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期末真题重组练习卷（一）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 巴宜区校级期末）复数z＝2﹣i的虚部是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣i
2．（2024春 常州期末）已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（　　）
A．α∩β＝a，b α a∥b
B．α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a α，b α α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
3．（2024春 辽宁期末）若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A'C′∥O′B'，A'C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B'＝2，则以原四边形AOBC的边AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 肇东市校级期末）已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 邢台期末）已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，，O为△ABC所在平面内一点，且满足，则的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
6．（2021春 永春县校级期末）在正三棱锥S﹣ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA＝2，则正三棱锥S﹣ABC外接球的体积是（　　）
A．20π B．60π C．40π D．48π
7．（2024春 郴州期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝bcsinA+（b﹣c）2，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023春 玉林期末）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得P的仰角为30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60（单位：m），（点A，B，O在同一水平地面上），则大跳台最高高度OP＝（　　）
A．45m B． C．60m D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 日照期末）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则p+q＝19
C．若，则z的虚部为﹣2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
（多选）10．（2024秋 唐县校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A．若A＞B，则cosA＜cosB
B．若A＝30°，b＝5，a＝2，则△ABC有两解
C．若cosAcosBcosC＞0，则△ABC为锐角三角形
D．若a﹣c cosB＝a cosC，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
（多选）11．（2024秋 南宁期末）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则（　　）
A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[，]
C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D．若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF长度的最小值是
三．填空题（共3小题）
12．（2022春 张家川县校级期末）棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 　 　 ．
13．（2024秋 耒阳市校级期末）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，，则λ+μ＝　 　 ；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 　 　 ．
14．（2018春 盐城期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D﹣A1BC的体积是　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 吉林期末）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sinB+sinC）2＝sin2A+sinBsinC．
（1）求A；
（2）若b+c＝5，△ABC的面积为，求a的值．
16．（2024春 兴庆区校级期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，b＝2，求c的值和△ABC的面积．
17．（2023春 龙川县校级期末）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）．
18．（2024春 锦州期末）如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝1，CD＝2，△ABC为等边三角形，记∠ADC＝α．
（1）若，求△ABD的面积；
（2）若，求△ABD的面积的取值范围．
19．（2024秋 虹口区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．
（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小．
期末真题重组练习卷（一）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D D B A C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABC
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 巴宜区校级期末）复数z＝2﹣i的虚部是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣i
【解答】解：复数z＝2﹣i的虚部是﹣1．
故选：C．
2．（2024春 常州期末）已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（　　）
A．α∩β＝a，b α a∥b
B．α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a α，b α α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
【解答】解：对于选项A，α∩β＝a，b α，直线a，b可能相交；故A错误；
对于选项B，α∩β＝a，a∥b，直线b可能在两个平面内，故B错误；
对于选项C，a∥β，b∥β，a α，b α，直线a，b如果不相交，α，β可能相交，故C错误；
对于选项D，根据面面平行的性质以及α∥β，α∩γ＝a得到a∥β，β∩γ＝b进一步得到a∥b；故D正确；
故选：D．
