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山东师范大学附属中学 2025 届高三下学期 5 月高考模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < 4}, = { |lg( 1) < 1}，那么集合 ∩ =( )
A. (1,2) B. (2,11) C. ( 2,11) D. (1,11)
2 4.已知 = 1 i(i 为虚数单位)，则| | =( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8
3.如果某地的财政收入 与支出 满足线性回归方程 = + + (单位：亿元)，其中， = 0.8， = 2，| | ≤
0.5.若今年该地区财政收入为 10 亿元，则年支出预计不会超过( )
A. 9 亿元 B. 9.5 亿元 C. 10 亿元 D. 10.5 亿元
4.用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A. 8 B. 24 C. 48 D. 120
5 π 1.已知 为 的一个内角，且 tan + 4 = 2，则 cos =( )
A. 10 B. 10 C. 3 10 D. 3 1010 10 10 10
2
6 .已知抛物线 : = 4的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，过 作 的垂线，垂足为 .若| | = | |，则
| | =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 3
7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水， = 8, 1 1 = 2，图 1 中水面高度恰好为棱台高度
1 2
的2，图 2 中水面高度为棱台高度的3，若图 1 和图 2 中纯净水的体积分别为 1, 2，则
1
=( )2
A. 23 B.
6
5 C.
287 D. 387208 208
8.已知函数 ( ) = + (1 ) ( 1)ln 1 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围为( )
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A. 1, 1 1 1 2 ∪ , + ∞ B. , 2 ∪ , + ∞
C. 1, 1 ∪ 0, + ∞ D. 1 , 1 2 2 ∪ 0, + ∞
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 2sin2( + 3 ) 1( > 0)，则下列说法正确的是( )
A.若 = ( ) 1的图象上最高点和最低点间距离的最小值为 π2 + 4，则 = 2
B.若 = ( ) π的图象在[ 6 ,
π
4 ]
3
上单调递增，则 的取值范围是(0, 2 ]
C.若 = ( ) π的图象上所有的点向右平移6个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则 的最小值为 2
D.存在 ，对 ∈ R， ( 12 ) + (

12 ) = 0 恒成立
2 2
10 .已知双曲线 E: 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1、 2，过其右焦点 2(5,0)的直线 与它的右
支交于 、 两点， 1与 轴相交于点 ， 2的内切圆与边 2相切于点 ，设| | = ，则下列说法正
确的是( )
A.若 = 4，则|| 1| | 2|| = 8；
B. 记∠ 1 2 = ，则 1 2的面积 = 2tan 2；
C.若 = 3，过点(2,0)且斜率为 的直线 与 E 有 2 个交点，则 ∈ 4 5 4 55 , 5 ；
D.若 = 3，则 1 2的内切圆与 1 2的内切圆的面积之和的最小值为 8 ．
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 为线段 的中点，且点 满足 = +
1 0 ≤ , ≤ 1 ，则下列说法正确的是( )
A.若 1 //平面 1 ，则 2 + 2
1
最小值为2
B.若 ⊥ 1平面 1 ，则 = 2 , = 1
C.若 = = 12，则 到平面 1
3
的距离为 3
D.若 = 1，0 ≤ ≤ 1 时，直线 3 6与平面 1 所成角为 ，则 sin ∈ 3 , 3
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.在( 2 ) 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数为 ．
13 + .已知等比数列 的前 项和为 ，若 5 2 4 4 = 0， 9 115 7 ≠ 0，则 5
= ．
7
14.定义 = [ , ]的区间长度为 .若 < 0 且关于 的不等式 ( 1)3 + ( 1) ≤ 16 的解集的区间
长度之和为 ，则当 取最大值时，实数 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 sin + 3 cos = 3 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 2，且 sin sin = 38，求 边上中线 的长．
16.(本小题 15 分)
已知数列 是公差为 2 的等差数列，满足 2 = 2 + 1 ∈ ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，若 < 3 ，求 的最大值．
17.(本小题 15 分)
已知 ∈ ，函数 ( ) = ln( + 1) 2 2， ( ) = 2 e + cos ．
(1)当 ≠ 0 时，讨论函数 ( )的单调性；
(2)证明：函数 ( )存在两个零点；
(3)当 > 1 时，不等式 ( ) ≤ 0 恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱 ′中底面长轴 = ′ ′ = 4，
短轴长 2 3， 1， 2为下底面椭圆的左右焦点， 2′为上底面椭圆的右焦点， ′ = 4， 为 ′上的中
点， 为直线 ′ ′上的动点， 为过点 2的下底面的一条动弦(不与 重合)．
(1)求证： 1 2′//平面 ．
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(2)若点 是下底面椭圆上的动点， ′是点 在上底面的投影，且 ′ 1， ′ 2与下底面所成的角分别为 ，
，试求出 tan + 的最小值．
(3)求三棱锥 的体积的取值范围．
19.(本小题 17 分)
近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，
同时提高免疫力．
(1)某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展
后近 5 个月社区居民的睡眠改善情况统计．
月份( ) 1 2 3 4 5
睡眠质量显著改善人数( )280250200160110
若睡眠质量显著改善人数( )与月份变量( )具有线性相关关系(月份变量 依次为 1,2,3,4,5)，请预测第 6 个
月睡眠质量显著改善的大约有多少人？
(2)该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任
1
何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为2，若甲组挑
3 1
战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为4 , 4；若挑战权在丙组，
3 1
则挑战甲组、乙组的概率分别为4 , 4．
(ⅰ)经过 3 次挑战，求挑战权在乙组的次数 的分布列与数学期望；
(ⅱ)定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数 0，使得当 > 0时，
< ( 是一个确定的实数)，则称数列 为“聚点数列”， 称为数列 的聚点．经过 次挑战后，挑
战权在甲组的概率为 ，证明数列 为“聚点数列”，并求出聚点 的值．
附：回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
= =1 = =1 2 2 2 ， =

