第四章数列真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册(含解析)

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第四章数列真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册(含解析)

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第四章数列真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册
一.选择题(共8小题)
1.(2024秋 黑龙江期末)在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=(  )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(2021春 铁岭期末)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这十二个节气,其日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为33尺,前九个节气日影长之和为108尺,则谷雨日影长为(  )
A.14 B.15 C.16 D.17
3.(2025春 仙游县期末)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=8a4=1,则S3=(  )
A.7 B.5 C. D.
4.(2024秋 邵阳期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差不为0,若a4,a5,a7构成等比数列,S11=66,则a8=(  )
A.7 B.8 C.10 D.12
5.(2024秋 河东区期末)数列﹣2,,…的通项公式可以为(  )
A. B.
C. D.
6.(2024春 德兴市校级期末)若数列{an}的前n项和为Sn,(n∈N*,an>0),则下列结论正确的是(  )
A.a2022a2023>1
B.
C.
D.
7.(2024春 南阳期末)如图,△ABC,△CBD,△DBE,△EBF,…均为直角三角形,A,C,D,E,…为直角顶点,∠ABC=∠CBD=∠DBE=∠EBF=…=60°,且AB=1,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{an},则a10=(  )
A. B.
C. D.
8.(2024春 东湖区校级期末)已知项数为k(k∈N*)的等差数列{an}满足a1=1,.若a1+a2+ +ak=8,则k的最大值是(  )
A.14 B.15 C.16 D.17
二.多选题(共3小题)
(多选)9.(2024秋 牡丹江期末)已知数列{an}是公比为q的等比数列,且a2,a4,a3成等差数列,则q=(  )
A. B. C.﹣1 D.1
(多选)10.(2024春 谯城区校级期末)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2an+1=an+an+2,其中a1=19,a2=17,则下列选项正确的是(  )
A.a4=13
B.{an}为等差数列
C.
D.当n=11时,Sn有最大值
(多选)11.(2024秋 尚志市期末)在数列{pn}中,如果对任意n≥2(n∈N*),都有(k为常数),则称数列{pn}为比等差数列,k称为比公差.则下列说法错误的是(  )
A.等比数列一定是比等差数列,且比公差k=1
B.等差数列一定不是比等差数列
C.若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则数列{an bn}一定是比等差数列
D.若数列{an}满足a1=a2=1,an+1=an+an﹣1(n≥2),则该数列不是比等差数列
三.填空题(共3小题)
12.(2024春 奉贤区期末)已知数列{an}为等差数列,a3=6,a6=12,则公差d=     .
13.(2024秋 河东区期末)在等差数列{an} 中,已知公差,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+…+a100=    .
14.(2024春 潮州期末)“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,记第2行的第3个数字为a1,第3行的第3个数字为a2,…,第n+1行的第3个数字为an,则a6=    ,数列的前n项和Sn=    .
四.解答题(共5小题)
15.(2022春 韶关期末)已知数列{an}满足an+1=2an+3n﹣3,且a1=﹣1.
(1)若bn=an+3n,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
16.(2024秋 泰山区校级期末)设正项数列{an}的前n项和为Sn,若.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若不等式对任意正整数n均成立,求λ的取值范围.
17.(2024春 浑南区校级期末)已知等比数列{an}的公比q>0,且a3+a1a5=6,a6=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=λ 3n﹣an,且{bn}是严格增数列,求实数λ的取值范围.
18.(2025春 仙游县期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,,a1=1.
(1)证明:数列为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和为Sn;
(3)若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立.求实数λ的取值范围.
=
19.(2024秋 邯郸期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣n.
(1)证明:{an+1}为等比数列;
(2)证明:1;
(3)Tn为数列{bn}前n项和,设bn=log2(an+1),是否存在正整数m,k,2Tm+19时成立,若存在,求出m,k;若不存在,说明理由.
第四章数列真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C B D C B
二.多选题(共3小题)
题号 9 10 11
答案 AD ABC ABC
一.选择题(共8小题)
1.(2024秋 黑龙江期末)在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=(  )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解答】解:由题意,根据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.
∴a7=a3+a5﹣a1=8﹣1=7.
故选:C.
2.(2021春 铁岭期末)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这十二个节气,其日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为33尺,前九个节气日影长之和为108尺,则谷雨日影长为(  )
