资源简介 第四章数列真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册一.选择题(共8小题)1.(2024秋 黑龙江期末)在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=( )A.5 B.6 C.7 D.82.(2021春 铁岭期末)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这十二个节气,其日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为33尺,前九个节气日影长之和为108尺,则谷雨日影长为( )A.14 B.15 C.16 D.173.(2025春 仙游县期末)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=8a4=1,则S3=( )A.7 B.5 C. D.4.(2024秋 邵阳期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差不为0,若a4,a5,a7构成等比数列,S11=66,则a8=( )A.7 B.8 C.10 D.125.(2024秋 河东区期末)数列﹣2,,…的通项公式可以为( )A. B.C. D.6.(2024春 德兴市校级期末)若数列{an}的前n项和为Sn,(n∈N*,an>0),则下列结论正确的是( )A.a2022a2023>1B.C.D.7.(2024春 南阳期末)如图,△ABC,△CBD,△DBE,△EBF,…均为直角三角形,A,C,D,E,…为直角顶点,∠ABC=∠CBD=∠DBE=∠EBF=…=60°,且AB=1,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{an},则a10=( )A. B.C. D.8.(2024春 东湖区校级期末)已知项数为k(k∈N*)的等差数列{an}满足a1=1,.若a1+a2+ +ak=8,则k的最大值是( )A.14 B.15 C.16 D.17二.多选题(共3小题)(多选)9.(2024秋 牡丹江期末)已知数列{an}是公比为q的等比数列,且a2,a4,a3成等差数列,则q=( )A. B. C.﹣1 D.1(多选)10.(2024春 谯城区校级期末)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2an+1=an+an+2,其中a1=19,a2=17,则下列选项正确的是( )A.a4=13B.{an}为等差数列C.D.当n=11时,Sn有最大值(多选)11.(2024秋 尚志市期末)在数列{pn}中,如果对任意n≥2(n∈N*),都有(k为常数),则称数列{pn}为比等差数列,k称为比公差.则下列说法错误的是( )A.等比数列一定是比等差数列,且比公差k=1B.等差数列一定不是比等差数列C.若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则数列{an bn}一定是比等差数列D.若数列{an}满足a1=a2=1,an+1=an+an﹣1(n≥2),则该数列不是比等差数列三.填空题(共3小题)12.(2024春 奉贤区期末)已知数列{an}为等差数列,a3=6,a6=12,则公差d= .13.(2024秋 河东区期末)在等差数列{an} 中,已知公差,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+…+a100= .14.(2024春 潮州期末)“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,记第2行的第3个数字为a1,第3行的第3个数字为a2,…,第n+1行的第3个数字为an,则a6= ,数列的前n项和Sn= .四.解答题(共5小题)15.(2022春 韶关期末)已知数列{an}满足an+1=2an+3n﹣3,且a1=﹣1.(1)若bn=an+3n,证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.16.(2024秋 泰山区校级期末)设正项数列{an}的前n项和为Sn,若.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若不等式对任意正整数n均成立,求λ的取值范围.17.(2024春 浑南区校级期末)已知等比数列{an}的公比q>0,且a3+a1a5=6,a6=16.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=λ 3n﹣an,且{bn}是严格增数列,求实数λ的取值范围.18.(2025春 仙游县期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,,a1=1.(1)证明:数列为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和为Sn;(3)若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立.求实数λ的取值范围.=19.(2024秋 邯郸期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣n.(1)证明:{an+1}为等比数列;(2)证明:1;(3)Tn为数列{bn}前n项和,设bn=log2(an+1),是否存在正整数m,k,2Tm+19时成立,若存在,求出m,k;若不存在,说明理由.第四章数列真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C D C B D C B二.多选题(共3小题)题号 9 10 11答案 AD ABC ABC一.选择题(共8小题)1.