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【期末真题汇编】核心考点：多选题篇-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）
（多选）1．（2024秋 西湖区校级期末）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（　　）
A．估计该年级学生成绩的众数为75
B．a＝0.05
C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
（多选）2．（2024秋 泰安期末）已知向量，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．
C．已知，若，则t＝﹣3
D．与夹角的余弦值为
（多选）3．（2024秋 二道区校级期末）已知向量，，满足，则（　　）
A．
B．当时，4m+n＝1
C．当时，m+2n＝2
D．在上的投影向量的坐标为
（多选）4．（2023秋 涪城区校级期末）某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（　　）
A．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人
B．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8
C．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数
D．若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为．
（多选）5．（2024春 鼓楼区校级期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝4，c＝5，cosC，则（　　）
A．△ABC的外接圆半径为
B．sinA
C．b＝6
D．△ABC为锐角三角形
（多选）6．（2024秋 肇庆期末）如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，，则（　　）
A．该圆台的高为1
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5
（多选）7．（2024秋 白银期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，点P为线段A1B上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（　　）
A．三棱锥P﹣C1CD B．三棱锥P﹣B1D1D
C．三棱锥P﹣D1B1C D．三棱锥P﹣D1AC
（多选）8．（2024秋 江西期末）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共n+1（n＞2）名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这n+1名同学排队依次提交研学论文，则（　　）
A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为
B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为
C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有（n﹣2） （n﹣1）!种提交顺序
D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有（n﹣1） n!种提交顺序
（多选）9．（2024秋 菏泽期末）已知，则（　　）
A．z有可能为实数
B．z不可能为纯虚数
C．|z|的最小值为1
D．若z在复平面内所对应的点在第三象限，则a＞0
（多选）10．（2024秋 太原期末）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为正方形BCC1B1内一个动点（包括边界），且A1F∥平面AD1E，则下列结论正确的是（　　）
A．动点F的轨迹的长度为
B．|A1F|的最小值为
C．三棱锥A1﹣CC1F体积的最小值为
D．当三棱锥A1﹣CC1F体积取最小值时，其外接球的表面积为14π
（多选）11．（2024秋 海口期末）已知一组数据共有6个数，其中5个数为2，1，4，1，0．下列叙述正确的是（　　）
A．这组数据的标准差一定不为0
B．这组数据的众数一定不为3
C．这组数据的中位数一定小于平均数
D．这组数据的极差可能小于平均数
（多选）12．（2024秋 海口期末）在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AA1的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积为S．下列选项正确的是（　　）
A．A1D与EF所成的角为
B．S的最大值为3π
C．当S取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D．S的最小值为
（多选）13．（2024春 长春期末）下列命题中，正确的是（　　）
A．在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
（多选）14．（2024秋 商洛期末）关于复数z＝﹣1+3i，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z的虚部是实部的3倍
