资源简介

《植树问题（两端都栽）》教学设计
学科 数学 年级 五年级 课型 新授课 设计者 郭佳
课题 《植树问题（两端都栽）》 课时 1
课标要求 《数学课程标准(2022年版)》在“学段目标”的“第三学段”中提出“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”。“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。“数学广角”单元教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学生体验探索建立模型的过程和数学思想方法，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
教材分析 “植树问题”是人教版数学五年级上册“数学广角”的内容。“植树问题”模型是小学阶段的一个重要模型，是研究“树的棵树”与“两棵树之间间隔数”的数量关系问题，其实质就是点与段的对应问题。教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽、环形情况以及方阵问题等。
学情分析 五年级的学生已经有了一定的绘图、计算和观察、推理能力，也掌握了一些基本的探究方法。学生对实际生活中的问题有极大的好奇心和求知欲，有利于完成本节课的学习。部分学生第一次接触植树问题，也有解决的办法。总的来看对于“植树问题”学生具有较高的学习起点。上楼梯、敲钟等生活中的问题，其本质就是运用植树问题的模型解决问题。由于情境的改变，学生找不到不同情境中“间隔数”和“棵数”，运用植树问题的方法灵活解决生活中的实际问题有一定难度，教学中如何将植树问题的模型在学生的脑海中打下深深烙印是本节课的难点。
核心素养目标 1．借助几何直观，理解两端都要栽树时，棵数与间隔数之间的关系，并能解决简单的实际问题。2．通过画图、观察、比较、分析、推理等活动，构建植树问题的数学模型，感悟一一对应的。3．感受数学与生活的联系，增强应用意识。
教学重点 发现植树的棵数和间隔数之间的关系。
教学难点 运用数学模型解决生活中的实际问题。
教学方法 讲授法、小组讨论法、案例分析法
教学过程（教学环节可结合学科特点自行设置）
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 一、创设情境，认识间隔师：听说咱们班的孩子非常聪明，今天老师带来一个谜语考考大家，你们愿意猜一猜吗？（课件出示）一棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。师：果然是名不虚传，这么快就猜出来了。师：请同学们伸出你的一只小手，看一看有几根手指？几个缝隙？师：数学中我们把手指间的缝隙称之为间隔 (板书)5根手指几个缝隙？4根手指几个缝隙？3根手指几个缝隙？师：我们把间隔的多少称之为间隔数（板书）同学们想一想：手指数与间隔数之间有什么关系？师：你的思维可真敏捷。数学上，我们有一类专门研究间隔数的问题，我们称之为植树问题。（板书课题） 手5根手指、4哥缝隙4个、3个、2个手指数比间隔数多一 以生活情境激发学生兴趣，建立数学与生活的联系。通过直观观察和讨论，自然引出“间隔”和“间隔数”的概念，为后续学习铺垫。
环节二 二、自主探索，学习新知（课件出示）（一）提出问题，理解题意为了美化校园，同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？师：（指名读题）通过读题，你知道了那些数学信息？ 师：（说得很好）如果用我们熟悉的直尺代替小路的话，谁能指一指小路的“一边“在什么地方？“两端”呢？师：拿出你的尺子，给你的同桌指一指，说一说。（课件演示）师：现在老师把这条小路的一边画在黑板上，全长是100米，每隔5米栽一棵是什么意思？请一位同学把老师手里的这些小树每隔5米栽在这条小路的一边。师：两棵树之间的距离是几米？（生答）师：我们把两棵树之间的距离称之为 间距（板书）师：两端都栽 是什么意思？请一位同学把老师手里的这些小树栽在这条小路的两端。（二）尝试解决师：请你猜一猜一共要栽多少棵树？生：20棵 100÷5=20（棵）师：100是什么？ 生：全长（板书）师：5是什么？ 生：间距师：那么全长÷间距等于什么呢？这里暂且画一个问号。师：还有不同答案吗？请你大胆猜一猜化繁为简师：到底要栽多少棵树呢？对不对呢？你打算怎么验证自己的猜想？