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图形变换-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·义乌模拟）2025年碳中和目标加速推进，下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
2．（2025·温岭二模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC =20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC =75°
∴∠D=180°-∠E-∠DAE=35°
故答案为：C.
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.
3．（2025·凉州模拟）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；内错角的概念
4．（2025·东莞模拟）下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正五边形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
5．（2025九下·丽水模拟） 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D=90°，∠B=45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；8字型相似模型
【解析】【解答】解：过点F作直线FH⊥AB于点H，交直线DC于点G，则∠FHB=∠FHA=90°，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
∵AB∥CD，
∴△CGF∽△BHF，
∴，
∴GF=HF，BH=CG，
∴GH=2GF=2HF，
∵∠FHB=90°，∠B=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH，
∵AB∥CD，∠BHF=90°，
∴∠CGF=∠BHF=90°，
∴∠D=∠CGF=∠FHA=90°，
∴四边形ADGH是矩形，
∴AD=GH=2GF，AH=DG，
设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x，
由旋转性质得∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠CEF=90°=∠AED+∠DAE，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△ADE≌△EGF（AAS），
∴DE=GF=x，AD=EG=2x，
∴DG=3x=AH，
∴AB=4x，
∵
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】过F作直线FH⊥AB于H，交直线DC于G，则∠FHB=∠FHA=90°，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CGF∽△BHF，由相似三角形对应边成比例及中点定义可得GF=HF，BH=CG，则GH=2GF=2HF，易得△BHF是等腰直角三角形，则BH=FH；由二直线平行，内错角相等得∠CGF=∠BHF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADGH是矩形，由矩形对边相等得AD=GH=2GF，AH=DG，设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x；由旋转的性质可得∠AEF=90°，AE=EF，根据平角定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠DAE=∠CEF，用AAS判断出△ADE≌△EGF，由全等三角形的对应边相等得DE=GF=x，AD=EG=2x，由线段和差可推出AB=4x，在Rt△ADE中，利用勾股定理用含x的式子表示出AE，进而根据等腰直角三角形的性质用含x的式子表示出AF，即可求出两条线段的比值.
6．（2025·鄞州模拟）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，当时，作于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理，得.
∵，
∴．
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴；
如图所示，当时，由上述可知，且，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
则，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴．
综上所述，的值是或．
故选：D．
【分析】
由矩形的性质知，当AB=AO时，为等边三角形，则，所以，由于OF二、填空题
7．（2025·成都模拟）如图，将绕点顺时针旋转，得到，且点的对应点恰好落在上，则的度数为　 　度．
【答案】108
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转得，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】由旋转的性质得，，根据等角对等边以及三角形的内角和等于180°可求得∠AMB的度数，然后根据领补角的定义即可求解．
8．（2025·长兴二模）如图，点是对角线AC的中点，沿过点的直线MN将折叠，使点A，B分别落在，处，交CD于点交AD于点，若点是CD的中点，且，则与四边形MOCD的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结OF，OE，
点是CD的中点，
由折叠易得，
，
与四边形MOCD的面积比为．
故答案为：.
【分析】先根据三角形的中位线性质得到OE∥AD∥NC，，证明△COE∽△CAD得到再证明△ONE≌△OMF，MF=NE，再证明，从而可得，进而可求解．
9．（2025·罗湖模拟）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；旋转的性质
10．（2025·邻水模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质
11．（2025·叙州模拟）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
12．（2025·江阳模拟）在平面直角坐标系中，的半径为1，点为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．如图，已知点，点，点为点的“对应点”，则　 　
【答案】
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
三、作图题
13．（2025·江北模拟）如图，在直角坐标系中，各顶点的横、纵坐标都是整数，
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）求的面积
【答案】（1）解：如图，
（2）解：
=11.5.