（多选）15．（2024秋 锦州期末）已知复数z1，z2，则下列说法不正确的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2
C．z1z2∈R是的充分不必要条件
D．|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，则
（多选）16．（2024秋 上城区校级期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（　　）
A．A与C互斥 B．B与C对立
C．A与B相互独立 D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
（多选）17．（2024秋 辽宁校级期末）下列命题正确的是（　　）
A．若向量共线，则A，B，C，D必在同一条直线上
B．若A，B，C为平面内任意三点，则
C．若点G为△ABC的重心，则
D．已知向量，若∥，则x﹣2y＝0
（多选）18．（2024秋 潍坊期末）已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若a∥b，a⊥α，则b⊥α
B．若a∥α，α∥β，则a∥β
C．若a⊥α，α∥β，b∥β，则a⊥b
D．若α⊥β，a α，b β，a⊥b，则b⊥α
（多选）19．（2024秋 葫芦岛期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点（　　）
A．
B．向量与共线
C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2
D．若，则λ+μ最大值为
（多选）20．（2024秋 平和县校级期末）为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是（　　）
A．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
B．乙班成绩的第75百分位数为79
C．甲班成绩的中位数为74
D．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值
（多选）21．（2024春 龙马潭区期末）将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（　　）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线AD∥平面BCE
（多选）22．（2024秋 新泰市校级期末）已知在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2A1B1＝4，．以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（　　）
A．
B．AM⊥B1C
C．异面直线BB1与A1C所成角的余弦值为
D．点B到直线A1C的距离为
（多选）23．（2024秋 铜陵校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BC1上的动点（含端点），则下列命题正确的是（　　）
A．三棱锥P﹣A1QC的体积为定值
B．直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是
C．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内部能够放入一个表面积为1.44π的球
D．A1P+PQ的最小值为
（多选）24．（2024秋 朝阳期末）下列关于平面向量的说法错误的是（　　）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数λ，使得
（多选）25．（2024秋 昌江区校级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．若，则2λ﹣μ＝﹣1
（多选）26．（2024秋 济宁期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为棱AA1的中点，则（　　）
A．直线PD1与BC所成的角为30°
B．B1D⊥平面A1BC1
C．过点P且与B1D垂直的平面截正方体所得截面的面积为
D．以P为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线的长度为
（多选）27．（2024春 怀宁县校级期末）下列四个命题正确的是（　　）
A．若|z+1﹣i|＝1，则|z﹣1﹣i|的最大值为3
B．若复数z1，z2满足，则
C．若，则点P的轨迹经过△ABC的重心
D．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则
（多选）28．（2024秋 湖北期末）甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（　　）
A．两人都命中的概率为0.56
B．恰好有一人命中的概率为0.38
C．两人都没有命中的概率为0.6
D．至少有一人命中的概率为0.94
（多选）29．（2024秋 红河州期末）已知平面直角坐标系中三个点，点D为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．△ABC是锐角三角形
B．在上的投影向量为
C．
D．若四边形ABCE为平行四边形，则点E的坐标为
（多选）30．（2024秋 白城校级期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【期末真题汇编】核心考点：多选题篇-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）
参考答案与试题解析