A.14 B.15 C.16 D.17
【解答】解:设从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,
这十二个节气,其日影长依次成等差数列{an},公差为d,前n项和为Sn,谷雨日影长为a9,
根据题意可知:a1+a4+a7=33,S9=108,
得3a4=33,108,
得a4=11,a5=12,∴d=12﹣11=1,
∴a9=a5+4d=12+4=16.
故选:C.
3.(2025春 仙游县期末)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=8a4=1,则S3=(  )
A.7 B.5 C. D.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,
因为a1=8a4=1,所以,
所以,所以,
所以.
故选:D.
4.(2024秋 邵阳期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差不为0,若a4,a5,a7构成等比数列,S11=66,则a8=(  )
A.7 B.8 C.10 D.12
【解答】解:设公差为d,由题意可得,
即,
解得舍去,或,所以an=﹣4+2(n﹣1)=2n﹣6,
可得a8=16﹣6=10.
故选:C.
5.(2024秋 河东区期末)数列﹣2,,…的通项公式可以为(  )
A. B.
C. D.
【解答】解:结合选项可知,当n=1时,A,C,D与已知显然不符合;
故﹣2,,…的通项公式可以为(﹣1)n.
故选:B.
6.(2024春 德兴市校级期末)若数列{an}的前n项和为Sn,(n∈N*,an>0),则下列结论正确的是(  )
A.a2022a2023>1
B.
C.
D.
【解答】解:令n=1,则,即,由an>0,得a1=1;
当n≥2时,,即1,又,
故{Sn}为首项是1,公差为1的等差数列,则,
故,所以当n≥2时,,
a1=1也适合该式,故,
对于A,a2022a2023=()()=
,A错误;
对于B,,B错误;
对于C,,C错误;
对于D,当n≥2时,,
故 1+2(1)+2()+ +2()=1+2(﹣1+10)=19,D正确.
故选:D.
7.(2024春 南阳期末)如图,△ABC,△CBD,△DBE,△EBF,…均为直角三角形,A,C,D,E,…为直角顶点,∠ABC=∠CBD=∠DBE=∠EBF=…=60°,且AB=1,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{an},则a10=(  )
A. B.
C. D.
【解答】解:根据题意,A,C,D,E,…为直角顶点,∠ABC=∠CBD=∠DBE=∠EBF=…=60°,
可得这些直角三角形是相似的,
由AB=1,BC=2,
可得相邻两个三角形的相似比为,
从而这些三角形的周长从小到大组成的数列{an}是等比数列,公比q=2,
首项为△ABC的周长,即为1+2,
因此.
故选:C.
8.(2024春 东湖区校级期末)已知项数为k(k∈N*)的等差数列{an}满足a1=1,.若a1+a2+ +ak=8,则k的最大值是(  )
A.14 B.15 C.16 D.17
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,
∵a1=1,,
∴1+(n﹣2)d<4[1+(n﹣1)d],
∴d,∴d,
∵a1+a2+…+ak=8,
∴kd=8,解得d,
∴,即3k2﹣49k+32<0,
令f(k)=3k2﹣49k+32=3,
k≥9时,函数f(k)单调递增,
而f(15)=﹣28<0,f(16)=16>0,
则k的最大值是15.
故选:B.
二.多选题(共3小题)
(多选)9.(2024秋 牡丹江期末)已知数列{an}是公比为q的等比数列,且a2,a4,a3成等差数列,则q=(  )
A. B. C.﹣1 D.1
【解答】解:由题意,a2+a3=2a4,由等比数列通项公式可得,
由于等比数列每一项都不是0,故2q2﹣1﹣q=0,
即(2q+1)(q﹣1)=0,解得或q=1.
故选:AD.
(多选)10.(2024春 谯城区校级期末)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2an+1=an+an+2,其中a1=19,a2=17,则下列选项正确的是(  )
A.a4=13
B.{an}为等差数列
C.
D.当n=11时,Sn有最大值
【解答】解:因为2an+1=an+an+2,所以an+2﹣an+1=an+1﹣an,
又因为a1=19,a2=17,所以a2﹣a1=﹣2,
所以数列{an}是首项19,公差为﹣2的等差数列,
即an=19﹣2(n﹣1)=21﹣2n,a4=13,故选项A,B正确.
因为,所以,故选项C正确.
因为,所以当n=10时,Sn有最大值,故选项D错误.
故选:ABC.
(多选)11.(2024秋 尚志市期末)在数列{pn}中,如果对任意n≥2(n∈N*),都有(k为常数),则称数列{pn}为比等差数列,k称为比公差.则下列说法错误的是(  )
A.等比数列一定是比等差数列,且比公差k=1
B.等差数列一定不是比等差数列
C.若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则数列{an bn}一定是比等差数列
D.若数列{an}满足a1=a2=1,an+1=an+an﹣1(n≥2),则该数列不是比等差数列
【解答】解:对于选项A,若{an}为等比数列,公比q≠0,则,,
所以,
故选项A错误;
对于选项B,若bn=1,{bn}是等差数列,则,故{bn}为比等差数列,故选项B错误;
对于选项C,令an=0,bn=1,
则an bn=0,
此时无意义,
故选项C错误;
对于选项D,因为数列{an}满足a1=a2=1,an+1=an+an﹣1(n≥2),
所以a3=2,a4=3,
故,
所以{an}不是比等差数列,
故选项D正确.
故选:ABC.
三.填空题(共3小题)
12.(2024春 奉贤区期末)已知数列{an}为等差数列,a3=6,a6=12,则公差d=  2  .
【解答】解:由数列{an}为等差数列,a3=6,a6=12,
可得:,解得.
故答案为:2.
13.(2024秋 河东区期末)在等差数列{an} 中,已知公差,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+…+a100= 145  .
【解答】解:∵公差,且a1+a3+a5+…+a99=60,
∴a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)
=(a1+a3+a5+…+a99)+(a1+d+a3+d+a5+d+…+a99+d)
=2(a1+a3+a5+…+a99)+50d
=120+25=145.
故答案为:145
14.(2024春 潮州期末)“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,记第2行的第3个数字为a1,第3行的第3个数字为a2,…,第n+1行的第3个数字为an,则a6= 21  ,数列的前n项和Sn=   .
【解答】解:由题意知,a621;

