资源简介

山东省济南外国语学校 2025届高三下学期 5月针对性检测(三)
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 在复平面内对应的点的坐标是(1, 2)，则 i =( )
A. 1 + 2i B. 1 2i C. 2 + i D. 2 + i
2.已知集合 = || | < 3 , = ∈ ∣ 2 < 11 ，则 ∩ =( )
A. 2, 1,0,1,2,3 B. 0,1,2 C. 1,2,3 D. 1,2
3.函数 ( ) = 2 + e e sin 在区间[ 3.4,3.4]的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且满足 1 = 1， 2 = 3，等比数列{ }的前 项和为 ，且满足 1 = 2，
2 = 6，则 6的值为( )
A. 42 B. 62 C. 63 D. 126
5.若函数 ( ) = sin( + 3 )(0 < < 3)
5
的图象向右平移 6个长度单位后关于点( 2 , 0)对称，则 ( )在[

2 , ]上的最小值为( )
A. 1 B. 12 C.
3
2 D.
6 2
4
6 π.若非零向量 ， 满足 = 2 = 8，且向量 与向量 的夹角 , = 6，则
的值为( )
A. 24 B. 24 C. 8 3 D. 0
7.如图，正方形 1 1 1 1的边长为 1，取正方形各边的四等分点 2, 2, 2, 2，得到第 2 个正方形 2 2 2 2，
再取正方形 2 2 2 2各边的四等分点 3, 3, 3, 3，得到第 3 个正方形 3 3 3 3，依此方法一直进行下去，
1
若从第 个正方形开始它的面积小于第 1 个正方形面积的50，则 = ( )(参考数据：lg2 ≈ 0.3)
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
第 1页，共 9页
8.已知函数 ( ) = 1e +e ，则 = log0.41.2 ， = 0.3
0.4 ， = 0.40.3 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据( , )， ∈ {1,2,3, , 100}.其中
100
> 1895， =1 = 2 × 10
5，100 =1 = 970，求得其经验
回归方程为： = 0.02 + 1，残差为 .对样本数据进行处理： ′ = ln( 1895)，得到新的数据( ′ , )，
求得其经验回归方程为： = 0.42 + 2，其残差为 ． ， 分布如图所示，且 (0, 2)， (0, 21 2)，
则( )
A.样本( , )负相关 B. 1 = 49.7
C. 2 < 21 2 D.处理后的决定系数变大
10 1.函数 ( ) = ln + 2，则( )
A. ′( ) = 1 2 B. ( )的单调递增区间为(1, + ∞)
C. ( )最大值为 1 D. ( )有两个零点
2
11 :
2
.已知椭圆 4 + 2 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，点 在 上，圆 :
2 + 2 = 4，则下列说法正确的
是( )
A.若∠ 1 2 = 90°，则 1 2的面积为 2
B.若∠ 1 2 = 90°，则直线 2被圆 截得的弦长为 2 3
C.若 1 2为等腰三角形，则满足条件的点 有 2 个
D.若 为 与 轴正半轴的交点， 为圆 的直径( 在第一象限)， 的中点为 ， = ( 表示斜率)，
1则点 的横坐标为3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知圆 的圆心在第一象限，且在直线 = 2 上，圆 与抛物线 2 = 4 的准线和 轴都相切，则圆 的方
程为__ __．
第 2页，共 9页
13.一组从小到大排列的数据：0，1，3，4，6，7，9， ，11，12，若删去 前后它们的 80 百分位数相同，
则 = ．
14.经研究发现：任意一个三次多项式函数 ( ) = 3 + 2 + + 的图象都有且只有一个对称中心点
( 0, ( 0))，其中 0是 ′′( ) = 0 的根， ′( )是 ( )的导数， ′′( )是 ′( )的导数.若函数 ( ) = 3 +
2 + + 图象的对称中心点为( 1,2)，且不等式 (ln + 1) ≥ [ ( ) 3 3 2 + ] 对任意 ∈
(1, + ∞)恒成立，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
的内角 , , + 的对边分别为 , , ，已知 sin 2 = sin ．
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形， = 3，求 2 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱台 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ， 1 = 1 1 = 1 = 2， = 4， = ．
(1)证明： 1 ⊥ 1；
(2)当直线 1与平面 1 1所成的角最大时，求三棱台 1 1 1的体积．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln + + 1(其中 ∈ R).
(1)当 = 1 时，求 ( )的单调区间；
(2)对任意 ∈ (0, + ∞)，都有 ( ) ≤ e 成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2
如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 ： 2 +
2 = 1 的左，右焦点外别为 1， 2，设 是第一象限内 上
的一点， 1、 2的延长线分别交 于点 1、 2．
第 3页，共 9页
(1)求 1 2的周长；
(2)求 1 2面积的取值范围；
(3)设 1、 2分别为 1 2、 2 1的内切圆半径，求 1 2的最大值．
19.(本小题 17 分)
2
国学小组有编号为 1，2，3，…， 的 位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为3、答对第二
1
题的概率为2，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，
第 1 号同学开始第 1 轮出赛，先答第一题；②若第 ( = 1,2,3, , 1)号同学未答对第一题，则第 轮比赛
失败，由第 + 1 号同学继继续比赛；③若第 ( = 1,2,3, , 1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该
生答对第二题，则比赛在第 轮结束；若该生未答对第二题，则第 轮比赛失败，由第 + 1 号同学继续答第
二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第 轮，则不管第 号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量 表示 名同学在第 轮比赛结束，当 = 3 时，求随机变量 3的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第 ( = 1,2,3, , 1)号同学未答对第二题，则第 轮比赛失败，第 + 1 号同学
重新从第一题开始作答．令随机变量 表示 名挑战者在第 轮比赛结束．
①求随机变量 ∈ N , ≥ 2 的分布列；
②证明： 单调递增，且小于 3．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 1)2 + ( 2)2 = 4
13.11
14.( ∞, ]
15.解：(1)因为 sin + 2 = sin ，由正弦定理得 sin sin (