(2024秋 黑龙江期末)在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=( )A.5 B.6 C.7 D.8【解答】解:由题意,根据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.∴a7=a3+a5﹣a1=8﹣1=7.故选:C.2.(2021春 铁岭期末)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这十二个节气,其日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为33尺,前九个节气日影长之和为108尺,则谷雨日影长为( )A.14 B.15 C.16 D.17【解答】解:设从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这十二个节气,其日影长依次成等差数列{an},公差为d,前n项和为Sn,谷雨日影长为a9,根据题意可知:a1+a4+a7=33,S9=108,得3a4=33,108,得a4=11,a5=12,∴d=12﹣11=1,∴a9=a5+4d=12+4=16.故选:C.3.(2025春 仙游县期末)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=8a4=1,则S3=( )A.7 B.5 C. D.【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,因为a1=8a4=1,所以,所以,所以,所以.故选:D.4.(2024秋 邵阳期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差不为0,若a4,a5,a7构成等比数列,S11=66,则a8=( )A.7 B.8 C.10 D.12【解答】解:设公差为d,由题意可得,即,解得舍去,或,所以an=﹣4+2(n﹣1)=2n﹣6,可得a8=16﹣6=10.故选:C.5.(2024秋 河东区期末)数列﹣2,,…的通项公式可以为( )A. B.C. D.【解答】解:结合选项可知,当n=1时,A,C,D与已知显然不符合;故﹣2,,…的通项公式可以为(﹣1)n.故选:B.6.(2024春 德兴市校级期末)若数列{an}的前n项和为Sn,(n∈N*,an>0),则下列结论正确的是( )A.a2022a2023>1B.C.D.【解答】解:令n=1,则,即,由an>0,得a1=1;当n≥2时,,即1,又,故{Sn}为首项是1,公差为1的等差数列,则,故,所以当n≥2时,,a1=1也适合该式,故,对于A,a2022a2023=()()=,A错误;对于B,,B错误;对于C,,C错误;对于D,当n≥2时,,故 1+2(1)+2()+ +2()=1+2(﹣1+10)=19,D正确.故选:D.7.(2024春 南阳期末)如图,△ABC,△CBD,△DBE,△EBF,…均为直角三角形,A,C,D,E,…为直角顶点,∠ABC=∠CBD=∠DBE=∠EBF=…=60°,且AB=1,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{an},则a10=( )A. B.C. D.【解答】解:根据题意,A,C,D,E,…为直角顶点,∠ABC=∠CBD=∠DBE=∠EBF=…=60°,可得这些直角三角形是相似的,由AB=1,BC=2,可得相邻两个三角形的相似比为,从而这些三角形的周长从小到大组成的数列{an}是等比数列,公比q=2,首项为△ABC的周长,即为1+2,因此.故选:C.8.(2024春 东湖区校级期末)已知项数为k(k∈N*)的等差数列{an}满足a1=1,.若a1+a2+ +ak=8,则k的最大值是( )A.14 B.15 C.16 D.17【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=1,,∴1+(n﹣2)d<4[1+(n﹣1)d],∴d,∴d,∵a1+a2+…+ak=8,∴kd=8,解得d,∴,即3k2﹣49k+32<0,令f(k)=3k2﹣49k+32=3,k≥9时,函数f(k)单调递增,而f(15)=﹣28<0,f(16)=16>0,则k的最大值是15.故选:B.二.多选题(共3小题)(多选)9.(2024秋 牡丹江期末)已知数列{an}是公比为q的等比数列,且a2,a4,a3成等差数列,则q=( )A. B. C.﹣1 D.1【解答】解:由题意,a2+a3=2a4,由等比数列通项公式可得,由于等比数列每一项都不是0,故2q2﹣1﹣q=0,即(2q+1)(q﹣1)=0,解得或q=1.故选:AD.(多选)10.(2024春 谯城区校级期末)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2an+1=an+an+2,其中a1=19,a2=17,则下列选项正确的是( )A.a4=13B.{an}为等差数列C.D.当n=11时,Sn有最大值【解答】解:因为2an+1=an+an+2,所以an+2﹣an+1=an+1﹣an,又因为a1=19,a2=17,所以a2﹣a1=﹣2,所以数列{an}是首项19,公差为﹣2的等差数列,即an=19﹣2(n﹣1)=21﹣2n,a4=13,故选项A,B正确.因为,所以,故选项C正确.因为,所以当n=10时,Sn有最大值,故选项D错误.故选:ABC.(多选)11.(2024秋 尚志市期末)在数列{pn}中,如果对任意n≥2(n∈N*),都有(k为常数),则称数列{pn}为比等差数列,k称为比公差.则下列说法错误的是( )A.等比数列一定是比等差数列,且比公差k=1B.等差数列一定不是比等差数列C.若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则数列{an bn}一定是比等差数列D.若数列{an}满足a1=a2=1,an+1=an+an﹣1(n≥2),则该数列不是比等差数列【解答】解:对于选项A,若{an}为等比数列,公比q≠0,则,,所以,故选项A错误;对于选项B,若bn=1,{bn}是等差数列,则,故{bn}为比等差数列,故选项B错误;对于选项C,令an=0,bn=1,则an bn=0,此时无意义,故选项C错误;对于选项D,因为数列{an}满足a1=a2=1,an+1=an+an﹣1(n≥2),所以a3=2,a4=3,故,所以{an}不是比等差数列,故选项D正确.