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山东省滨州市2025届高三二模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，点对应的复数为，则( )
A. B. C. D.
3.设为等比数列，且，，则( )
A. B. C. D.
4.若随机变量~N(3,),且P(a)=P( b),则+的最小值为（ ）
A. 18 B. 18 C. 24 D. 27
5.已知函数，则( )
A. 要得到的图象，只需将的图象向右平移个单位
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减
D. 若，且，则的最小值为
6.在平行四边形中，，，点在边上，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆和圆，，分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.据网络平台最新数据，截止到年月日时分，电影哪吒之魔童闹海总票房含点映、预售及海外票房已超亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则( )
A. B. 观众年龄的众数估计为
C. 观众年龄的平均数估计为 D. 观众年龄的第百分位数估计为
10.已知，是双曲线的左、右焦点抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且是双曲线与抛物线的一个公共点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
11.已知直线与曲线相交于，两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.在三棱锥中，平面，，，点为内包含边界一点，且，则点的轨迹的长度为 ．
14.在圆内接四边形中，，，则 ，若，则的面积最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有，两个问题，已知甲同学答对问题的概率为，回答正确得奖金元，回答错误得奖金元答对问题的概率为，回答正确得奖金元，回答错误得奖金元甲同学回答，两个问题正确与否相互独立．
若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率
若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答问题和先回答问题所获得的奖金总额的期望相同，求的值．
16.本小题分
已知函数
讨论的单调性
若时，恒成立，求实数的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，为等腰三角形，且，点为线段上一点．
若平面，求的值
当为何值时，直线与平面所成角最大，并求最大角的值．
18.本小题分
在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”如：数列，经过第一次“积扩充”后得到数列，，第二次“积扩充”后得到数列，，，，设数列，，经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为．
求和
求和．
求数列的前项积．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，设，，规定：点叫做点的仿射对应点．
已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为．
求的轨迹方程
设，是曲线上的两点，，的仿射对应点分别为，，和的面积分别记为，求
设，是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.A
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设“甲答对问题为事件，“甲答对问题为事件，
则，，
因为与相互独立，所以与，与也相互独立，
且，，
甲仅答对其中一个问题包含两种情况：答对答错和答错答对，
答对答错的概率为，
答错答对的概率为，
所以甲仅答对其中一个问题的概率为
设甲先回答问题所获得的奖金总额为 ，
则 的可能取值为，，，
，
，
，
可得 ，
设甲先回答问题所获得的奖金总额为 ，
则的可能取值为，，，
，
，
，
可得 ，
因为 ，即，解得．
16.解：首先，确定函数的定义域为，
然后，对求导，可得，
接下来，分情况讨论的正负：
当时，对于，，，所以，
这表明在上单调递减；
当时，令，即，则，解得，
当时，，，所以，单调递减；
当时，，，所以，单调递增，
综上所得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，
所以，整理得，
令，，
由，解得，由，解得，
从而在单调递减，在单调递增，
所以，
又，所以，所以．

17.解：连接，设，连接，
因四边形是矩形，则是的中点，
平面，平面，平面平面，
则，
所以是的中位线，从而是中点，
所以
，，，，平面，
所以平面，
过在平面内作的垂线，
据题意，可以以此直线，直线，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
又，设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，
则，
显然，要使最大，则，
从而，
则当时，取最大值，
即最大值为，又，
所以当时，直线与平面所成角的最大值为．
18.解：，，
，
因为，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
设，则，即，
又因为，所以，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，从而，
所以；
要求，
只需求，
又因为，
所以
，
所以，
所以．
19.解：设为上任意一点，点的的仿射对应点为．
令，则，代入圆，得到，
即的方程为；
设，，则，，
因为，，
所以，
，
同理：，
所以；
设，的的仿射对应点分别为，，
因为，是曲线上两点，又
可得，，
所以，均在上，
由可知：，
设，从而，得，
又因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以．
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