生：画线段图师：这个想法可真棒！同学们请看黑板，在全长100米的小路一边栽树，每隔5米栽一棵，每隔5米栽一棵.......，照这样一颗一颗栽下去，我们这个黑板种的下吗？师：也就是说，100米这个数据有点大，因此画图比较麻烦。像这种比较复杂的问题，我们可以先从简单一些的情况入手研究。比如：我们可以先选取100米中的一小段进行研究，我们以10米为例。出示课件 我们用一条线段表示10米，短竖线表示小树苗，这就是线段图，它可以很好的帮助我们思考问题。 大家看一看，我们把这条小路平均分成了几段？也就是有几个间隔？栽了几棵树？师：看来这点小问题真难不倒大家（四）合作探究现在请同学们以四人为一小组，完成学习单上的内容。（出示合作要求）小组完成后举手示意老师，开始吧！师训视，并选择一小组的作品展示，并让学生上台，讲一讲为什么这样画，发现了什么？师：其他小组还有补充吗？（五）发现规律师小结：我们发现，两端都栽树，间隔数与棵树有什么关系？生：全长÷间距=间隔数 棵树=间隔数+1 （板书）（六）深度理解，建构模型师：为什么两端都栽树，棵树会比间隔数多1呢？（生答）出示课件师：以路长20米为例，每隔5米栽一棵，5米处的这棵树对应一个间隔，10米处的这棵树对应一个间隔，以此类推，我们发现：起点的这棵树我们没有算，所以要加上这 1 棵数。 现在请同学们在自己画的线段图上，以一棵树对应一个间隔，照样子，画一画。回顾错例，深化理解师：同学们都明白了两端都栽的情况下，树的棵树与间隔数之间的关系，老师出几道题考一考大家：师：现在我们再回到例题，你会解决了吗？点几个刚开始猜错的同学， 现在你知道自己猜错的原因是什么了吗？给大家说说看，你要提醒大家什么？小结师：问题已经解决了， 请孩子们闭上眼睛回想我们的思考过程。当我们遇到一个复杂的问题，可以先从最简单的开始研究，（板书：复杂--简单），这时，我们要大胆猜测（板书），然后验证我们的猜想，从中我们可以得到一个共同的规律，用来解决这个复杂的问题。也可以借助我们身边熟悉的物品，比如 直尺 ，手指 来帮助我们解决数学问题，这些都是很好的学习方法，在以后的学习中能帮助我们解决更多的问题。 动手操作学生上台摆放小树模型学生大胆猜想答案小组合作画图 用直尺代替小路，帮助学生准确理解“一边”和“两端”的含义。动手操作，深化理解暴露学生原有认知差异，引发认知冲突，激发探究欲望。培养学生独立思考和初步建模能力。引导学生通过画图验证猜想，渗透数形结合思想。渗透化繁为简的思想。引导学生以小组为单位，一个一个探究、运用、转化，结合模型思想总结发现，将自己所得的结果在小组内部进行有效交流，并引导学生抽象出棵数、间隔数与总长度之间的一般化数学模型，为下一步迁移应用奠定良好的基础。强化“一一对应”思想，避免机械记忆公式。通过批判性讨论，澄清“间隔数”与“棵数”的关系，巩固正确模型。体现“猜想—验证—寻找规律—解决问题”的完整过程，增强学习成就感。
环节三 巩固练习师：刚才我们大家用集体的力量找到了植树问题中有趣的数学奥秘，我们用找到的奥秘来解决生活中的一些实际问题。大家愿意吗？1、（课件出示：一段路长630m，在路的一边每隔3m栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？）（学生抢答）师：为什么 生答（课件出示）在一条全长200m的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？21路公共汽车行驶路线全长24km，相邻两站之间的路程都是3km。一共设有多少个车站？在一条马路上，从始发站到终点站共有11个车站，每两个车站间的平均距离是2km。这条马路有多长？ 师：在我们解决问题的时候，我们一定要认真审题，才能求出正确答案。师：同学们真了不起，不但能发现植树问题中隐藏的小秘密，还能利用这个奥秘解决问题，真让我佩服！ 拓展应用场景，深化对数学模型普适性的理解。培养学生“数学眼光”，学会用同一模型解决不同领域问题。
环节四 课堂总结师：回想这节课，你都学到了什么？有什么收获？师总结： 孩子们的收获真多，其实，我们的收获不仅是找到了跟植树问题有关的奥秘，重要的是我们在寻找奥秘的过程中所用的方法，“当我们遇到一个复杂的问题，思维难以前行的时候，我们可以试着把复杂的化成简单的，从简单的数据中找到规律，进而解决复杂的问题”，而且，我们身边熟悉的物品都可以是帮助我们解决问题的好助手，希望同学们在以后数学学习中，多找方法，多用助手，解决更多的数学问题。这节课我们就上到这儿，下课！