2 ) = sin sin ，
故 sin cos 2 = 2sin
cos 2 2 sin ，
在 中，0 < < ，0 < < ，所以 sin > 0 ，0 < 2 <

2，则 cos

2 > 0，
1
可得 sin 2 = 2，所以2 = 6，所以 = 3；
(2) 3由正弦定理可得 2 = = = = 3 = 2( 为△ 外接圆的半径)，sin sin sin
2
所以 = 2sin ， = 2sin ，

因为 = 3，则 + =
2 = 2 3， 3 ，
所以 2 = 4sin 2sin ( 2 3 ) = 3sin 3cos = 2 3sin (

6 )，
0 < <
因为 2 为锐角三角形，则 ，解得 < < ，
0 < = 2 < 6 23 2
则 6 ∈ (0,

3 )
3
，sin ( 6 ) ∈ (0, 2 )，故 2 ∈ (0,3)．
第 5页，共 9页
16.解：(1)在三棱台 1 1 1中，
取 的中点 ，连接 , 1 , 1 ，
由 = ，得 ⊥ ，
由平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ，
平面 ，得 ⊥平面 1 1 ，而 1 平面 1 1 ，则 1 ⊥ ，
又 1 1// ， 1 1 = = 1，
则四边形 1 1是菱形， 1 ⊥ 1 ，
而 1 ∩ = ， 1 , 平面 1 ，
因此 1 ⊥平面 1 ，又 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥ 1．
(2)取 1 1中点 ，则 ⊥ ，由平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ，
平面 1 1 ，则 ⊥平面 ，直线 , , 两两垂直，
以点 原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
设 = ( > 0)，
则 ( , 0,0)， (0, 2,0)， 1(0, 1, 3)， 1(0,1, 3)， 1 = ( , 1, 3)，
1 1 = (0,2,0)， 1 = 1 + = +
1
1 1 1 2
= ( 2 , 0, 3)，
= 2 = 0
设平面 1 11 1的法向量 = ( , , )，则 1
,
= + 3 = 0
取 = 3，得 = ( 3, 0, )，
3
设直线 | |1与平面 1 21 1所成的角为 ，sin = |cos 1, | = | 1
=
|| | 2
4 +3
2+3
第 6页，共 9页
= 3 = 3 = 3 ≤ 3 = 1，
2+12 2+3 4+15 2+36 2+15+36 3
2 15+2 2 36
2
2 = 36当且仅当 2，即 = 6时取等号，
1
所以三棱台 1 1 1的体积 = 3 ( + 1 1 1 + 1 1 1)
= 13 (
1
2 × 4 × 6 +
1
2 × 2 ×
6 1 1 6
2 + 2 × 4 × 6 × 2 × 2 × 2 ) × 3 =
7 2
2 ．
17.(1)将 = 1 代入函数中， ( ) = ln + 1 > 0 ′( ) = 1 1 = 1 ，由 ，所以 ，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，所以函数 ( )在(0,1)上单调递增；
当 > 1 时， ′( ) < 0，所以函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减；
所以 ( )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1, + ∞)．
(2)任意 ∈ (0, + ∞)都有 ( ) ≤ e 成立，

