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第五章一元函数的导数及其应用真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 濮阳期末）已知a＞0，不等式xex﹣ax≥alnx恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[1，e] B． C．（0，e] D．
2．（2024秋 永胜县校级期末）曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为（　　）
A．3x﹣y﹣2＝0 B．x﹣3y+2＝0 C．3x+y﹣4＝0 D．x+3y﹣4＝0
3．（2016春 来宾期末）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（　　）
A．2 B． C．3 D．0
4．（2024秋 新泰市校级期末）已知函数，则f′（1）＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
5．（2020春 吉林期末）设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y＝x f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（　　）
A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）
C．f（﹣2）与f（2） D．f（2）与f（﹣2）
6．（2024秋 云南校级期末）若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023秋 渭滨区期末）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x），f（x）为偶函数，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
8．（2024春 胶州市期末）函数，则，（　　）
A．是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增
B．是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减
C．是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增
D．是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 沙坪坝区校级期末）已知，则（　　）
A．a+2a＝b+2﹣b B．a+b＝2b+2﹣a
C． D．
（多选）10．（2024春 炎陵县期末）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）有一个零点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线
（多选）11．（2024春 黄埔区校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x3﹣3x﹣2，则（　　）
A．f（x）的极大值点为﹣1
B．函数的零点个数为3
C．函数y＝f（f（x））的零点个数为7
D．f（f（x））＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 防城港期末）曲线f（x）＝x3﹣lnx在点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 　 　 ．
13．（2024春 金山区校级期末）若存在锐角θ，满足不等式，则θ的值为 　 　 ．
14．（2024春 吉林期末）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在t＝4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 　 　 mm/min．
四．解答题（共5小题）
15．（2020春 西宁期末）已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．
16．（2024春 鹿邑县期末）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．
（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在（1，3）处的切线方程；
（2）讨论y＝f（x）的单调性．
17．（2024春 城关区校级期末）已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣2．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的x∈（1，+∞），都有xlnx+x＞k（x﹣1）成立，求整数k的最大值．
18．（2024秋 浦东新区校级期末）设P是直角坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y＝f（x）的图象．若过点P恰能作曲线Γ的k条切线（k∈N），则称P是函数y＝f（x）的“k度点”．
（1）判断点O（0，0）是否为函数y＝lnx的1度点，并说明理由；
（2）若点P（0，a）（a＞0）是y＝sinx，x∈（0，π）的0度点，求a的最小值；
（3）求函数y＝x3﹣x的全体2度点构成的集合．
19．（2024春 天津期末）已知函数．
（1）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为4，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）已知f（x）的导函数在区间（1，e）上存在零点，求证：当x∈（1，e）时，．
第五章一元函数的导数及其应用真题复习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A C C D C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD ABC ABC
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 濮阳期末）已知a＞0，不等式xex﹣ax≥alnx恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[1，e] B． C．（0，e] D．
