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2025北京五中分校初三（下）开学考
数 学
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ）
A. B. 4 C. D.
6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币朝向相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，为的直径，弦于点．若，，则的长为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________．
10. 已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式________________．
11. 如图，为的直径，内接于．若，则______．
12. 若反比例函数经过点和点，则___________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为________．
14. 、是函数图像上的两个点，，的大小关系是_____．
15. 小明看到公园地面上有一个心形封闭图形A，为了研究图形A的面积，设计了一项试验：在图形A外部绘制个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下：随着投掷次数的不断增多，石子落在图形A内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形A内的概率为_________；由此估计图形A的面积为_________平方米．
掷石子的总次数p 50 100 200 500 …
石子落在图形A内的次数m 15 43 80 201 …
石子落在阴影部分的次数n 35 57 120 299 …
16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟．
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间/分钟 9 7 6 4
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 已知，求代数式的值．
19. 下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点P．
求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B．
作法：如图，
① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ；
② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B；
③ 作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵是的直径，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴．
∵为的半径，
∴是的切线（ ）（填推理的依据）．
20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
（1）求此抛物线的解析式；
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围．
21. 关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数的图像由函数图像平移得到，且经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围．
23. 在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，1．小红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号．
（1）用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果；
（2）规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜．
①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由；
②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出的取值范围．
24. 某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）的若干数据，如下表所示：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7
滑行时间 0 1.07 1.40 2.08 2.46 2.79 3.36
滑行距离 0 5 10 15 20 25 35
为观察与之间的关系，建立坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数来近似地表示与的关系．
（1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是_________；
（2）当时，，所以________；
（3）当此滑雪者滑行距离为时，用时约为________（结果保留一位小数）．
25. 如图，为的直径，弦于点H，的切线与的延长线交于点E，，与的交点为F．
（1）求证：；
（2）若的半径为6，，求的长．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知点在抛物线上，对于都有，求a的取值范围．
27. 如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”．
（1）如图1，已知点；
①点中是关于的“弦中点”的是_________；
②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值；
（2）如图2，，点C在线段上运动，若一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 【答案】B
2. 【答案】A
3. 【答案】D
4. 【答案】B
5. 【答案】D
6. 【答案】C
7. 【答案】B
8. 【答案】B
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 【答案】
10. 【答案】（答案不唯一）
11. 【答案】50
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】##
15. 【答案】 ①. 0.4 ②.
16. 【答案】 ①. 26 ②. 43
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：
．
18. 解：∵，
∴，
∴
19. (1)解：如下图即为所求；
(2)证明：∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
20. (1)解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为，
∵时，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
(2)解：函数图象如图所示
由（1）可知，对称轴为，
所以令时，，
当时，
∴能取到最小值，
即．
21. (1)解：∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
(2)解：∵，
∴，
解得，，，
∵该方程的实数根均为非负数，
∴，
解得，，
∴m的取值范围为．
22.(1)解：一次函数的图像由直线平移得到，
将点代入，得
解得：
一次函数的解析式为；
(2)将代入，得
即直线过点
把点代入，可得
当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，
．
23. (1)解：列表如下：
m 1
m
1
共有9种等可能的情况数；
(2)解：①小明获胜的可能性大，理由如下：
当时，，，，
∴的情况有4种，概率为，
的情况有5种，概率为，
∵，则小红获胜；若，则小明获胜，，
∴小明获胜的可能性大；
②∵由（1）可得9种情况中，，，满足，满足，
∴如果小红获胜的可能性比小明大，则剩下5种情况中至少有4个满足，
∴，，
解得，
即如果小红获胜的可能性比小明大，的取值范围为．
24. 解：（1）由表格及图像可得：出现故障的位置编号可能是位置3；
故答案为3；
（2）把t=0，s=0代入得：c=0；
故答案为0；
（3）由（2）可得：把t=1.07，s=5和t=2.08，s=15代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：，
把s=30代入解析式得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴当此滑雪者滑行距离为时，用时约为3.1s；
故答案为3.1．
25. （1）连接，由切线的性质证明，而为的直径，所以，由，得，则，由垂径定理得，则，可证明，所以；
（2）由的半径为6，，得到，求得，因为，所以，进而即可求解．
(1)解：连接，则，
∵与相切于点C，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)解：∵的半径为6，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为12．
26. (1)解：，
该抛物线的对称轴为直线：，即直线；
(2)解：点在抛物线上，，
设点关于对称轴的对称点为，
，
，
；
若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
当时，
对于都有，
，
，
，与矛盾，不合题意；
当时，
对于都有，
，即，
，
；
若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
当时，
对于都有，
，
，
，
；
当时，
对于都有，
，即，
，
，与矛盾，不合题意；
综上可知，a的取值范围是或．
27. (1)解：依题意补全图形如下：
(2)证明：连接．
∵点D关于直线的对称点为E，，
，．
．
，
．
．
，
．
．
(3)用等式表示线段与的数量关系是：．
证明：连接并延长到F，使得，连接．
∴点N是中点．
∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M，
∴点M是中点．
∴为的中位线．
．
∵点N是中点，
．
，，
．
，．
又，
．
，
．
．
．
．
，，
．
．
28. (1)解：①作直线，
∵P点是弦的中点，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的圆上，
∵，
∴点P在以为圆心，1为半径的圆上，
∵点在该圆上，
∴点是关于的“弦中点”，
故答案为：；
②由①可知，点P在以为圆心，1为半径的圆上，
设圆心，
∵直线上只存在一个关于的“弦中点”，
∴直线与相切，
过点D作垂直直线交于点F，
当直线与y轴交于正半轴时，
∵直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
∵，
∴，
，
，
解得：或（舍去），
当直线与y轴交于负半轴时，
同理可得，
综上所述，b的值为或；
(2)解：过点A作切线，J、K分别为切点，连接，
则，，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴, ,
∴，
代入得，
，解得，
，解得，
∴；
过点B作切线，L、T分别为切点，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
过L作轴于点V，交直线于点U，
设，
则， ，
∴四边形是矩形，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得，，
代入，
得，
解得；
过点T作轴于点R，交直线于点S，
同理，得；
∴．
综上，．

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