资源简介

第四章数列真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 黑龙江期末）在等差数列{an}中，已知a1＝1，a3+a5＝8，则a7＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2021春 铁岭期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
3．（2025春 仙游县期末）等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝8a4＝1，则S3＝（　　）
A．7 B．5 C． D．
4．（2024秋 邵阳期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差不为0，若a4，a5，a7构成等比数列，S11＝66，则a8＝（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
5．（2024秋 河东区期末）数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024春 德兴市校级期末）若数列{an}的前n项和为Sn，（n∈N*，an＞0），则下列结论正确的是（　　）
A．a2022a2023＞1
B．
C．
D．
7．（2024春 南阳期末）如图，△ABC，△CBD，△DBE，△EBF，…均为直角三角形，A，C，D，E，…为直角顶点，∠ABC＝∠CBD＝∠DBE＝∠EBF＝…＝60°，且AB＝1，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{an}，则a10＝（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024春 东湖区校级期末）已知项数为k（k∈N*）的等差数列{an}满足a1＝1，．若a1+a2+ +ak＝8，则k的最大值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 牡丹江期末）已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
（多选）10．（2024春 谯城区校级期末）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2an+1＝an+an+2，其中a1＝19，a2＝17，则下列选项正确的是（　　）
A．a4＝13
B．{an}为等差数列
C．
D．当n＝11时，Sn有最大值
（多选）11．（2024秋 尚志市期末）在数列{pn}中，如果对任意n≥2（n∈N*），都有（k为常数），则称数列{pn}为比等差数列，k称为比公差．则下列说法错误的是（　　）
A．等比数列一定是比等差数列，且比公差k＝1
B．等差数列一定不是比等差数列
C．若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{an bn}一定是比等差数列
D．若数列{an}满足a1＝a2＝1，an+1＝an+an﹣1（n≥2），则该数列不是比等差数列
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 奉贤区期末）已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a6＝12，则公差d＝ 　 　 ．
13．（2024秋 河东区期末）在等差数列{an} 中，已知公差，且a1+a3+a5+…+a99＝60，则a1+a2+a3+…+a100＝　 　 ．
14．（2024春 潮州期末）“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n+1行的第3个数字为an，则a6＝　 　 ，数列的前n项和Sn＝　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2022春 韶关期末）已知数列{an}满足an+1＝2an+3n﹣3，且a1＝﹣1．
（1）若bn＝an+3n，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
16．（2024秋 泰山区校级期末）设正项数列{an}的前n项和为Sn，若．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若不等式对任意正整数n均成立，求λ的取值范围．
17．（2024春 浑南区校级期末）已知等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝λ 3n﹣an，且{bn}是严格增数列，求实数λ的取值范围．
18．（2025春 仙游县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，，a1＝1．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和为Sn；
（3）若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立．求实数λ的取值范围．
=
19．（2024秋 邯郸期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣n．
（1）证明：{an+1}为等比数列；
（2）证明：1；
（3）Tn为数列{bn}前n项和，设bn＝log2（an+1），是否存在正整数m，k，2Tm+19时成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．
第四章数列真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C B D C B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD ABC ABC
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 黑龙江期末）在等差数列{an}中，已知a1＝1，a3+a5＝8，则a7＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由题意，根据等差中项的性质，有a1+a7＝a3+a5．
