的最大值
+ 4
为 2 ．
+ 3
综上，当 ( ≥ 5)为奇数时， 中元素个数的最大值为 2 ；当 ( ≥ 6)为偶数时， 中元素个数的最大
+ 4
值为 2 ．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