【解答】解：不等式xex﹣ax≥alnx，即xex﹣a（x+lnx）≥0．
设f（x）＝xex﹣a（x+lnx），则，x＞0，
令f′（x0）＝0，则，
当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
故只需f（x）min＝f（x0）＝x0a（x0+lnx0）＝x0（1﹣x0﹣lnx0）≥0，
所以1﹣x0﹣lnx0≥0，即x0+lnx0≤1，
设g（x）＝x+lnx，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝1，
所以x0∈（0，1]，设h（x）＝xex，x∈（0，1]，则h′（x）＝（1+x）ex＞0，
所以h（x）在（0，1]上单调递增，所以h（x）的值域为（0，e]，即a的取值范围为（0，e]．
故选：C．
2．（2024秋 永胜县校级期末）曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为（　　）
A．3x﹣y﹣2＝0 B．x﹣3y+2＝0 C．3x+y﹣4＝0 D．x+3y﹣4＝0
【解答】解：y＝x2+lnx的导数为y′＝2x，
曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线的斜率为k＝2+1＝3，
曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣1），
即为3x﹣y﹣2＝0，
故选：A．
3．（2016春 来宾期末）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（　　）
A．2 B． C．3 D．0
【解答】解：设曲线y＝ln（2x﹣1）上的一点是P（ m，n），
则过P的切线与直线2x﹣y+8＝0平行．
由，所以切线的斜率．
解得m＝1，n＝ln（2﹣1）＝0．
即P（1，0）到直线的最短距离是d．
故选：A．
4．（2024秋 新泰市校级期末）已知函数，则f′（1）＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：对于，求导数得，
当x＝1时，，解得．
故选：C．
5．（2020春 吉林期末）设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y＝x f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（　　）
A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）
C．f（﹣2）与f（2） D．f（2）与f（﹣2）
【解答】解：由y＝x f′（x）的图象知，
x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0
∴当x＝﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x＝2时，f（x）有极小值f（2）
故选：C．
6．（2024秋 云南校级期末）若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设P（x0，y0），，则，
所以过点P切线斜率，
所以，所以得．
故选：D．
7．（2023秋 渭滨区期末）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x），f（x）为偶函数，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【解答】解：令，当x＞0时，，
因为f'（x）＜f（x），所以0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（x）为偶函数，所以h（x）的图象关于直线x＝0对称，
所以h（3），bh（2），ch（1），
所以c＞b＞a．
故选：C．
8．（2024春 胶州市期末）函数，则，（　　）
A．是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增
B．是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减
C．是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增
D．是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减
【解答】解：∵，∴f（﹣x）＝ln（e﹣x+1）lnln（ex+1）﹣lnexln（ex+1）f（x），
∴f（x）为偶函数，
f'（x），当x∈（0，+∞）时，ex+1＞2，∴，
∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024春 沙坪坝区校级期末）已知，则（　　）
A．a+2a＝b+2﹣b B．a+b＝2b+2﹣a
C． D．
【解答】解：对A，由图可知：y＝2x与，交点A（a，2a）（0＜a＜1），
y＝log2x与的交点B（b，2﹣b）（b＞1），
根据同底的指数函数与对数函数为一对反函数知：A，B关于y＝x对称，
故，a+2a＝b+2﹣b，故A正确；
对B，由A知a+b＝2﹣b+2a，故B错误；
对C，由a＝2﹣b知，则，
设f（x）＝ex﹣x﹣1，x∈R，
则f'（x）＝ex﹣1，则当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
则f（x）≥f（0）＝0，则ex﹣x﹣1≥0恒成立，即x+1≤ex，当x＝0时取等；
令，则有，
因为，则，即，故C错误；
对D，设h（x）＝lnx+1﹣x，x∈（0，+∞），则，
则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；
则h（x）≤h（1）＝0，即lnx+1﹣x≤0在（0，+∞）上恒成立，即lnx≤x﹣1在（0，+∞）上恒成立，当x＝1时取等，
令，则，即，
因为b＞1，则，则，
故，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（2024春 炎陵县期末）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）有一个零点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线