=1 =1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.70
13. 548
14. 12
15.解：(1)在 中，由 sin + 3 cos = 3 及正弦定理得
sin sin + 3sin cos = 3sin = 3sin( + ) = 3sin cos + 3cos sin ，
即 sin sin = 3sin cos ，
因为 、 ∈ 0, π ，则 sin > 0，即 sin = 3cos > 0，可得 tan = 3 π，故 = 3．
(2) 2 2 4 6由正弦定理可得sin = sin = sin = sinπ =3 3
，
= sin sin
2
所以 sin2 = 4，
在 中，由余弦定理可得 2 = 8 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 = 2 + 2 4，
所以， 2 + 2 = 12，
因为 为 1边上的中线，所以 = + 2 ，
2所以 = 1
2 2 2
4 + =
1
4
+ + 2 = 14
2 + 2 + 2 cos
= 1 2 + 24 + =
1
4 × (12 + 4) = 4，故 = 2，
因此， 边上的中线 的长为 2．
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16.解：(1)因为数列 是公差为 2 的等差数列，所以 = 1 + 2( 1)，
由 2 = 2 + 1 可得 1 + 2(2 1) = 2 1 + 2( 1) + 1，解得 1 = 1，
所以 的通项公式为 = 2 1．
(2) (1) = (1+2 1)由 得 2 =
2，
由 < 3 2 2 得 < 3(2 1)，即 6 + 3 < 0，解得 3 6 < < 3 + 6，
由于 2 < 6 < 3，所以 5 < 3 + 6 < 6，所以 的最大值为 5．
17.(1)解：函数 ( )的定义域为( 1, + ∞)，
′( ) = 2 = 2( +1)又 +1 +1 ，
当 < 0 时， ′( ) < 0，故函数 ( )在区间( 1, + ∞)上单调递减；
当 > 0 时，令 ′( ) = 0，解得 = 2 1，
当 变化时， ′( )， ( )的变化情况如下表所示：

1,2 1 2 1 2 1, + ∞
′( ) + 0

( ) ln
单调递增 2 单调递减
故当 > 0 时，函数 ( )在区间 1, 2 1 上单调递增，在区间 2 1, + ∞ 上单调递减；当 < 0 时，函数
( )在区间( 1, + ∞)上单调递减．
(2)证明：由 ( ) = 2 e + cos ，则 ′( ) = 2 e sin ，
当 ≤ 0 时，sin ≤ 1，e ≤ 1，且等号不同时成立，
则 ′( ) > 0；
当 > 0 时， 1 ≤ cos ≤ 1，e > 1，故 e cos < 0，
设 ( ) = ′( ) = 2 e sin ，则 ′( ) = e cos < 0，
故函数 ′( )在区间(0, + ∞)上单调递减，
又 ′(0) = 1， ′(1) = 2 e1 sin1 < 0，
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故存在 ′0 ∈ (0,1)使得 0 = 0，
当 0 < < 时， ′0 ( ) > 0，当 > 0时， ′( ) < 0
故函数 ( )在 ∞, 0 上单调递增，在 0, + ∞ 上单调递减，
又 (0) = 2 × 0 e0 + cos0 = 0，
0 > 0， π = 2π eπ + cosπ < 2π e3 1 < 0，
存在 1 ∈ 0, π ，使得 1 = 0，
故函数 ( )存在两个零点．
(3)解：设 = ( )， = ( )，
由(2)可得函数 = ( )的图象如图所示：
当 = 0 时，因为 > 1， ( ) = 2 2 < 2 × ( 1) 2 = 0，
则 ( ) < (0) = 0，即 ( ) ≤ 0 恒成立；
当 < 0 时，函数 ( )在区间( 1, + ∞)上单调递减，
又 (0) = 2 < 0，当 → 1 时， ( ) →+∞，
存在 2 ∈ ( 1,0)，使得 2 = 0，
当 ∈ 1, 2 时， = ( ) > 0，
故存在 ∈ 0, 1 ，使 ( ) > 0，即 ( ) > 0，与题设矛盾；