二．多选题（共30小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 ACD BC BC AC BCD BCD ACD ABD ABD ABD AB
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 BCD ABD AB ABC AC BC AC ACD ABC AC ABD
题号 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 ABD ACD AC BCD ABC ABD ABD ABD
一．多选题（共30小题）
（多选）1．（2024秋 西湖区校级期末）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（　　）
A．估计该年级学生成绩的众数为75
B．a＝0.05
C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
【解答】解：由图易知成绩在70﹣80分之间的人数最多，
故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确；
由频率分布直方图可知2a×10×2+3a×10+7a×10+6a×10＝1，解得a＝0.005，B错误；
由于前三组的频率之和为10×12a＝0.6，前四组的频率之和为10×18a＝0.9，
故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确；
由频率分布直方图可知成绩在80﹣90分之间和90﹣100分之间的频率之比为3：1，
故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确．
故选：ACD．
（多选）2．（2024秋 泰安期末）已知向量，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．
C．已知，若，则t＝﹣3
D．与夹角的余弦值为
【解答】解：对于A，易知，所以不垂直，即A错误；
对于B，，所以，可得B正确；
对于C，由且可得3×1+t＝0，解得t＝﹣3，即C正确；
对于D，，可得D错误．
故选：BC．
（多选）3．（2024秋 二道区校级期末）已知向量，，满足，则（　　）
A．
B．当时，4m+n＝1
C．当时，m+2n＝2
D．在上的投影向量的坐标为
【解答】解：，，
则，所以，故A错误；
对B，当时，﹣（n﹣1）＝2 2m，即4m+n＝1，故B正确；
对C，：，，
则，由，得，
即2m+4（n﹣1）＝0，即m+2n＝2，故C正确；
对D，在上的投影向量为，故D错误．
故选：BC．
（多选）4．（2023秋 涪城区校级期末）某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（　　）
A．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人
B．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8
C．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数
D．若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为．
【解答】解：A选项，男生抽取，女生抽取10﹣60＝40人，A选项正确；
C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确；
B选项，样本方差为，所以B选项错误；
D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误．
故选：AC．
（多选）5．（2024春 鼓楼区校级期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝4，c＝5，cosC，则（　　）
A．△ABC的外接圆半径为
B．sinA
C．b＝6
D．△ABC为锐角三角形
【解答】解：因为cosC，
所以sinC，2R，即R，A错误；
由正弦定理得，sinA，B正确；
由余弦定理得，25＝16+b2﹣8b ，解得b＝6（负值舍去），C正确；
因为a2+c2﹣b2＝16+25﹣36＞0，
所以B为锐角，且C为锐角，
又a＜c，
所以A＜C，即A也为锐角，△ABC为锐角三角形，D正确．
故选：BCD．
（多选）6．（2024秋 肇庆期末）如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，，则（　　）
A．该圆台的高为1
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5
【解答】解：对于A，因为圆台O1O2，在其轴截面ABCD中，，
所以该圆台的高为，所以A选项错误；
对于B，因为该圆台轴截面面积为，所以B选项正确；
对于C，因为该圆台的体积为，所以C选项正确；
对于D，将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如下图所示：
易知圆弧的长度分别为2π，4π，设扇形圆心为O，圆心角为θ，OB＝r；
由弧长公式可知θr＝2π，θ（r+2）＝4π，解得θ＝π，r＝2；
所以可得∠AOB＝90°，
设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短，
易知OE＝3，OC＝4，且OE⊥OC，
由勾股定理可知，所以D选项正确．
故选：BCD．
（多选）7．（2024秋 白银期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，点P为线段A1B上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（　　）
