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浙江省温州市2025届高三三模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，都是单位向量，夹角为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是复数的共轭复数，为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4.已知圆和圆有公共点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，，，，且，则( )
A.
B.
C.
D.
7.为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为万元时，收益的预测值为 万元．
万元
万元
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左右焦点分别是，，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则存在实数，使得( )
A. 的最小正周期为 B. 是偶函数
C. 是奇函数 D. 的最大值为
10.抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则( )
A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件
C. D.
11.已知数列满足，定义：集合，，，使得，并记该集合的元素个数为，则以下说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 存在数列，其中有一项能使得且
D. 若任取数列的两项，，恰好是元素的概率大于，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从所大学中选择所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有 种．
13.在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ．
14.已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，则圆台的体积等于 ；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
点在边上，且，，求的周长．
16.本小题分
数列满足：，，．
数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；
数列满足：，求数列的前项和．
17.本小题分
抛物线：与：的焦点分别为，，为，的一个交点，且．
求，，的值；
，是上的两点，若四边形按逆时针排列为平行四边形，求此四边形的面积．
18.本小题分
如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，，；在直三棱柱中，直线，分别交平面于点，．
求证：；
若，则
(ⅰ)当时，求线段的长度；
(ⅱ)当平面与平面的夹角与互余时，求的值．
19.本小题分
设曲线：．
求证：关于直线对称；
求证：是某个函数的图象；
试求所有实数与，使得直线在的上方．
参考答案
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15.解：，
由正弦定理得，
即，
，，
，
；
在中，，，，
由正弦定理得，即，得，
，
，
，，
在中，，，
由余弦定理得，，
，又，
的周长为．

16.解：是等比数列，理由如下：
因为，，
所以，
又，
故数列是首项和公比都是的等比数列；
由得，则，
则 ，
则
．
17.解：因为，所以，
则抛物线，经过点，则，
因为，所以，
故A在：上，则，
故：，
综上；
设，，
因为四边形按逆时针排列为平行四边形，则
，所以，
所以，则
所以，
由题意可知，
，所以，
则，，
设与的夹角为，则，
，
所以四边形的面积为．
18.解：因为为直三棱柱，
所以，平面，平面，
所以平面．
平面，平面平面，
所以
如图，因为，，
所以，，从而，
又因为，所以，可得；
据题意，可以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立图示的空间直角坐标系，
从而，，，，
则平面法向量，
设平面法向量，
，，
则，即
从而取，
所以，，
显然，，与平面与平面的夹角相等，均为锐角，也是锐角，
则，，
得，
变形得，
，
，
，
令，则，
上式
，
解得或舍，
所以．

19.解：证明：点关于的对称点是，
若点在曲线上，即，
又，
所以也在曲线上，故 C关于直线对称；
证明：固定，设，则，
当时，恒成立，至多只有一个零点，
当时，令，，，
设，则，，
则，
所以有且仅有一根，即与一一对应，所以是某个函数的图象；
引理：对于上任意一点，恒有，
证明：设，则，，，
所以由零点存在定理可得，
所以的图象夹在与之间，故，
联立，可得，
，
所以当时，，方程无解，当时，方程也无解，
所以，
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