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山东省菏泽市2025届高三二模考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.某班班会从甲、乙等名学生中选名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知为等比数列前项和，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆交于、两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.对于任意，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量，且，则
B. 若随机变量~B(10,P),且=2,则 =
C. 若数据,,,的方差为8,则数据,,,的方差为4
D. 若频率分布直方图呈现单峰不对称且左“拖尾”时,平均数大于中位数
10.已知函数，函数，则下列结论正确的有( )
A. 与的图象有相同的对称轴
B. 与有相同的最小正周期
C. 将的图象向右平移个单位，可得到的图象
D. 与的图象在上只有一个交点
11.如图，在的方格表中，任意填入个互不相等的实数，取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是，再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是，下列结论中可能成立的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与垂直，则实数的值为 ．
13.一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为，削成一个球，则所得球的体积最大值为 ．
14.已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处的切线与直线平行．
求的值
求的极值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
若，求边上高的最大值．
17.本小题分
如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形，为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，．
求证：
若，求与平面所成角正弦值的最大值．
18.本小题分
抛物线的焦点为，且过点．
求的方程
过点的一条直线与交于、两点在线段之间，且与线段交于点．
证明：点到和的距离相等
若的面积等于的面积，求点的坐标．
19.本小题分
某选数游戏规则：给定个不同数参与者不知道具体数值但知道的大小，屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按键选择该数，或按键跳过继续查看下一个数，一旦按键选择，该游戏结束若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．
小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前个数均按键跳过表示直接选取第一次出现的数，从第个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按键选择，否则按键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为．
当时，写出，，的值
当时，求，并证明当最大时，满足；
已知当时，为欧拉常数在本次游戏中，如果，最大时，求的估计值
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意得： ，
因为 在处的切线与直线 平行，
所以，故；
由得： ，定义域为，
令 ，得 ，
则 ， ， 的变化情况如下表：
，
单调递增 极大值 单调递减
故 的极大值为，无极小值．
16.解：由及正弦定理得：，
因为，所以，
故式可变形为，
化简得：，因为，所以，故，
因为，故C；
设外接圆的半径为，
由正弦定理得：，
又，故得：，
由知，故，则，
由余弦定理得：，即，
则，当且仅当时等号成立，
设边上高为，
由三角形的面积公式得：，即，
故AB边上高的最大值为．
17.解：证明：取的中点，连交于，
由于为正方形，为的中点，
易证与相似，得到，
因为，，，平面，所以平面，
又平面，故AF，
由于平面平面，平面平面，，故BC平面，
又平面，则，
因为，，，平面，
所以平面，则，
又点是的中点，故 EA；
由于圆的半径为，则正方形的边长为，
又，则，
以为坐标原点，过点作，平行的直线分别为轴，轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
设，易求上底面圆的半径为，故，
故，，，
设平面的法向量为，
由，得，
取，，故，
设与平面所成角为，
则，，
令，得，，
所以在上单调递增，
故，
所以与平面所成角正弦值的最大值为．

18.解：因为抛物线过点，所以，得：，
所以的方程为：；
证明：设直线方程为，，，
由，消去整理得，则，
，，
又

，
所以，所以点到和的距离相等；
因为，所以，故直线，所以，
由知，所以，所以点在线段的中垂线上，所以点

19.解：不妨设三个数是，，，三个数的大小排列有种情形：，，，，，，
当时，取到最大的情形有：，，
当时，取到最大的情形有：，，，
当时，取到最大的情形有：，，；
当最大数在第，，，次出现时，均有可能获胜，
设最大数在次出现，要想获胜，
前个数中的最大值必出现在前次中，且第次取到最大值，
所以
，
，
同理，
因此，当时，最大；
首先证明对于，当最大时，，
否则若，
则
，所以当最大时，，
，
，
，
得，
所以，
得，
所以，所以，．
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