3．（2024春 辽宁期末）若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A'C′∥O′B'，A'C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B'＝2，则以原四边形AOBC的边AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由斜二测画法的直观图知，
A'C′∥O′B'，A'C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B'＝2；
∴，
所以原图形AOBC中，AC∥OB，OA⊥OB，AC＝1，OB＝2，，
所以梯形AOBC以边AC为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体，
．
故选：D．
4．（2024秋 肇东市校级期末）已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，作A1M⊥AC于点M，
则，即A1M＝3，
，
则，
由正四棱台的侧棱与底面所成角即为A1A与底面ABCD所成角，
设其为θ，则θ＝∠A1AM，即，
故选：D．
5．（2024秋 邢台期末）已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，，O为△ABC所在平面内一点，且满足，则的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【解答】解：∵△ABC中，AB＝2，AC＝1，，O为△ABC所在平面内一点，且满足，
设AC的中点为M，BC的中点为N，则2，2
∴，
∴O为线段MN的靠近N的三等分点，
∴（） （）＝（） （）1，
故选：B．
6．（2021春 永春县校级期末）在正三棱锥S﹣ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA＝2，则正三棱锥S﹣ABC外接球的体积是（　　）
A．20π B．60π C．40π D．48π
【解答】解：如图，∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，
∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，
∴SB⊥AC（对棱互相垂直），
∴MN⊥AC，
又∵MN⊥AM，而AM∩AC＝A，
∴MN⊥平面SAC，
∴SB⊥平面SAC．
则∠ASB＝∠BSC＝∠ASC＝90°
将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
正方体的对角线就是球的直径．
∴2RSA，得R，
∴VπR3．
故选：A．
7．（2024春 郴州期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝bcsinA+（b﹣c）2，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为a2＝bcsinA+（b﹣c）2，整理可得：b2+c2﹣a2＝bc（2﹣sinA），
由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，
所以2cosA＝2﹣sinA，
在锐角△ABC中，cosA＞0，
所以22﹣sinA，
解得sinA或sinA＝0（舍），
所以cosA，
可得，
由B+C＝π﹣A，且，，解得，
所以，所以，
所以，设，其中t，
所以，当且仅当时，即时取最小值，
由于，且函数在上单调递减，
函数在上单调递增，
又，，
所以函数y∈[2，）．
故选：C．
8．（2023春 玉林期末）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得P的仰角为30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60（单位：m），（点A，B，O在同一水平地面上），则大跳台最高高度OP＝（　　）
A．45m B． C．60m D．
【解答】解：在△ABO中，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60，可得∠AOB＝30°，
由正弦定理，即，
可得OA＝60，
由题意OP⊥面OAB，可得OP⊥OA，
∠PAO＝30°，
所以OP＝OA tan∠PAO＝6060，
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 日照期末）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则p+q＝19
C．若，则z的虚部为﹣2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【解答】解：对于A，令z，满足|z|＝1，但z≠±1或z≠±i，故A错误，
对于B，∵点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，
∴也是关于x的方程x2+px+q＝0的另一个根，
∴，解得p＝6，q＝13，
故p+q＝19，故B正确，
对于C，，则z的虚部为﹣2，故C错误，
对于D，设z＝a+bi，a，b∈R，
则|z﹣2i|＝|a+（b﹣2）i|，
故1≤a2+（b﹣2）2≤2，
圆x2+（y﹣2）2＝2的面积为2π，圆x2+（y﹣2）2＝1的面积为π，
故点Z的集合所构成的图形的面积为2π﹣π＝π，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（2024秋 唐县校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A．若A＞B，则cosA＜cosB
B．若A＝30°，b＝5，a＝2，则△ABC有两解
C．若cosAcosBcosC＞0，则△ABC为锐角三角形
D．若a﹣c cosB＝a cosC，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
【解答】解：对于A，∵A＞B，
∴sinA＞sinB，根据同角三角函数基本关系式可知cosA＜cosB，故A正确；
对于B，由正弦定理可得：，
∴sinB1，
此时△ABC无解，故B错误；
对于C，∵cosAcosBcosC＞0，
∴，可知A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形，故C正确；
对于D：∵a﹣c cosB＝a cosC，a＝ccosB+acosC，
∴ccosB+bcosC﹣c cosB＝a cosC，∴bcosC＝acosC，∴（b﹣a）cosC＝0，b＝a或cosC＝0 C＝90°，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2024秋 南宁期末）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则（　　）
A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[，]
C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D．若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF长度的最小值是
【解答】解：对于选项A：因为平面BCC1B1∥平面AA1D1D，
所以点P到侧面ADD1A1的距离为定值，故四棱锥P﹣AA1D1D的体积为定值，故A正确；
对于选项B：因为A1C1∥AC，D1P与A1C1所成角是∠D1PA或其补角，
因为△D1AC是正三角形，所以D1P与A1C1成角的取值范围是[]，故B正确；
对于选项C：①当点P在侧面CC1D1D上时（不包括正方形的边界），过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连AH，
根据正方体易知PH⊥平面ABCD，则∠PAH为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAH＝45°，所以PH＝AH，