故选:ABC.三.填空题(共3小题)12.(2024春 奉贤区期末)已知数列{an}为等差数列,a3=6,a6=12,则公差d= 2 .【解答】解:由数列{an}为等差数列,a3=6,a6=12,可得:,解得.故答案为:2.13.(2024秋 河东区期末)在等差数列{an} 中,已知公差,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+…+a100= 145 .【解答】解:∵公差,且a1+a3+a5+…+a99=60,∴a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=(a1+a3+a5+…+a99)+(a1+d+a3+d+a5+d+…+a99+d)=2(a1+a3+a5+…+a99)+50d=120+25=145.故答案为:14514.(2024春 潮州期末)“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,记第2行的第3个数字为a1,第3行的第3个数字为a2,…,第n+1行的第3个数字为an,则a6= 21 ,数列的前n项和Sn= .【解答】解:由题意知,a621;.故答案为:21;.四.解答题(共5小题)15.(2022春 韶关期末)已知数列{an}满足an+1=2an+3n﹣3,且a1=﹣1.(1)若bn=an+3n,证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解答】解:(1)证明:∵an+1=2an+3n﹣3,且a1=﹣1.∴an+1+3(n+1)=2(an+3n),∵bn=an+3n,∴bn+1=2bn,b1=a1+3=2,∴数列{bn}是等比数列,首项与公比为2.(2)由(1)可得:bn=2n,∴an+3n=2n,∴an=2n﹣3n,∴数列{an}的前n项和Sn3=2n+1﹣2(n2+n).16.(2024秋 泰山区校级期末)设正项数列{an}的前n项和为Sn,若.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若不等式对任意正整数n均成立,求λ的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,,∴a1=1;当n≥2时,且,两式相减,得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0.∵{an}为正项数列,∴an﹣an﹣1=1,∴an=1+(n﹣1)=n.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,∴,∴,故,∴,∵恒成立,∴,∴λ的取值范围为.17.(2024春 浑南区校级期末)已知等比数列{an}的公比q>0,且a3+a1a5=6,a6=16.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=λ 3n﹣an,且{bn}是严格增数列,求实数λ的取值范围.【解答】解:(1)等比数列{an}的公比q>0,且a3+a1a5=6,a6=16.a3+a1a56=0,解得a3=﹣3或a3=2,若a3=﹣3,a6=16,则与q>0矛盾,舍去,若a3=2,a6=16,则q3=8,q=2,满足题意,∴.(2),{bn}是严格增数列,∴bn+1﹣bn>0对于任意正整数n都成立,,即对于任意正整数n都成立在R上严格减,∴的最大值是,∴λ的取值范围是.18.(2025春 仙游县期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,,a1=1.(1)证明:数列为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和为Sn;(3)若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立.求实数λ的取值范围.【解答】解:(1)证明:数列{an}的前n项和为Sn,,a1=1,由,两边同时除以2n+1,可得,又,所以数列是首项、公差均为的等差数列,由等差数列的通项公式可得,所以.(2)由,可得,所以,所以.(3)若Sn≤2an﹣4n﹣λ对任意n∈N*恒成立,即有(n﹣1)2n+1≤n 2n﹣4n﹣λ,整理得λ≤2n﹣4n﹣1恒成立,令,则2n﹣4,当n=1时,cn+1<cn,当n=2时,cn+1=cn,当n≥3时,cn+1>cn,所以c1>c2=c3<c4<c5< ,即cn的最小值为c3=c2=﹣5,综上,λ≤﹣5,即实数λ的取值范围是(﹣∞,﹣5].19.(2024秋 邯郸期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣n.(1)证明:{an+1}为等比数列;(2)证明:1;(3)Tn为数列{bn}前n项和,设bn=log2(an+1),是否存在正整数m,k,2Tm+19时成立,若存在,求出m,k;若不存在,说明理由.【解答】(1)证明:∵Sn=2an﹣n,∴Sn+1=2an+1﹣(n+1),∴an+1=Sn+1﹣Sn=[2an+1﹣(n+1)]﹣(2an﹣n),整理得:an+1+1=2(an+1),又∵a1=S1=2a1﹣1,即a1+1=1+1=2,∴数列{an+1}是以首项、公比均为2的等比数列;(2)证明:由(1)可知an+1=2 2n﹣1=2n,∴,∴=1<1;(3)结论:正整数m、k满足题设条件.理由如下:∵an+1=2n,∴bn=log2(an+1)n,∴Tn,假设存在正整数m,k,使得2Tm+19成立,即(k+1)2=2 19,整理得:k(k+2)﹣m(m+1)=18,①当k=m时,易知k=m=18;②当k≠m时,解得k=4、m=2或k=6、m=5;综上所述:正整数m、k满足题设条件.=第1页(共1页) 展开更多...... 收起↑ 资源预览