【解答】解：A：f′（x）＝3x2﹣1，
令f′（x）＞0得或，令f′（x）＜0得，
所以f（x）在，上单调递增，上单调递减，
所以时取得极值，故A正确；
B：因为，，f（﹣2）＝﹣5＜0，
所以函数f（x）只在上有一个零点，即函数f（x）只有一个零点，故B正确；
C：令h（x）＝x3﹣x，该函数的定义域为R，h（﹣x）＝（﹣x）3﹣（﹣x）＝﹣x3+x＝﹣h（x），
则h（x）是奇函数，（0，0）是h（x）的对称中心，将h（x）的图象向上移动一个单位得到f（x）的图象，
所以点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心，故C正确；
D：令f′（x）＝3x2﹣1＝2，可得x＝±1，又f（1）＝f（﹣1）＝1，
当切点为（1，1）时，切线方程为y＝2x﹣1，
当切点为（﹣1，1）时，切线方程为y＝2x+3，故D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（2024春 黄埔区校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x3﹣3x﹣2，则（　　）
A．f（x）的极大值点为﹣1
B．函数的零点个数为3
C．函数y＝f（f（x））的零点个数为7
D．f（f（x））＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解答】解：由题意得f（0）＝0，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x3﹣3x﹣2，得f′（x）＝3x2﹣3，
令f′（x）＞0，得x＞1，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1；
所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以f（x）的极小值点为1，
又是定义在R上的奇函数，所以f（x）的极大值点为﹣1，故A对；
当x＜0时，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣x3+3x﹣2，
又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）＝x3﹣3x+2，
分别画出和的图象，
得函数的零点个数为3，B对；
令f（x）＝0，得x＝0或x＝﹣1或x＝2，
令f（f（x））＝0，得f（x）＝0，或f（x）＝±2，
如图，分别画出y＝f（x），y＝﹣2，y＝2的图象，
由图可知：函数y＝f（f（x））的零点个数为7，C 对；
令，则，
，故D错．
故选：ABC．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 防城港期末）曲线f（x）＝x3﹣lnx在点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 　　 ．
【解答】解：由f（x）＝x3﹣lnx，得f′（x）＝3x2，
∴f（1）＝1，f′（1）＝2，
可得切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．
取x＝0，得y＝﹣1，取y＝0，得x．
∴曲线f（x）＝x3﹣lnx在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的图形的面积为S．
故答案为：．
13．（2024春 金山区校级期末）若存在锐角θ，满足不等式，则θ的值为 　　 ．
【解答】解：设，
则，
令g′（θ）＝0，即，
当时，g′（θ）＜0，g（θ）单调递减，
当时，g′（θ）＞0，g（θ）单调递增，
∴，
又f'（θ）sin2θ＝sin2θ（），
令f′（θ）＝0，因为锐角θ，sin2θ≠0，所以0，即，
当时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增，
当时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减，
∴，
因为f（θ）≥g（θ），所以．
故答案为：．
14．（2024春 吉林期末）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在t＝4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 　　 mm/min．
【解答】解：因为，
所以，
∴，
故在t＝4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2020春 西宁期末）已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域（0，+∞），
f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＞0得x，此时f（x）递增，
令f′（x）＜0得0＜x，此时f（x）递减，f（x）最小值为；
（2）由题意得a≤lnx，令g（x）＝lnx，
当x≥1时，g′（x）0，
所以g（x）递增，g（x）的最小值为g（1）＝1，
所以a≤1．
16．（2024春 鹿邑县期末）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．
（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在（1，3）处的切线方程；
（2）讨论y＝f（x）的单调性．
【解答】解：（1）当a＝1时，，
故f′（1）＝0，
此时函数y＝f（x）在（1，3）处的切线方程为：y＝3．
（2）由题意，f（x）的定义域为（0，+∞），
，
则当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．
17．（2024春 城关区校级期末）已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣2．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的x∈（1，+∞），都有xlnx+x＞k（x﹣1）成立，求整数k的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝x﹣lnx﹣2，
所以f′（x）＝1，
所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）＝0，
又f（1）＝﹣1，