故答案为:21;.
四.解答题(共5小题)
15.(2022春 韶关期末)已知数列{an}满足an+1=2an+3n﹣3,且a1=﹣1.
(1)若bn=an+3n,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解答】解:(1)证明:∵an+1=2an+3n﹣3,且a1=﹣1.
∴an+1+3(n+1)=2(an+3n),
∵bn=an+3n,
∴bn+1=2bn,b1=a1+3=2,
∴数列{bn}是等比数列,首项与公比为2.
(2)由(1)可得:bn=2n,
∴an+3n=2n,
∴an=2n﹣3n,
∴数列{an}的前n项和Sn3
=2n+1﹣2(n2+n).
16.(2024秋 泰山区校级期末)设正项数列{an}的前n项和为Sn,若.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若不等式对任意正整数n均成立,求λ的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,,∴a1=1;
当n≥2时,且,
两式相减,得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0.
∵{an}为正项数列,∴an﹣an﹣1=1,
∴an=1+(n﹣1)=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
∴,


故,∴,
∵恒成立,∴,
∴λ的取值范围为.
17.(2024春 浑南区校级期末)已知等比数列{an}的公比q>0,且a3+a1a5=6,a6=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=λ 3n﹣an,且{bn}是严格增数列,求实数λ的取值范围.
【解答】解:(1)等比数列{an}的公比q>0,且a3+a1a5=6,a6=16.
a3+a1a56=0,解得a3=﹣3或a3=2,
若a3=﹣3,a6=16,则与q>0矛盾,舍去,
若a3=2,a6=16,则q3=8,q=2,满足题意,
∴.
(2),{bn}是严格增数列,
∴bn+1﹣bn>0对于任意正整数n都成立,

即对于任意正整数n都成立在R上严格减,
∴的最大值是,
∴λ的取值范围是.
18.(2025春 仙游县期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,,a1=1.
(1)证明:数列为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和为Sn;
(3)若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立.求实数λ的取值范围.
【解答】解:(1)证明:数列{an}的前n项和为Sn,,a1=1,
由,两边同时除以2n+1,
可得,又,
所以数列是首项、公差均为的等差数列,
由等差数列的通项公式可得,
所以.
(2)由,
可得,
所以,
所以.
(3)若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立,
即有(n﹣1)2n+1≤n 2n﹣4n﹣λ,整理得λ≤2n﹣4n﹣1恒成立,
令,则2n﹣4,
当n=1时,cn+1<cn,当n=2时,cn+1=cn,当n≥3时,cn+1>cn,
所以c1>c2=c3<c4<c5< ,即cn的最小值为c3=c2=﹣5,
综上,λ≤﹣5,即实数λ的取值范围是(﹣∞,﹣5].
19.(2024秋 邯郸期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣n.
(1)证明:{an+1}为等比数列;
(2)证明:1;
(3)Tn为数列{bn}前n项和,设bn=log2(an+1),是否存在正整数m,k,2Tm+19时成立,若存在,求出m,k;若不存在,说明理由.
【解答】(1)证明:∵Sn=2an﹣n,
∴Sn+1=2an+1﹣(n+1),
∴an+1=Sn+1﹣Sn=[2an+1﹣(n+1)]﹣(2an﹣n),
整理得:an+1+1=2(an+1),
又∵a1=S1=2a1﹣1,即a1+1=1+1=2,
∴数列{an+1}是以首项、公比均为2的等比数列;
(2)证明:由(1)可知an+1=2 2n﹣1=2n,
∴,

=1
<1;
(3)结论:正整数m、k满足题设条件.
理由如下:
∵an+1=2n,
∴bn=log2(an+1)n,
∴Tn,
假设存在正整数m,k,使得2Tm+19成立,
即(k+1)2=2 19,
整理得:k(k+2)﹣m(m+1)=18,
①当k=m时,易知k=m=18;
②当k≠m时,解得k=4、m=2或k=6、m=5;
综上所述:正整数m、k满足题设条件.
=
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