即 ( ) = ln + + 1 ≤ e e ln 1，即 ≤ ，
2
( ) = e ln 1 ′( ) = e +ln 令 ，则 2 ，
令 ( ) = 2e + ln ， ′( ) = e 2 + 2 + 1 ，
在(0, + ∞)上 ′( ) > 0 恒成立，即 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
1
1
又 e 2e = e 1 < 0， (1) = e > 0，故 ( )
1
在 e , 1 内有零点，设零点为 0，
当 ∈ 0, 0 时， ′( ) < 0， ( )在 ∈ 0, 0 上单调递减；
当 ∈ ′0, + ∞ 时， ( ) > 0， ( )在 ∈ 0, + ∞ 上单调递增；
ln 1
且 2 0e 0 + ln = 0
ln 1
0 ，则 e 0 = 0，所以 e 0 0 0 = ln e
0，
0 0
设 ( ) = e ， > 0， ′( ) = e ( + 1) > 0，所以 ( )在(0, + ∞)单调递增，
所以 0 = ln
1
， 0 > 0，ln
1
> 0 = ln
1
，即 ，所以e 0 0 =
1
，0 0 0 0
0
所以 ( )最小值 0 =
0e ln 0 1
= 1，所以 ≤ 1，即实数 的取值范围是 ∞, 1 ．0
18.解：(1) ∵ 1， 2为椭圆 的两焦点，且 ， 2为椭圆上的点，
第 7页，共 9页
∴ 1 + 2 = 2 1 + 2 2 = 2 ，从而 2 1的周长为 4 ．
由题意，得 4 = 4 2，即 1 2的周长为 4 2．
(2)由题意可设过 2的直线方程为 = + 1， ( 0, 0), 2( 2, 2), ( 0 > 0, 0 > 0)
= + 1
联立 2 + 2 2 = 2，消去 得(
2 + 2) 2 + 2 1 = 0，
2 1则 0 + 2 = 2+2 , 0 2 = 2+2，
| 2
2 4 8 8
所以 0 2| = 2+2 + 2+2 = 2+2 ( 2+2)2，
= 1令 2+2 (0 < ≤
1
2 )，
则| 0 2| = 8( 2) ≤ 2( =
1
当 2时等号成立，即 = 0 时)
所以 1 2 =
1
2 | 1 2|| 0 2| =
1
2 × 2 | 0 2| = | 0 2| ≤ 2，
故 1 2面积的取值范围为 0, 2 ．
2 2
(3)设 1( 1, 1)

，直线 1 的方程为： = 0 +1 ( + 1)，将其代入椭圆 的方程可得 +
0
2 ( +1)2 ( + 1)
2 = 1，
0 0
整理可得(2 + 3) 2 20 + 4 0 3 20 4 0 = 0，
2
= 3 0 4 0 = 3 0+4则 0 1 2 +3 ，得 1 2 +3， =
0 3 0+4 0
1
0 0 0+1
( 2 0+3
+ 1) = 2 0+3
，
故 2 0 + 3．

当 0 ≠ 1 时，直线 2 的方程为： = 0 1 ( 1)，将其代入椭圆方程并整理可得( 2 0 + 3)
2 4 20 0
3 20 + 4 0 = 0，
同理，可得 2 0 3，
= 1 × 4 2 , = 1因为 1 2 2 1 2 1 2 × 4 2 2，
1 1
所以 = △ 1 2 △ 2 1

= △ 1 2 2
△ 1 2 1 ×2 ( ) ×2 ( )
1 2 2 2 2 2 2 2 =
2 2 2 1
2 2
2 2，
当且仅当 5 时，等号成立．
若 2 ⊥ (1,
2
轴时，易知 2 )
2
，10， 2 = 2 ，
此时 2 2，
综上， 1
1
2的最大值为3．
第 8页，共 9页
19.(1)由题设， 3可取值为 1，2，3，
= 1 = 2 × 1 = 1 = 2 = 2 × 1 × 1 + 1 × 2 × 1 53 3 2 3， 3 3 2 2 3 3 2 = 18， 3 = 3 = 1
1 5 73 18 = 18，
因此 3的分布列为
3
1 2 3
1 5 7
3 18 18
(2)① 可取值为 1，2，…， ，
= 2 × 1 = 1 1 2 × 1 = 2每位同学两题都答对的概率为 3 2 3，则答题失败的概率均为： 3 2 3，
1 1
所以 = 1 ≤ ≤ 1, ∈ N 时， = =
2 1 2
3 × 3；当 = 时 = = 3 ，
故 的分布列为：
1
1 2 3 …
2 2 2 2
1 2 1
1
× 3 3
2
3 3 3 1 … 1 3× 3 × 3
2 1 1
②由①知： =
1
=1 3 ×
1
3 +
2
3 ( ∈ N
, ≥ 2).
1 1
2 1 2 2 2 +1 = 3 × 3 + ( + 1) 3 3 = 3 > 0，故 单调递增；
由上得 2 =
5
3，故 = 2 + 3 2 + 4 3 + + 1 ，
2 2 2 2
∴ = 5 2
2 3 1 3 1 3 1
3 + 3 +
2 2 5 2
3 + + 3 = 3 + 2 = 3 2 ×1 3
< 3，
3
故 2 < 3 < 4 < 5 < < < 3．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