所以函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1．
（Ⅱ）因为f（x）＝x﹣lnx﹣2，
所以f′（x）＝1，
令f′（x）＝0得x＝1，
所以在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增．
（Ⅲ）因为对任意的x∈（1，+∞），都有xlnx+x＞k（x﹣1），
所以k，
令g（x），
g′（x），x＞1，
由（Ⅱ）知，f（x）＝x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上单调递增，在区间（3，4）有唯一的零点，
设该零点为x0∈（3，4），则f（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，
所以当x∈（1，x0）时，f（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，f（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（x0）x0∈（3，4），
所以k＜g（x）min＝x0∈（3，4），
所以整数k的最大值为3．
18．（2024秋 浦东新区校级期末）设P是直角坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y＝f（x）的图象．若过点P恰能作曲线Γ的k条切线（k∈N），则称P是函数y＝f（x）的“k度点”．
（1）判断点O（0，0）是否为函数y＝lnx的1度点，并说明理由；
（2）若点P（0，a）（a＞0）是y＝sinx，x∈（0，π）的0度点，求a的最小值；
（3）求函数y＝x3﹣x的全体2度点构成的集合．
【解答】解：（1）原点O是函数y＝lnx的一个1度点，理由如下：
设t＞0，则曲线y＝lnx在点（t，lnt）处的切线方程为，
则该切线过点O当且仅当﹣lnt＝﹣1，即t＝e，故原点O是函数y＝lnx的一个1度点；
（2）设π＞t＞0，y′＝cost，
则曲线y＝sinx在点（t，sint）处的切线方程为y﹣sint＝（x﹣t）cost，
则该切线过点（0，a）当且仅当a﹣sint＝﹣tcost（*），
设G（t）＝sint﹣tcost﹣a，则当0＜t＜π时，G′（t）＝tsint＞0，
故y＝G（t）在区间（0，π）递增，G（0）＝﹣a＜0，G（π）＝π﹣a，
①若a≥π，G（π）＝π﹣a＜0，（*）恒不成立，即点（0，a）是y＝g（x）的一个0度点；
②若0＜a＜π，则当π＞t＞a时，G（π）＞0，存在唯一的t0∈（0，π），使得（*）成立，
即点（0，a）是y＝g（x）的一个1度点，综上，实数a的最小值为π；
（3）y′＝3x2﹣1，曲线y＝x3﹣x在点（t，t3﹣t）处的切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），
故点（a，b）为函数y＝x3﹣x的一个2度点当且仅当关于t的方程b﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（a﹣t）恰有两个不同的实数解，
设h（t）＝2t3﹣3at2+（a+b），则点（a，b）为函数y＝x3﹣x的一个2度点当且仅当y＝h（t）两个不同的零点，
①若a＝0，则h（t）＝2t3+b在R上递增，只有一个实数解，不合要求；
②若a＞0，因为h′（t）＝6t2﹣6at，y＝h（t）有两个驻点t＝0，t＝a，
由t＜0或t＞a时h′（t）＞0得y＝h（t）严格增；
而当0＜t＜a时h′（t）＜0，得y＝h（t）严格减，
故y＝h（t）在t＝0时取得极大值h（0）＝a+b，在t＝a时取得极小值h（a）＝b+a﹣a3，
又因为，，
所以当h（0）＞0＞h（a）时，由零点存在定理，y＝h（t）在（﹣∞，0）、（0，a）、（a，+∞）上各有一个零点，不合要求；
当0＞h（0）＞h（a）时，y＝h（t）仅（a，+∞）上有一个零点，不合要求；
当h（0）＞h（a）＞0时，y＝h（t）仅（﹣∞，0）上有一个零点，也不合要求，
故y＝h（t）两个不同的零点当且仅当h（0）＝0或h（a）＝0
③若a＜0，同理可得y＝h（t）两个不同的零点当且仅当h（0）＝0或h（a）＝0，
综上，y＝x3﹣x的全体2度点构成的集合为{（a，b）|b＝﹣a或b＝a3﹣a，a≠0}．
19．（2024春 天津期末）已知函数．
（1）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为4，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）已知f（x）的导函数在区间（1，e）上存在零点，求证：当x∈（1，e）时，．
【解答】解：（1）∵，则，
由题意可得，解得a＝﹣2；
（2）由（1）可得：，
当a≤0时，则3x﹣a＞0恒成立，
令f′（x）＞0，解得x＞1；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1；
故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得或x＝1，
①当，即a＞3时，令f′（x）＞0，解得或0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得；
故f（x）在上单调递增，在上单调递减；
②当，即a＝3时，则在定义域内恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当，即0＜a＜3时，令f′（x）＞0，解得x＞1或；令f′（x）＜0，解得；
故f（x）在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a＞3，f（x）在上单调递增，在上单调递减；
当a＝3，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜3，f（x）在上单调递增，在上单调递减；
证明：（3）由（2）知：若f′（x）在区间（1，e）上存在零点，则，解得3＜a＜3e．
由（2）知：f（x）在上单调递增，在上单调递减，
则，
构建，则，
令φ（a）＝g′（a），则当a∈（3，3e）时恒成立，
故φ（a）在（3，3e）上单调递减，则φ（a）＜φ（3）＝﹣1＜0，
即g′（a）＜0当a∈（3，3e）时恒成立，
则g（a）在（3，3e）上单调递减，则，
故．
=
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