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第六章平面向量及其应用真题复习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 天津期末）已知向量（﹣1，2），（1，1），则在上的投影向量为（　　）
A． B．（﹣1，2） C．（，） D．（）
2．（2022春 奉化区期末）若向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024春 浑源县校级期末）投掷两枚骰子，分别得到点数a，b，向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021春 扬中市校级期末）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数λ+μ的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024春 郴州期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝bcsinA+（b﹣c）2，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023春 玉林期末）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得P的仰角为30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60（单位：m），（点A，B，O在同一水平地面上），则大跳台最高高度OP＝（　　）
A．45m B． C．60m D．
7．（2019春 桃江县期末）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|，且，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
8．（2024秋 五华区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的点．当△APQ的周长为2时，则∠PCQ的大小为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 佳木斯期末）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
（多选）10．（2024秋 杭州期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝6，∠BAC＝60°，D是边BC上的一点，则（　　）
A．
B．△ABC外接圆的半径是
C．若，则
D．若AD是∠BAC的平分线，则
（多选）11．（2024春 钦州期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝2，，则A的值可以是（　　）
A． B． C． D．
三．填空题（共3小题）
12．（2022春 天元区校级期末）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其外接圆半径R＝c，ab＝3，则△ABC的面积为 　 　 ．
13．（2024秋 耒阳市校级期末）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，，则λ+μ＝　 　 ；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 　 　 ．
14．（2022春 昆山市校级期末）如图，在△ABC中，，，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则x+y＝　 　 ；若AB＝3，AC＝4，∠BAC，则　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 福建期末）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝3，c＝5，求b．
16．（2022春 青秀区校级期末）如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧上一动点，B为半径上一点且满足．
（1）若OB＝1，求AB的长；
（2）求△ABM面积的最大值．
17．（2024春 运城期末）如图，四边形ABCD中，，AB＝3，BC＝2，且∠ABC为锐角．
（1）求DB；
（2）求△ACD的面积．
18．（2023春 金坛区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
（1）求证：；
（2）若CD＝2BD，求cos∠ADC．
19．（2024秋 辽宁校级期末）如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M，N两点．
（1）若，求λ，μ的值；
（2）设，，m＞0，n＞0，求的值．
第六章平面向量及其应用真题复习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B C C C B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ACD AD
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 天津期末）已知向量（﹣1，2），（1，1），则在上的投影向量为（　　）
A． B．（﹣1，2） C．（，） D．（）
【解答】解：由题意，在上的投影向量为 （，）．
故选：D．
2．（2022春 奉化区期末）若向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴与的夹角为．
故选：C．
3．（2024春 浑源县校级期末）投掷两枚骰子，分别得到点数a，b，向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为θ，则，
又因为向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角，则cosθ＞0，
∴a﹣b＞0，∴a＞b，
可知，投掷两枚骰子，分别得到点数a，b共有36种等可能情况，
当a＞b时，即有：a＝2时，b＝1，有1种情况；
a＝3时，b＝1，2，有2种情况；
a＝4时，b＝1，2，3，有3种情况；
a＝5时，b＝1，2，3，4，有4种情况；
a＝6时，b＝1，2，3，4，5，有5种情况；
所以a＞b，共有1+2+3+4+5＝15种等可能情况，
则向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角的概率．
故选：C．
4．（2021春 扬中市校级期末）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数λ+μ的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，．，
，，
∴，
，
∴，又，
则，，
∴，
故选：B．
5．（2024春 郴州期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝bcsinA+（b﹣c）2，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为a2＝bcsinA+（b﹣c）2，整理可得：b2+c2﹣a2＝bc（2﹣sinA），
由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，
所以2cosA＝2﹣sinA，
在锐角△ABC中，cosA＞0，
所以22﹣sinA，
解得sinA或sinA＝0（舍），
所以cosA，
可得，
由B+C＝π﹣A，且，，解得，
所以，所以，
所以，设，其中t，
所以，当且仅当时，即时取最小值，
由于，且函数在上单调递减，
函数在上单调递增，
又，，
所以函数y∈[2，）．
故选：C．
6．（2023春 玉林期末）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得P的仰角为30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60（单位：m），（点A，B，O在同一水平地面上），则大跳台最高高度OP＝（　　）
A．45m B． C．60m D．
【解答】解：在△ABO中，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60，可得∠AOB＝30°，
由正弦定理，即，
可得OA＝60，
由题意OP⊥面OAB，可得OP⊥OA，