A．三棱锥P﹣C1CD B．三棱锥P﹣B1D1D
C．三棱锥P﹣D1B1C D．三棱锥P﹣D1AC
【解答】解：记平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V＝6，
对于A，由平行六面体的性质，A1B∥平面D1DCC1，
故点P到平面D1DCC1的距离等于点B到平面D1DCC1的距离，
故，故A正确；
对于B，因为，底面面积固定，点P在线段A1B上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误；
对于C，因为A1B∥CD1，A1B 平面D1B1C，D1C 平面D1B1C，故A1B∥平面D1B1C，
点P到平面D1B1C的距离等于点B到平面D1B1C的距离，
故，故C正确；
对于D，因为A1B∥CD1，A1B 平面D1AC，D1C 平面D1AC，故A1B∥平面D1AC，
点P到平面D1AC的距离等于点B到平面D1AC的距离，
故，故D正确．
故选：ACD．
（多选）8．（2024秋 江西期末）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共n+1（n＞2）名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这n+1名同学排队依次提交研学论文，则（　　）
A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为
B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为
C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有（n﹣2） （n﹣1）!种提交顺序
D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有（n﹣1） n!种提交顺序
【解答】解：根据题意，若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．
对于A，若小明第一次评定为不合格，则小明获得0.4学分的概率为，故A正确；
对于B，设事件Ai＝“第i次评定为合格”，
由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为P（A3）＝P（A3|A2）P（A2），故B正确；
对于C，先排小明，有种方式，再排小刚，有种方式，最后排其余所有人，有种方式，
则一共有种方式，故C错误；
对于D，无限制时，排序方式有（n+1）!种方式，
小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其余n﹣1人排序，有2 n!种方式，
所以一共有（n+1）!﹣2 n!＝（n﹣1） n!种方式，故D正确．
故选：ABD．
（多选）9．（2024秋 菏泽期末）已知，则（　　）
A．z有可能为实数
B．z不可能为纯虚数
C．|z|的最小值为1
D．若z在复平面内所对应的点在第三象限，则a＞0
【解答】解：根据题意，z2﹣ai，
依次分析选项：
对于A，当a＝0时，z为实数，A正确；
对于B，由于z＝﹣2﹣ai，不可能为纯虚数，B正确；
对于C，|z|2，则|z|的最小值为2，C错误；
对于D，若z在复平面内所对应的点在第三象限，则﹣a＜0，必有a＞0，D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2024秋 太原期末）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为正方形BCC1B1内一个动点（包括边界），且A1F∥平面AD1E，则下列结论正确的是（　　）
A．动点F的轨迹的长度为
B．|A1F|的最小值为
C．三棱锥A1﹣CC1F体积的最小值为
D．当三棱锥A1﹣CC1F体积取最小值时，其外接球的表面积为14π
【解答】解：对于选项A，取BB1，B1C1的中点M，N，连接ME，MN，BC1，AN，AM，
所以MN∥BC1，又易证BC1∥AD1，所以MN∥AD1，
又MN 平面AD1E，AD1 平面AD1E，
所以MN∥平面AD1E，
又因为E为棱CC1的中点，所以EC1∥MB1，EC1＝MB1，
所以四边形EC1B1M是平行四边形，
所以B1C1∥ME，B1C1＝ME，
又B1C1∥A1D1，B1C1＝A1D1，所以A1D1∥ME，A1D1＝ME，
所以四边形ED1A1M是平行四边形，所以A1M∥D1E，
又A1M 平面AD1E，D1E 平面AD1E，
所以A1M∥平面AD1E，
又A1M∩MN＝M，A1M，MN 平面A1MN，
所以平面A1MN∥平面AD1E，
又F为正方形BCC1B1内一个动点（包括边界），且A1F∥平面AD1E，
所以MN为F的轨迹，又，所以动点F的轨迹的长度为，故选项A正确；
对于选项B，又易得，所以F为MN的中点时，A1F⊥MN，
此时，所以|A1F|的最小值为，故选项B正确；
对于选项C，，其中d为F到CC1的距离，
所以d最小时，最小，显然F在点N处时，d最小，
此时，故选项C错误；
因为△CC1N是直角三角形，所以外接球的球心在过NC中点K且与平面CC1N垂直的直线上，
设外接球的球心为O，由OA1＝OC1，
可得，
所以，
即，
解得，
解得，所以外接球的表面积为14π，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2024秋 海口期末）已知一组数据共有6个数，其中5个数为2，1，4，1，0．下列叙述正确的是（　　）
A．这组数据的标准差一定不为0
B．这组数据的众数一定不为3