在 Rt△ADH中，由AH＞AD＝2，但是PH＝AH＜2，矛盾，
故点P不能在侧面CC1D1D上（不包括正方形的边界），
同理，点P不在侧面BB1C1C上（不包括正方形的边界）．
②当点P在上底面A1B1C1D1上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为G，连结A1P，AG，
根据正方体易知PG⊥平面ABCD，且四边形A1PGA为矩形，则∠PAG为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAG＝45°，
所以PG＝AG＝2，所以A1P＝AG＝2，此时点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为；
③当点P在侧面AA1D1D，AA1BB上时，根据正方体特征易知点P在线段AB1，AD1上，都符合题意，
此时点P的轨迹长为；由上知点P的轨迹长度为，故C选项正确；
对于选项D：取 BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，
因为M、N是BC、CD的中点，可知MN∥BD且MNBD，
又BD∥B1D1，所以MN∥B1D1，又MN 平面B1CD1，B1D1 平面B1CD1，所以MN∥平面B1CD1，
因为F，N是A1B1、CD中点，根据正方体可得，四边形B1FNC是平行四边形，
所以FN∥B1C，FN 平面B1CD1，B1C 平面B1CD1，所以FN∥平面B1CD1，
又FN∩MN＝N，FN，MN 平面FMN，所以平面FMN∥平面平面B1CD1，
因为P在底面ABCD上运动，且PF∥平面B1CD1，所以PF 平面FMN，
因为平面FMN∩底面ABCD＝MN，所以点P在底面ABCD上的轨迹为MN，
根据正方体的棱长为2，结合勾股定理可得，，，所以FN2＝FM2+MN2，故MN⊥FM，
所以PF长度的最小值为，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共3小题）
12．（2022春 张家川县校级期末）棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 　12π　 ．
【解答】解：棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，设正方体的外接球的半径为R，
所以（2R）2＝22+22+22，解得R2＝3，
所以S球＝4 π 3＝12π．
故答案为：12π．
13．（2024秋 耒阳市校级期末）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，，则λ+μ＝　　 ；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 　　 ．
【解答】解：由题意可知，
，
∴，μ＝1，∴λ+μ；
如图：
设m（0≤m≤1），
则m（）＝（1），
∵G为AF中点，
∴[（1）]＝（），
∵正方形ABCD的边长为1，
∴1，0，
∴[（1）] [（）]
＝（m﹣1）（m）+m（），
对于函数y，对称轴为m，
∴函数y在[0，1]上单调递减，
∴当m＝1时，函数y取得最小值，
即的最小为．
故答案为：；．
14．（2018春 盐城期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D﹣A1BC的体积是　　 ．
【解答】解：如图，
由题意可知，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱．
如图，D为棱B1C1上任意一点，则．
A1 到平面BCC1B1 的距离d．
∴．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 吉林期末）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sinB+sinC）2＝sin2A+sinBsinC．
（1）求A；
（2）若b+c＝5，△ABC的面积为，求a的值．
【解答】解：（1）由（sinB+sinC）2＝sin2A+sinBsinC，
得sin2B+sin2C﹣sin2A＝﹣sinBsinC，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理b2+c2﹣a2＝2bccosA，
所以cosA，
因为0＜A＜π，
所以；
（2）由于△ABC的面积为，
即，
可得bc＝4，又因为b+c＝5，
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc＝52﹣4＝21，
解得．
16．（2024春 兴庆区校级期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，b＝2，求c的值和△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为向量，，且，
所以，
由正弦定理得：，
又因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以，
所以，又因为A∈（0，π），所以；
（2）由余弦定理得：，
整理得：c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3或c＝﹣1（舍），
所以△ABC的面积．
17．（2023春 龙川县校级期末）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）．
【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，
解得a＝0.035；
（2）平均数为；20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5岁；
设中位数为m，则10×0.010+10×0.015+（m﹣35）×0.035＝0.5，
解得m＝42.1，
即中位数为42.1．
18．（2024春 锦州期末）如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝1，CD＝2，△ABC为等边三角形，记∠ADC＝α．
（1）若，求△ABD的面积；
（2）若，求△ABD的面积的取值范围．
【解答】解：（1）在平面四边形ABCD中，已知AD＝1，CD＝2，△ABC为等边三角形，记∠ADC＝α，
在△ACD中，由余弦定理，，
所以，所以∠DAC＝90°，
又因为△ABC为等边三角形，
所以，且∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，
所以，
则△ABD的面积为；
（2）在平面四边形ABCD中，已知AD＝1，CD＝2，△ABC为等边三角形，记∠ADC＝α，
设∠DAC＝β，
在△ACD中，由余弦定理，
AC2＝AD2+CD2﹣2AD CD cosα＝1+4﹣2×2×cosα＝5﹣4cosα，
，
在△ACD中，由正弦定理，，即，
所以，
所以
，
又因为，
所以，
所以，
即△ABD的面积的取值范围为．
19．（2024秋 虹口区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．
（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小．
【解答】（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．
连结PO，又因为P是DD1的中点，所以PO∥BD1．
又因为PO 平面PAC，BD1 平面PAC
所以直线BD1∥平面PAC．
（2）解：由（1）知，PO∥BD1，所以∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．
因为，且PO⊥AO，
所以．
又∠APO∈（0°，90°]，所以∠APO＝30°
故异面直线BD1与AP所成角的大小为30°．
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