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湖北省高中名校联盟·圆创教育2025届高三第四次联合测评
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B.
C. D. ，或
2.设复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，含项的系数是( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若对，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.从分别标有，，，，的个小球中，不放回的随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为，若，则为实数的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知长方体中，，，点是底面上的一个动点设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为实数，当时，，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知是定义域为的偶函数，当时，若对，，则( )
A. 与有相同的零点 B. 的图象有无数条对称轴
C. 当时， D. 与的图象仅有一个交点
11.已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则( )
A. B.
C. D. 当时，的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 用数字作答．
13.随机变量的取值为，，，若，，则 ．
14.设数列满足：，，其中表示不超过的最大整数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性
当时，在恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为上一点，且平面，．
证明：平面平面
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，已知．
求
求的取值范围．
18.本小题分
已知为抛物线的焦点，为在第一象限上的动点，当时，设的准线与轴交于点，与交于点，，，与交于点，与交于点．
求的方程
求的轨迹方程
若，求的取值范围．
19.本小题分
已知集合，，，是的非空子集．
记集合除以的余数，若正整数满足：存在非空集合，，使得，，两两的交集为空集，且，则称为“好的”．
设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”
证明：是“好的”，是“好的”
求所有“好的”正整数．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，，，
得．
当时，由，解得或；
由，解得，
当时，恒成立，
当时，由，解得或
由，解得，
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减
当时，的在单调递增
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
由知，当时，函数在单调递减，在单调递增，
所以．
令，，
得．
令，，
得，所以在单调递减，
所以，所以，
所以在上单调递减，
因为且，
所以
所以的取值范围为．
16.解：证明：如图，取的中点，连接，，
因为三角形是以为斜边的等腰直角三角形，不妨设，
则，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，，
因为，所以，，
因为，则为等边三角形得，
又，，所以，所以，
又，，，平面，则平面，
又平面，所以平面平面；
过作，因为，所以，所以共面，
平面平面，又平面，所以，
所以四边形为平行四边形，，为中点，
建立如图所示的空间直角坐标系设，
则，，，，，，
因为为的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，得，
设直线与平面的夹角为，
则，
所以．
17.解：由以及余弦定理可得：
，
则，
所以，
所以，
由正弦定理可得：，
则，即，
因为，，所以，
由可得：；
因为，所以，
则
，
令因为，所以，
所以，则
，
所以
，
因为，所以，
故的取值范围为．
18.解：由题意得，，解得其中舍去，
所以 的方程为；
由题意，知，
设，则，
因为，，三点共线，所以，
即，
设，由，得，，
所以，即，
所以的轨迹方程
因为，所以，
因为，
所以，同理，
设，，
则，
，
所以，解得，
又，设，设直线：，
联立得，，
有 ，于是，
解得，即的取值范围是
19.解：，是“好的”；
证明：时，取，，则的值为，，，，除以的余数为，，，，
所以满足条件
时，取，，
的值分别为，，，，，，，，，，，，除以的余数为，，，，，，，，
所以，满足条件；
首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”，
事实上，若正整数是“好的”，
设，，，此时集合，满足时条件，
时，考虑，
，
则，也满足条件，得证；
再证：为奇数是“好的”，
事实上，取，，
则满足条件，得证，
由及知除，，外的正整数均为“好的”；
再证：不是“好的”，
对集合，记为中元素个数，由条件，，
若，则，矛盾，
若或，则，则，矛盾，
于是不是“好的”，
同理易知，不是“好的”，
所以，所求为除，，外的正整数．
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