C．这组数据的中位数一定小于平均数
D．这组数据的极差可能小于平均数
【解答】解：一组数据共有6个数，其中5个数为2，1，4，1，0，
对于A，若这组数据的标准差为0，
根据标准差的公式，
可得每个数应均与平均数相等，不合题意，
∴这组数据的标准差一定不为0，故A正确；
对于B，这组数据中没有3，∴众数一定不为3，故B正确；
对于C，这组数据的中位数与平均数不确定，故C错误；
对于D，设这组数据的第6个数为a，
若a≥4，则平均数为，极差为a，可得；
若0≤a＜4，平均数为，极差为4，可得；
若a＜0，则平均数为，极差为（4﹣a），，
综上可得极差不可能小于平均数，故D错误．
故选：AB．
（多选）12．（2024秋 海口期末）在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AA1的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积为S．下列选项正确的是（　　）
A．A1D与EF所成的角为
B．S的最大值为3π
C．当S取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D．S的最小值为
【解答】解：在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AA1的中点，
过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积为S，
对于A，连接CD1，如图，
由于E、F分别为棱AB、AA1的中点，∴EF∥CD1，
∴A1D与EF所成的角与A1D与CD1所成的角相等，即为∠AD1C（或其补角），
由题意知△ACD1为正三角形，∴，
∴A1D与EF所成的角为，故A错误；
对于B，设正方体外接球的半径为R，则4R2＝22+22+22＝12，
解得，
∴当截面过球心时，截面圆半径最大，为球的半径，
此时S的最大值为3π，故B正确；
对于C，由选项B可知当S取最大值时，
该截面与正方体表面的交线是一个正六边形，如图，
图中六边形FEGHMN均为所在棱的中点，故C正确；
对于D，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，
设正方体外接球的球心为O，如图，
由题意知△EOF为边长为的正三角形，
∴O到EF的距离为，
即可知当球心到截面的距离为时，
截面半径为，
此时S的最小值为，故D正确．
故选：BCD．
（多选）13．（2024春 长春期末）下列命题中，正确的是（　　）
A．在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
【解答】解：对于A，由A＞B，可得：a＞b，利用正弦定理可得：sinA＞sinB，正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈（0，），∵A+B，∴AB＞0，∴sinA＞sin（B）＝cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正确
对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∵A，B∈（0，π），
∴2A＝2B或2A＝π﹣2B，
∴A＝B或，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．
对于D，由于B＝600，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2+c2﹣ac，可得（a﹣c）2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正确．
故选：ABD．
（多选）14．（2024秋 商洛期末）关于复数z＝﹣1+3i，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z的虚部是实部的3倍
【解答】解：因为z＝﹣1+3i，则，A对；
，B对；
复数z在复平面内对应的点（﹣1，3），位于第二象限，C错；
复数z的实部是﹣1，虚部是3，
z＝﹣1+3i，
则z的实部为﹣1，虚部为3，
则z的虚部是实部的﹣3倍，D错．
故选：AB．
（多选）15．（2024秋 锦州期末）已知复数z1，z2，则下列说法不正确的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2
C．z1z2∈R是的充分不必要条件
D．|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，则
【解答】解：令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，显然不成立，故A错误；
令z1＝2+i，z2＝1+i，满足z1﹣z2＞0，显然z1＞z2不成立，故B错误；
令z1＝1，z2＝﹣1，满足z1z2∈R，此时不成立，故C错误；
由|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，可知在复平面内复数z1，z2对应的点与坐标原点的连线构成边长为1的等边三角形，
则|z1+z2|是以OZ1，OZ2为邻边的菱形的另一条对角线长，等于，故D正确．
故选：ABC．
（多选）16．（2024秋 上城区校级期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（　　）
A．A与C互斥 B．B与C对立
C．A与B相互独立 D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
【解答】解：已知“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C，