∴a7＝a3+a5﹣a1＝8﹣1＝7．
故选：C．
2．（2021春 铁岭期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解答】解：设从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，
这十二个节气，其日影长依次成等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，谷雨日影长为a9，
根据题意可知：a1+a4+a7＝33，S9＝108，
得3a4＝33，108，
得a4＝11，a5＝12，∴d＝12﹣11＝1，
∴a9＝a5+4d＝12+4＝16．
故选：C．
3．（2025春 仙游县期末）等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝8a4＝1，则S3＝（　　）
A．7 B．5 C． D．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
因为a1＝8a4＝1，所以，
所以，所以，
所以．
故选：D．
4．（2024秋 邵阳期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差不为0，若a4，a5，a7构成等比数列，S11＝66，则a8＝（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
【解答】解：设公差为d，由题意可得，
即，
解得舍去，或，所以an＝﹣4+2（n﹣1）＝2n﹣6，
可得a8＝16﹣6＝10．
故选：C．
5．（2024秋 河东区期末）数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：结合选项可知，当n＝1时，A，C，D与已知显然不符合；
故﹣2，，…的通项公式可以为（﹣1）n．
故选：B．
6．（2024春 德兴市校级期末）若数列{an}的前n项和为Sn，（n∈N*，an＞0），则下列结论正确的是（　　）
A．a2022a2023＞1
B．
C．
D．
【解答】解：令n＝1，则，即，由an＞0，得a1＝1；
当n≥2时，，即1，又，
故{Sn}为首项是1，公差为1的等差数列，则，
故，所以当n≥2时，，
a1＝1也适合该式，故，
对于A，a2022a2023＝（）（）＝
，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，当n≥2时，，
故 1+2（1）+2（）+ +2（）＝1+2（﹣1+10）＝19，D正确．
故选：D．
7．（2024春 南阳期末）如图，△ABC，△CBD，△DBE，△EBF，…均为直角三角形，A，C，D，E，…为直角顶点，∠ABC＝∠CBD＝∠DBE＝∠EBF＝…＝60°，且AB＝1，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{an}，则a10＝（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，A，C，D，E，…为直角顶点，∠ABC＝∠CBD＝∠DBE＝∠EBF＝…＝60°，
可得这些直角三角形是相似的，
由AB＝1，BC＝2，
可得相邻两个三角形的相似比为，
从而这些三角形的周长从小到大组成的数列{an}是等比数列，公比q＝2，
首项为△ABC的周长，即为1+2，
因此．
故选：C．
8．（2024春 东湖区校级期末）已知项数为k（k∈N*）的等差数列{an}满足a1＝1，．若a1+a2+ +ak＝8，则k的最大值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝1，，
∴1+（n﹣2）d＜4[1+（n﹣1）d]，
∴d，∴d，
∵a1+a2+…+ak＝8，
∴kd＝8，解得d，
∴，即3k2﹣49k+32＜0，
令f（k）＝3k2﹣49k+32＝3，
k≥9时，函数f（k）单调递增，
而f（15）＝﹣28＜0，f（16）＝16＞0，
则k的最大值是15．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 牡丹江期末）已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【解答】解：由题意，a2+a3＝2a4，由等比数列通项公式可得，
由于等比数列每一项都不是0，故2q2﹣1﹣q＝0，
即（2q+1）（q﹣1）＝0，解得或q＝1．
故选：AD．
（多选）10．（2024春 谯城区校级期末）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2an+1＝an+an+2，其中a1＝19，a2＝17，则下列选项正确的是（　　）
A．a4＝13
B．{an}为等差数列
C．
D．当n＝11时，Sn有最大值
【解答】解：因为2an+1＝an+an+2，所以an+2﹣an+1＝an+1﹣an，
又因为a1＝19，a2＝17，所以a2﹣a1＝﹣2，
所以数列{an}是首项19，公差为﹣2的等差数列，
即an＝19﹣2（n﹣1）＝21﹣2n，a4＝13，故选项A，B正确．
因为，所以，故选项C正确．
因为，所以当n＝10时，Sn有最大值，故选项D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（2024秋 尚志市期末）在数列{pn}中，如果对任意n≥2（n∈N*），都有（k为常数），则称数列{pn}为比等差数列，k称为比公差．则下列说法错误的是（　　）
A．等比数列一定是比等差数列，且比公差k＝1
B．等差数列一定不是比等差数列
C．若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{an bn}一定是比等差数列
D．若数列{an}满足a1＝a2＝1，an+1＝an+an﹣1（n≥2），则该数列不是比等差数列
【解答】解：对于选项A，若{an}为等比数列，公比q≠0，则，，
所以，
故选项A错误；
对于选项B，若bn＝1，{bn}是等差数列，则，故{bn}为比等差数列，故选项B错误；
对于选项C，令an＝0，bn＝1，
则an bn＝0，
此时无意义，
故选项C错误；
对于选项D，因为数列{an}满足a1＝a2＝1，an+1＝an+an﹣1（n≥2），