……
总结评价
分层作业 基础作业： 一段路长300m，在路的一边每隔3m栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？2.在一条全长600m的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？拓展作业：把一根木头锯3次，能锯成几段？如果锯成8段，要锯几次？
板书设计 植树问题全长÷间距＝间隔数 棵树＝间隔数+1 复杂 猜想 ↓ ↓100 ÷ 5 ＝ 20（棵） 20 +1 ＝21（棵） 简单 验证 ↓ 规律 ↓ 应用 20米
教学反思 本节课以生活化情境导入“间隔”概念，有效激发学生兴趣并建立数学与生活的联系。通过数形结合（画图分析10m、15m小路案例）和类比推理（手指模拟树与间隔），学生直观归纳出“棵数=间隔数+1”的核心规律，并借助批判性讨论（对比错例“加1”“加2”）深化对“一一对应”思想的理解。练习设计注重模型迁移（车站、路灯问题），强化数学模型普适性，培养学生举一反三能力。然而，部分学生抽象能力较弱，需增加符号化引导（如用字母N表示间隔数）；练习梯度不足，可补充“一端不栽”等变式问题；课堂生成资源（如学生质疑其他植树情况）利用不足，需预留弹性时间动态调整。未来将优化分层任务设计，融入跨学科实践（如结合科学课植物生长），进一步提升思维深度与应用广度。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）(共16张PPT)
数学广角
7
两端都栽的植树问题
年 级：五年级 学 科：数学（人教版）
主讲人：郭 佳 学 校：赵固镇苗固小学
猜谜语（打一身体器官）
一棵小树五个杈，
不长叶子不开花。
能写会算还会画，
天天干活不说话。
间隔
为了美化校园，同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
5 m
5 m
可以用一条线段代表10米长的小路，
用短竖线代表小树苗。
这就是我们经常用到的线段图，
线段图可以很好地帮助我们思考问题。
小组合作学习单
我的发现： 全长（米）
间距
间隔数
棵数
15
20
25
30
5米
5米
5米
5米
算式
合作要求：
1.每个组员选取其中一个数据画出线段图，并补充完表格上的数据。
2.组员完成后，小组交流你们从中发现了什么？把学习单补充完整。
小组合作学习单
我的发现： 全长（米）
间距
间隔数
棵数
15
20
25
30
5米
5米
5米
5米
3
4
4
5
5
6
6
7
棵 数=间隔数+1
全长÷间距=间隔数
算式
15÷5=3 3+1=4棵
20÷5=4 4+1=5棵
25÷5=5 5+1=6棵
30÷5=6 6+1=7棵
两端都栽的情况，为什么棵树比间隔数多“一”呢？
0m
5m
10m
15m
20m
为了美化校园，同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
100÷5=20 20+1=21棵
答：一共要栽21棵树。
一段路长630m，在路的一边每隔3m栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
630÷3 = 210
210 + 1 = 211（棵）
答：一共要栽 241 棵树。
全长÷间距= 间隔数
棵数= 间隔数+1
在一条全长200m的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
200÷50 = 4
4 + 1 = 5（盏）
5×2 = 10（盏）
答：一共要安装 10 盏路灯。
全长÷间距= 间隔数
棵数= 间隔数+1
2×
21路公共汽车行驶路线全长24km，相邻两站之间的路程都是3km。一共设有多少个车站？
24÷3＝8
8＋1＝9（个）
答：一共设有 9 个车站。
全长÷间距= 间隔数
车站数= 间隔数+1
（棵树）
在一条马路上，从始发站到终点站共有11个车站，每两个车站间的平均距离是2km。这条马路有多长？
2 ×
= 2 ×10
= 20（km）
答：这条马路有20km长。
全长=间距×间隔数
（11-1）
11棵树
这节课你收获了什么？
猜想
验证
寻找规律
复杂
简单
解决问题

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