样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，4，6}，事件B＝{1，2，3，4}，事件C＝{1}，
对于A．∵A∩C＝ ，∴A与C互斥，故A正确．
对于B．∵B∩C＝{1}≠ ，∴B与C不对立，故B错误．
对于C．∵A∩B＝{2，4}，∴，
∵，
∴P（AB）＝P（A）P（B），A与B相互独立，故C正确．
对于D．∵A∪B＝{1，2，3，4，6}，∴，
∵，
∴P（A∪B）≠P（A）+P（B），故D错误．
故选：AC．
（多选）17．（2024秋 辽宁校级期末）下列命题正确的是（　　）
A．若向量共线，则A，B，C，D必在同一条直线上
B．若A，B，C为平面内任意三点，则
C．若点G为△ABC的重心，则
D．已知向量，若∥，则x﹣2y＝0
【解答】解：对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反，
不一定A、B、C、D在同一直线上，故A项错误；
对于B，根据平面向量线的性运算法则，可知，故B项正确；
对于C，若点G为△ABC的重心，设AB中点为M，则，
由三角形重心的性质，得，可得，所以，故C项正确；
对于D，因为向量，且∥，
所以（4+x） y＝x （y﹣2），化简得x+2y＝0，故D项错误．
故选：BC．
（多选）18．（2024秋 潍坊期末）已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若a∥b，a⊥α，则b⊥α
B．若a∥α，α∥β，则a∥β
C．若a⊥α，α∥β，b∥β，则a⊥b
D．若α⊥β，a α，b β，a⊥b，则b⊥α
【解答】解：若a∥b，a⊥α，则b⊥α，∴A选项正确；
若a∥α，α∥β，则a∥β或a β，∴B选项错误；
若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b∥β，则a⊥b，∴C选项正确；
若α⊥β，a α，b β，a⊥b，则b与α可以成任意角，∴D选项错误．
故选：AC．
（多选）19．（2024秋 葫芦岛期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点（　　）
A．
B．向量与共线
C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2
D．若，则λ+μ最大值为
【解答】解：对于A选项，由题意可知，，则，因为M为BC的中点，
则，即，所以，（），
因为A、N、M三点共线，所以存在t∈R，使得t，
因为B、D、N三点共线，所以1，解得t，故，故A选项正确；
对于B选项，因为（）﹣（），所以、不共线，故B选项错误；
对于C选项，因为M为线段BC的中点，所以S△ACM＝S△BCMS△ABC，
由A选项的分析知，，
所以S△ACNS△ACMS△ABC，同理，S△ABNS△ABC，则S△BCNS△ABC，
所以S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2，故C选项正确；
对于D选项，因为m，m∈[0，1]，
所以若，则λ＝1，μ，当m＝1时，λ+μ最大值为，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）20．（2024秋 平和县校级期末）为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是（　　）
A．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
B．乙班成绩的第75百分位数为79
C．甲班成绩的中位数为74
D．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值
【解答】解：根据题意可得甲班成绩的众数为79，乙班成绩的众数为75，故A错误；
因为（0.020+0.025+0.030）×10＝0.75，所以乙班成绩的第75百分位数为80，故B错误；
因为甲班物理成绩从小到大排序的第10个、第11个数都是79，所以中位数为79，故C错误；
因为甲班成绩平均数为：74.8，
乙班物理成绩的平均数的估计值为：55×0.2+65×0.25+75×0.3+85×0.2+95×0.05＝71.5，故D正确．
故选：ABC．
（多选）21．（2024春 龙马潭区期末）将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（　　）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线AD∥平面BCE
【解答】解：对于A，S△ABD，∴表面积为6，故A正确；
对于B，如图，设点D在平面ABC内的投影为O，M为BC中点，
则由对称性可知O为△ABC的重心，∴AOAM，
∵AD＝1，∴正三棱锥D﹣ABC的高为DO，
∴该几何体的体积为V＝2VD﹣ABC＝2，故B错误；
对于C，由B知DO⊥面ABC，由对称性知D，O，E三点共线，
∴DE⊥面ABC，故C正确；
对于D，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
其中Ox轴平行于BC，
∵AO，OM，
∴B（），C（，，0），E（0，0，），
（﹣1，0，0），（，，），
设平面BCE的法向量为（x，y，z），
则，取z＝1，得（0，﹣2，1），
A（0，，0），D（0，0，），（0，，），
∵0，∴直线AD与平面BCE不平行，故D错误．
故选：AC．
（多选）22．（2024秋 新泰市校级期末）已知在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2A1B1＝4，．以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（　　）