所以a3＝2，a4＝3，
故，
所以{an}不是比等差数列，
故选项D正确．
故选：ABC．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 奉贤区期末）已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a6＝12，则公差d＝ 　2　 ．
【解答】解：由数列{an}为等差数列，a3＝6，a6＝12，
可得：，解得．
故答案为：2．
13．（2024秋 河东区期末）在等差数列{an} 中，已知公差，且a1+a3+a5+…+a99＝60，则a1+a2+a3+…+a100＝　145　 ．
【解答】解：∵公差，且a1+a3+a5+…+a99＝60，
∴a1+a2+a3+…+a100＝（a1+a3+a5+…+a99）+（a2+a4+a6+…+a100）
＝（a1+a3+a5+…+a99）+（a1+d+a3+d+a5+d+…+a99+d）
＝2（a1+a3+a5+…+a99）+50d
＝120+25＝145．
故答案为：145
14．（2024春 潮州期末）“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n+1行的第3个数字为an，则a6＝　21　 ，数列的前n项和Sn＝　　 ．
【解答】解：由题意知，a621；
．
故答案为：21；．
四．解答题（共5小题）
15．（2022春 韶关期末）已知数列{an}满足an+1＝2an+3n﹣3，且a1＝﹣1．
（1）若bn＝an+3n，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）证明：∵an+1＝2an+3n﹣3，且a1＝﹣1．
∴an+1+3（n+1）＝2（an+3n），
∵bn＝an+3n，
∴bn+1＝2bn，b1＝a1+3＝2，
∴数列{bn}是等比数列，首项与公比为2．
（2）由（1）可得：bn＝2n，
∴an+3n＝2n，
∴an＝2n﹣3n，
∴数列{an}的前n项和Sn3
＝2n+1﹣2（n2+n）．
16．（2024秋 泰山区校级期末）设正项数列{an}的前n项和为Sn，若．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若不等式对任意正整数n均成立，求λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，，∴a1＝1；
当n≥2时，且，
两式相减，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0．
∵{an}为正项数列，∴an﹣an﹣1＝1，
∴an＝1+（n﹣1）＝n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
∴，
∴
，
故，∴，
∵恒成立，∴，
∴λ的取值范围为．
17．（2024春 浑南区校级期末）已知等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝λ 3n﹣an，且{bn}是严格增数列，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
a3+a1a56＝0，解得a3＝﹣3或a3＝2，
若a3＝﹣3，a6＝16，则与q＞0矛盾，舍去，
若a3＝2，a6＝16，则q3＝8，q＝2，满足题意，
∴．
（2），{bn}是严格增数列，
∴bn+1﹣bn＞0对于任意正整数n都成立，
，
即对于任意正整数n都成立在R上严格减，
∴的最大值是，
∴λ的取值范围是．
18．（2025春 仙游县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，，a1＝1．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和为Sn；
（3）若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立．求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）证明：数列{an}的前n项和为Sn，，a1＝1，
由，两边同时除以2n+1，
可得，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，
所以．
（2）由，
可得，
所以，
所以．
（3）若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立，
即有（n﹣1）2n+1≤n 2n﹣4n﹣λ，整理得λ≤2n﹣4n﹣1恒成立，
令，则2n﹣4，
当n＝1时，cn+1＜cn，当n＝2时，cn+1＝cn，当n≥3时，cn+1＞cn，
所以c1＞c2＝c3＜c4＜c5＜ ，即cn的最小值为c3＝c2＝﹣5，
综上，λ≤﹣5，即实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣5]．
19．（2024秋 邯郸期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣n．
（1）证明：{an+1}为等比数列；
（2）证明：1；
（3）Tn为数列{bn}前n项和，设bn＝log2（an+1），是否存在正整数m，k，2Tm+19时成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：∵Sn＝2an﹣n，
∴Sn+1＝2an+1﹣（n+1），
∴an+1＝Sn+1﹣Sn＝[2an+1﹣（n+1）]﹣（2an﹣n），
整理得：an+1+1＝2（an+1），
又∵a1＝S1＝2a1﹣1，即a1+1＝1+1＝2，
∴数列{an+1}是以首项、公比均为2的等比数列；
（2）证明：由（1）可知an+1＝2 2n﹣1＝2n，
∴，
∴
＝1
＜1；
（3）结论：正整数m、k满足题设条件．
理由如下：
∵an+1＝2n，
∴bn＝log2（an+1）n，
∴Tn，
假设存在正整数m，k，使得2Tm+19成立，
即（k+1）2＝2 19，
整理得：k（k+2）﹣m（m+1）＝18，
①当k＝m时，易知k＝m＝18；
②当k≠m时，解得k＝4、m＝2或k＝6、m＝5；
综上所述：正整数m、k满足题设条件．
=
第1页（共1页）

展开更多......

收起↑