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广西壮族自治区北海市2025届高三第四次模拟预测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.桂林的象鼻山景区有个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间单位：月的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若在经过个月后评分增长到，则满意度评分为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为，抛物线上有一点，点到焦点的距离为，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，已知，，的面积为，则( )
A. B. C. D.
7.已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线图象在第一象限交于点，若点在以为直径的圆上，且的中点在双曲线图象的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某班级有的学生报名参加了数学竞赛，的学生报名参加了物理竞赛．报名参加数学竞赛的学生中，有同时也报名参加了物理竞赛．从该班级中随机抽取一名学生，记事件为“该学生报名参加数学竞赛”，事件为“该学生报名参加物理竞赛”则以下说法正确的是( )
A. 事件和事件是独立事件 B.
C. D.
10.已知圆：，圆：，直线：，下列结论正确的是( )
A. 若直线与圆相切，则
B. 若，则圆上到直线的距离等于的点恰有个
C. 若圆与圆恰有三条公切线，则
D. 若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则可能为
11.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是( )
A. B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为单位向量，，，则 ．
13.密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用．例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为等份，每一份称为密位．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则最小值的密位数为 ．
14.若函数有两个极值点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且
证明：数列是等差数列；
求的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，动点在线段上满足，动点在线段上满足，其中．
当时，证明：平面；
是否存在，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17.本小题分
年春节期间，国产电影哪吒之魔童闹海凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想，票房一路攀升，成为全球动画电影票房冠军．截至年月日全球票房达到亿元，下图为某平台向名观众征集该电影的评分结果的频率分布直方图．
求的值；
估计这名观众评分的平均数同一组中的数据用该区间的中点值作代表；
从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取人进行问卷调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，求被抽到的人中评分在的人数的分布列及期望．
18.本小题分
已知函数，．
设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围；
若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方；
若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为．上一点到，的距离之和为．
求的方程；
设的左、右顶点分别为，，若为上异于，的点，直线与直线相交于点，直线与交于另一点，
(ⅰ)证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
(ⅱ)求面积的最大值．
参考答案
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14.
15.解：证明：由，
可得，
移项得到，
两边同时除以，
得到，又因为，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
由可知，所以．
证明：因为，
则数列的前项和，
，
，
，
因为，
所以．
16.解：证明：当时，，分别为，的中点，
取的中点，连接，，如图：
所以为的中位线，
所以，，
因为底面为菱形，所以，，
则，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
存在，
以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接，
因为，，．
则，，，，，
所以，，
，，
因为，，
所以，，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，，
所以，
，
，
化简得，即，
所以或舍，
所以存在使得平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由题意知，解得．
由得，
所以估计这名观众评分的平均数．
中的人数为人，
中的人数为人，
所以按照分层抽样的方法随机抽取的人中，
评分在的抽取人，
评分在的抽取人．
被抽取到的人中评分在的人数的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为，
期望．
18.解：由题可得，，
，
令，，
因为在上单调递减，
所以，对于恒成立，
可得对于恒成立，
令，，
因为在恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即实数的取值范围为
证明：当时，，，
设切点坐标为，
则切线方程为，，
令，，
依题意，只需证明即可，
，，
令，，则，
故即在上单调递减，
又，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
则恒成立，即得证．
不等式恒成立，即恒成立，
设，则．
当时，恒成立，故H在上单调递增．
因为，所以不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
故可取的最大整数值为．
19.解：解：由题意可得，解得，
椭圆方程为．
证明：设，，点，点，点，点，
则直线的方程为，
联立，
可得，，
则，
，，，
直线的方程为，联立，
可得，，
则，
，
，，
若直线不垂直于轴，则直线的方程为
，
化简得，
令，得，
直线恒过定点，
若直线垂直于轴，则，此时也过定点，
综上，恒过定点．
连接，如图，
由知直线恒过定点，且直线的斜率不为，
故设直线的方程为，，，
由，消去并整理得，，
，，
又因为，
所以的面积，
令，则，，
从而在上单调递增，当，即时，的面积取得最大值，
故面积的最大值为．
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