∠PAO＝30°，
所以OP＝OA tan∠PAO＝6060，
故选：C．
7．（2019春 桃江县期末）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|，且，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
【解答】解：∵||＝||＝||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心，
根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，
∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，
∵，∴（）＝0，0，∴，
同理得到另外两个向量都与边垂直，
得到P是三角形的垂心，
故选：C．
8．（2024秋 五华区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的点．当△APQ的周长为2时，则∠PCQ的大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：把Rt△CBP绕C顺时针旋转90°，得到Rt△CDE，如图，
则E在AD的延长线上，并且CE＝CP，DE＝PB，∠ECP＝90°，
∵△APQ的周长为2，
∴QP＝2﹣AQ﹣AP，
而正方形ABCD的边长为1，
∴DE＝PB＝1﹣AP，
DQ＝1﹣AQ，
∴QE＝DE+DQ＝2﹣AQ﹣AP，
∴QE＝QP，
而CQ公共，
∴△CQE≌△CQP，
∴∠PCQ＝∠QCE，
∴∠PCQ＝45°．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 佳木斯期末）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
【解答】解：由，
∵P为线段CM的中点，∴，
∴，故A正确；
∵A，P，N共线，∴λλλ，又B，N，C在同一直线上，
∴λλ＝1，解得λ，∴，
∴，∴2，故B错误；
∵AB＝3，AC＝2，BC＝4，∴cosA，
∴||＝||，故C正确；
（） 3×2×（）4，
∴与夹角的余弦值为cos，cos，，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2024秋 杭州期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝6，∠BAC＝60°，D是边BC上的一点，则（　　）
A．
B．△ABC外接圆的半径是
C．若，则
D．若AD是∠BAC的平分线，则
【解答】解：对于选项A，，故选项A正确；
对于选项B，由余弦定理，得BC2＝4+36﹣2×2×6×cos60°＝28，解得，
由正弦定理，得△ABC外接圆的半径是，故选项B错误；
对于选项C，因为，所以，所以，则，故选项C正确；
对于选项D：由等面积法得：
即，解得，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2024春 钦州期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝2，，则A的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，且0＜B＜π，
所以，
由正弦定理可得，
则sinA，
0＜A＜π，
故或．
故选：AD．
三．填空题（共3小题）
12．（2022春 天元区校级期末）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其外接圆半径R＝c，ab＝3，则△ABC的面积为 　　 ．
【解答】解：由题，由正弦定理得，
所以，
所以．
故答案为：．
13．（2024秋 耒阳市校级期末）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，，则λ+μ＝　　 ；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 　　 ．
【解答】解：由题意可知，
，
∴，μ＝1，∴λ+μ；
如图：
设m（0≤m≤1），
则m（）＝（1），
∵G为AF中点，
∴[（1）]＝（），
∵正方形ABCD的边长为1，
∴1，0，
∴[（1）] [（）]
＝（m﹣1）（m）+m（），
对于函数y，对称轴为m，
∴函数y在[0，1]上单调递减，
∴当m＝1时，函数y取得最小值，
即的最小为．
故答案为：；．
14．（2022春 昆山市校级期末）如图，在△ABC中，，，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则x+y＝　　 ；若AB＝3，AC＝4，∠BAC，则　　 ．
【解答】解：由题意可知点P为三角形ABC的重心，
因为，
所以），
所以x，则x+y；
因为AB＝3，AC＝4，，
所以|||，
又AE＝2EB，所以，
所以（）），
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 福建期末）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝3，c＝5，求b．
【解答】解：（1）∵a＝2bsinA，
又∵由正弦定理可得，
∴，
∵B为锐角，
∴B＝30°．
（2）由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cosB＝27+25﹣45＝7，
则．
16．（2022春 青秀区校级期末）如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧上一动点，B为半径上一点且满足．
（1）若OB＝1，求AB的长；
（2）求△ABM面积的最大值．
【解答】解：（1）在△OAB中，由余弦定理得，OA2＝OB2+AB2﹣2OB AB cos∠OBA，
即3＝1+AB2﹣2 AB （），即AB2+AB﹣2＝0，即（AB+2）（AB﹣1）＝0，
可得AB＝1；
（2）因为∠MOB，∠OBA，
所以∠MOB+∠OBA＝π，所以OM∥AB，
所以S△MAB＝S△OAB，
设OB＝x，AB＝y，
则在△OAB中，由余弦定理得，OA2＝OB2+AB2﹣2OB AB cos∠OBA，
即3＝x2+y2+xy≥2xy+xy，可得xy≤1，当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以S△OAB OB AB sin∠OBA，当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以△ABM面积的最大值为．
17．（2024春 运城期末）如图，四边形ABCD中，，AB＝3，BC＝2，且∠ABC为锐角．
（1）求DB；
（2）求△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵，∴AB BC sin∠ABC，
又AB＝3，BC＝2，3×2×sin∠ABC，
∴sin∠ABC，
∵∠ABC是锐角，∴．
由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BC cos∠ABC＝7，则AC．
∵，∴BD是四边形ABCD外接圆的直径，
∴BD是△ABC外接圆的直径，利用正弦定理知BD；
（2）由，BD，AB＝3，BC＝2，
则AD，CD，又，则，
因此S△ACDAD CD sin∠ADC，
故△ACD的面积为．
18．（2023春 金坛区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
（1）求证：；
（2）若CD＝2BD，求cos∠ADC．
【解答】解：（1）证明：因为，
由余弦定理可得，
整理得，则，
又0＜A＜π，所以，
在△ACD中，由正弦定理得，则，
同理，在△BAD中，可得，
则，
则．
（2）由CD＝2BD，可得，又
则，
因为∠ADC+∠ADB＝π，
所以cos∠ADC+cos∠ADB＝0，
所以，化简整理得a2﹣b2＝2c2①，
又，则②，
①②联立可得，
则．
19．（2024秋 辽宁校级期末）如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M，N两点．
（1）若，求λ，μ的值；
（2）设，，m＞0，n＞0，求的值．
【解答】解：（1）因，
所以，
又因D为BC的中点，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，m＞0，n＞0，
所以，，又因，
所以，
又因M，O，N三点共线，
所以，即．
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