A．
B．AM⊥B1C
C．异面直线BB1与A1C所成角的余弦值为
D．点B到直线A1C的距离为
【解答】解：根据题意可得A（0，0，0），B（4，0，0），B1（2，0，4），C（0，4，0），C1（0，2，4），A1（0，0，4）
A中，可得（0﹣2，4﹣0，0﹣4）＝（﹣2，4，﹣4），故A正确；
B中，可得（0，﹣2，4），（0，2，4），（0，，）
则，
因为，所以AM⊥B1C，故B正确；
C中，则，，设异面直线BB1与A1C所成的角为θ，
2×0+0×4+4×（﹣4）＝﹣16，||2，||4，
所以cos，，
所以sinθ＝|cos，|，故C错误；
D中，，则点B到直线A1C的距离为，故D正确．
故选：ABD．
（多选）23．（2024秋 铜陵校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BC1上的动点（含端点），则下列命题正确的是（　　）
A．三棱锥P﹣A1QC的体积为定值
B．直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是
C．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内部能够放入一个表面积为1.44π的球
D．A1P+PQ的最小值为
【解答】解：对于A选项，如下图所示，连接AC1交A1C于点E，连接EQ，
易知E为AC1的中点，又Q是线段AB的中点，
所以BC1∥EQ，又EQ 平面A1CQ，BC1 平面AC1Q，
所以BC1∥平面AC1Q，
又P是线段BC1上的动点（含端点），
所以点P到平面A1CQ的距离等于点B到平面A1CQ的距离，为定值，
又△A1CQ的面积为定值，
所以三棱锥P﹣A1QC的体积为定值，所以A选项正确；
对于B选项，因为CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
所以建系如图：
则A（2，0，0）、C（0，0，0）、Q（1，1，0）、B（0，2，0）、C1（0，0，2），
设，其中0≤λ≤1，
则，
设直线PQ与AC所成角为θ，
所以cosθ＝|cos，|，
所以当时，|cos，|取最大值，此时cosθ取最小值，θ取最大值，
此时，，
所以直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是，故B正确；
对于C选项，因为AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，则，
△ABC的内切圆半径为，
由于直径，所以在这个直三棱柱ABC﹣A1B1C1内部可以放入一个最大半径为的球，
而表面积为1.44π的球，其半径R为：4πR2＝1.44π R＝0.6，
因为，
所以这个直三棱柱ABC﹣A1B1C1内部不可以放入半径为R＝0.6的球，故C错误；
对于D选项，点Q（1，1，0）关于yOz平面的对称点为F（﹣1，1，0），则PQ＝PF，
，，
所以，，则∠BC1F＝30°，
因为AC⊥平面BB1C1C，A1C1∥AC，则A1C1⊥平面BB1C1C，
因为BC1 平面BB1C1C，则A1C1⊥BC1，
将平面A1BC1和平面BFC1延展为一个平面，如下图所示：
在△A1C1F中，A1C1＝2，，∠A1C1F＝120°，
所以，
所以PA1+PF≥A1F，故D正确．
故选：ABD．
（多选）24．（2024秋 朝阳期末）下列关于平面向量的说法错误的是（　　）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数λ，使得
【解答】解：若是共线的单位向量，则或，故A错误；
两向量相等，即大小相等，方向相同，故B正确；
若，的长度可能不等，但方向相同或相反，
此时共线，故C错误；
若，如且时，
则不存在实数λ，使得成立，故D错误．
故选：ACD．
（多选）25．（2024秋 昌江区校级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．若，则2λ﹣μ＝﹣1
【解答】解：选项A，因为，所以AD∥BC，且，
所以，所以，故A正确，
选项B，若，则F为CG的中点，
因为E为CD的中点，所以EF∥DG，
与EF，DG相交于点B矛盾，故B错误，
选项C，因为E为CD的中点，
所以，故C正确，
选项D，因为A，F，C三点共线，
所以，且x+y＝1，
又，，
所以λ＝﹣x，μ＝2y，2λ﹣μ＝﹣2，故D错误，
故选：AC．
（多选）26．（2024秋 济宁期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为棱AA1的中点，则（　　）
A．直线PD1与BC所成的角为30°
B．B1D⊥平面A1BC1
C．过点P且与B1D垂直的平面截正方体所得截面的面积为
D．以P为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线的长度为
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为棱AA1的中点，
对于A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1∥BC，
∴直线PD1与BC所成的角即为直线PD1与A1D1所成的角，即∠A1D1P，
在Rt△PA1D1中，，
∴∠A1D1P不为30°，∴直线PD1与BC所成的角不为30°，故A错误；
对于B，连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，
又DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴DD1⊥A1C1，B1D1∩DD1＝D1，B1D1，DD1 平面DD1B1，