当 > 0 时，函数 = ( )的极大值为 2 1 = ln 2 ，即 ≤ ln 2 ，
当 ln 2 ≤ 0 时，即当 0 < ≤ 2e 时， ≤ 0，
故 ( ) ≤ 0，即 ( ) ≤ 0 恒成立，
ln 当 2 > 0 时，即 > 2e 时，存在 ∈ 0, 1 ，
使 ( ) > 0，即 ( ) > 0，与题设矛盾．
综上，实数 的取值范围为 0,2e ．
18.解：(1)证明：由题设，长轴| | = | ′ ′| = 4，短轴长 2 3，
2
则| 1| = | 2| = | ′
′ 2
2 | = 2 3 = 1，
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′
所以 2, 2 分别是 , ′ ′中点，而柱体中四边形 ′ ′为正方形，连接 ′，
′ ′
由 ′ ′2 // 1，| 2 | = | 1| = 1，
′ ′
故四边形 1 ′ ′2 为平行四边形，则 // 1 2 ，
当 为 ′的中点时，则 2// ′，故 2//
′
1 2 ，
2 ∈面
′
， 1 2 面 ，
′
故 1 2 //平面 ;
(2)由题意知，令| 1 | = ，| 2| = ，则 + = 4，又| ′| = 4，
4 4
所以 = ， = ，
tan( + ) = + = 4( + ) 16则 1 tan tan 16 = 16，
因为 ≤ ( + )22 = 4，
当且仅当 = ，即 tan = tan 上式取等号，
4
所以 tan + 的最小值是 3；
(3)由 = 2 + 2，
正方形 ′ ′中 为 ′中点，易得 与 ′重合时 2 与 垂直，此时 2 = 5， = 20，
则 1 2最大值为2 5· 20 = 5，
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2 2
构建如图直角坐标系，且 (0,2)，椭圆方程为 4 + 3 = 1，
设 ： = + 1，联立椭圆得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，且 = 144( 2 + 1) > 0，
+ = 6 所以 3 2+4， =
9
3 2+4，
而| 2 | = ( + ) 4 ，
12 2| | = +1所以 3 2+4 ，
令 = 2 + 1 ≥ 1，
| 12 12则 | = 3 2+1 = ，3 +1
由令 = 3 + 1 ，我们知道 在[1, + ∞)上递增，
故| | ∈ (0,3],
= + = 1由 2 2 3 2 ，
综上， ∈ (0,5]．
19.(1) 1+2+3+4+5解： = 5 = 3， =
280+250+200+160+110
5 = 200．
5 =1 = 1 × 280 + 2 × 250 + 3 × 200 + 4 × 160 + 5 × 110 = 280 + 500 + 600 + 640 + 550 = 2570，
5 2 2 2 =1 = 1 + 2 + 3
2 + 42 + 52 = 55．
= =1 = 2570 5×3×200 = 2570 3000 430
2 2 55 5×3
2 55 45 = 10 = 43，
=1
= = 200 ( 43) × 3 = 200 + 129 = 329．
所以回归直线方程为 = 43 + 329，
当 = 6 时， = 43 × 6 + 329 = 258 + 329 = 71，
即预测第 6 个月睡眠质量显著改善的大约有 71 人．
(2)解：(ⅰ) 的可能取值为 0,1,2．
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( = 0) = 1 × 32 4 ×
1 3
2 = 16；
( = 1) = 1 × 1 × 3 + 1 × 3 × 1 + 1 × 1 + 1 × 3 × 12 4 4 2 4 2 2 4 2 4 2 =
19
32；
( = 2) = 1 × 1 × 1 + 1 × 3 × 12 4 4 2 4 2 =
7
32；
所以 的分布列为：
0 1 2
3 19 7
16 32 32
( ) = 0 × 3 19 7 3316 + 1 × 32 + 2 × 32 = 32．
(ⅱ)第 次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为{ }, { }，
当 ≥ 2 时， + + = 1
3 3
= 4 1 + 4 1①
1 1
= 2 1 + 4 1②
,
1 1
= 2 1 + 4 1③
+ 1② ③得： + = 1 + 4 ( 1 + 1)，
+ = 4由①得： 1 1 3
1 4 3 3
∴ 1 = 1 + 4 × 3 , ∴ = 4 4 1
∴
3
7 =
3
4 (
3
1 7 )，其中 1 = 0
∴ { 3 7 }
3 3
是以 7为首项， 4为公比的等比数列，
所以 3 3 3 1 3 3 3 1 7 = 7 × ( 4 ) , ∴ = 7 7 × ( 4 ) ，
| 3 3 3 3 3 3由聚点数列的定义知： × ( 1 17 7 4 ) 7 | = 7 × ( 4 ) ，
→+∞ 3 3当 时， × ( ) 17 4 → 0，
所以，对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数 0，使得当 > 0时，
3
7 < ，所以数列
{ }
3
是聚点数列，且聚点 = 7．
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