∴A1C1⊥平面DD1B1，
B1D 平面DD1B1，∴A1C1⊥B1D，同理可证A1B⊥B1D，
A1C1∩A1B＝A1，A1C1，A1B 平面A1BC1，∴B1D⊥平面A1BC1，故B正确；
对于C，由B可知B1D⊥平面A1BC1，
∴过点P且与B1D垂直的平面截正方体所得截面与平面A1BC1平行，
设AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点为Q，E，F，G，H，
依次连接P，Q，E，F，G，H，
可得六边形PQEFGH为正六边形，
∵PQ∥A1B，PQ 平面A1BC1，A1B 平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1，
同理可证EQ∥平面A1BC1，EQ∩PQ＝Q，EQ，PQ 面PQEFGH，
∴面PQEFGH∥平面A1BC1，
即过点P且与B1D垂直的平面截正方体所得截面即为六边形PQEFGH，边长为，
其面积为，
∴过点P且与B1D垂直的平面截正方体所得截面的面积为，故C正确；
对于D，过点P作BB1的垂线，垂足为M，则M为BB1的中点，且PM⊥平面BCC1B1，
设以P为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线上的点为K，则，
MK 平面BCC1B1，故PM⊥MK，且，
则以P为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线为平面BCC1B1上以M为圆心，
以为半径的圆弧，如图，
由于∠B1MN＝∠BML＝45°，故∠LMN＝90°，则交线长度为，
∴以P为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线的长度为，故D正确．
故选：BCD．
（多选）27．（2024春 怀宁县校级期末）下列四个命题正确的是（　　）
A．若|z+1﹣i|＝1，则|z﹣1﹣i|的最大值为3
B．若复数z1，z2满足，则
C．若，则点P的轨迹经过△ABC的重心
D．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则
【解答】解：对A，由|z+1﹣i|＝1的几何意义，知复数z对应的动点Z到定点（﹣1，1）的距离为1，即动点Z的轨迹以（﹣1，1）为圆心，1为半径的圆，|z﹣1﹣i|表示动点Z的轨迹与（1，1）的距离，由圆的性质知：，A正确；
对B，设z1＝m+ni，z2＝c+di（m，n，c，d∈R），因为，
所以，
所以mc+nd＝﹣2，所以
，B正确；
对C，由正弦定理得AC sinC＝AB sinB，即，
所以，设BC中点为E，
如图：
则，则，由平面向量的共线定理得A，P，E三点共线，即点P在边BC的中线上，故点P的轨迹经过△ABC的重心，C正确；
对D，如图由已知点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且靠近BC的三等分点处，
故有，所以，D错误．
故选：ABC．
（多选）28．（2024秋 湖北期末）甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（　　）
A．两人都命中的概率为0.56
B．恰好有一人命中的概率为0.38
C．两人都没有命中的概率为0.6
D．至少有一人命中的概率为0.94
【解答】解：根据题意，设事件A＝“甲投篮一次且命中”，事件B＝“乙投篮一次且命中”．
则事件A，B独立，
依次分析选项：
对于A，若两人都命中，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56，故A正确；
对于B，若恰好有一人命中，则0.3×0.8+0.7×0.2＝0.38，故B正确；
对于C，若两人都没有命中，则0.3×0.2＝0.06，故C错误；
对于D，若至少有一人命中，则，故D正确．
故选：ABD．
（多选）29．（2024秋 红河州期末）已知平面直角坐标系中三个点，点D为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．△ABC是锐角三角形
B．在上的投影向量为
C．
D．若四边形ABCE为平行四边形，则点E的坐标为
【解答】解：平面直角坐标系中三个点，
则，，，
则，即△ABC为等边三角形，则△ABC是锐角三角形，故A正确；
因为在上的投影向量为，故B正确；
对于C选项：因为点D为线段AB中点，所以D（0，1），
所以，又，所以，故C错误；
对于D选项：设E（x，y），则，
若四边形ABCE为平行四边形，则，即，
即，解得，所以，故D正确．
故选：ABD．
（多选）30．（2024秋 白城校级期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解答】解：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，A正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为（1﹣β） β （1﹣β）＝β（1﹣β）2，B正确；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝（1﹣α）2（1+2α），
单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1﹣α，而0＜α＜0.5，
因此P﹣P′＝（1﹣α）2（1+2α）﹣（1﹣α）＝α（1﹣α）（1﹣2α）＞0，即P＞P′，D正确．
故选：ABD．
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