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数”可求出的坐标，然后在平面直角坐标系中描点即可求解；
（2）根据三角形的面积的构成可用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算的面积．
（1）解：如图，
（2）解：
四、解答题
14．（2025·渠县模拟）如图，在中，、、．
（1）是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____；
（2）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____；
（3）与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____．
【答案】（1）
（2）
（3）是，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；旋转的性质
15．（2025·衢州模拟）如图，在中，是内一点，连结CD，将线段CD绕点逆时针旋转到CE，使，连结.
（1）求证：.
（2）当时，求与的度数和.
【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
（2）解：∵∠CBA=60°，CA=CB，
∴△CAB是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE＋∠BAD=∠CAD＋∠BAD=∠CAB=60°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用等式性质证得∠ACD=∠BCE，再利用SAS证明；
（2）先证明△CAB是等边三角形，求得∠CAB=60°，再根据全等三角形的性质证得∠CAD=∠CBE，然后利用两角之和求得∠CBE＋∠BAD.
16．（2025·龙岗模拟）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值．
【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求．
（1）请你写出图2中，的最小值为______；
（2）【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少；
（3）【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米．
【答案】（1）
（2）的最小值为，此时
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
17．（2025·云岩模拟）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】勾股定理；旋转的性质
五、实践探究题
18．（2025·广东模拟）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？
（1）【分析并解决问题】
学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中．求证：四边形CDMN是类A4矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形；
（3）【拓展】
如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分，点E，F，G，分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值．
【答案】（1）解：折叠，
．
又四边形ABCD为矩形，
．
四边形CDMN为矩形．
，
四边形CDMN是类A4矩形．
（2）解：连接PE，设，则．
沿FG折叠使点与点重合，
．
又四边形ABCD为正方形，
，
，
四边形CDFG是矩形．
是等腰直角三角形，
折痕DE
由角平分线性质可得
又
．
四边形CDFG是类A4矩形．
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上
∴EF∥AC
同理可得：FG∥BD，GH∥AC
∵AC⊥BD
∴四边形EFGH是类A4矩形
∴或
①当时，
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴
∵
∴
∵FG∥BD
∴△CFG∽△CBD
∴
∴
∴
∴BF=CF
∴
∴
②当时，
由①同理得△BEF∽△BAC
∴，即
∴
由①同理得△CFG∽△CBD
∴，即
∴
∴
∴CF=2BF
∴
∴
综上所述，EF的长为或
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据矩形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDMN为矩形，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（2）连接PE，设，则，根据折叠性质可得，再根据正方形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDFG是矩形，再根据等腰直角三角形性质可得，则，，根据折叠性质可得，再根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（3）AC与BD相交于点O，根据折叠性质可得EF∥AC，同理可得：FG∥BD，GH∥AC，再根据类A4矩形定义可得四边形EFGH是类A4矩形，则或，分情况讨论：①当时，，根据相似三角形判定定理可得△BEF∽△BAC，则，代值可得，再根据相似三角形判定定理可得△CFG∽△CBD，则，再根据边之间的关系可得，则BF=CF，即，即可求出答案；②当时，，由①同理得△BEF∽△BAC，则，即，可得，由①同理得△CFG∽△CBD，则，即，可得，即，化简可得CF=2BF，则，即，即可求出答案.
六、阅读理解题
19．（2021·洪洞模拟）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？
“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即 ，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
（1）如图2，是 的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是　 　．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则 　 　．
（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．
【答案】（1）21
（2）32
（3）解：答案不唯一，只要符合题意要求即可．
例如：
【知识点】轴对称图形；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意，如图：
多边形内部的点数为： ，
多边形边界的点数为： ，
∴ ；
故答案为：21；
（2）设内部点数是 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：32．
【分析】（1）先求出多边形内部的点数为： ，多边形边界的点数为： ，再求解即可；
（2）先求出 ，再求出a=8，最后计算求解即可；
（3）根据面积和轴对称图形的定义作图即可。
七、综合题
20．（2022·普陀模拟）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE∠FBC=15°；
（2）解：∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF DF=AB DE，
∵AF DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC-DE=5-2=3，
∴EF=3，
∴DF=，
∴AF=，
∴BC=AD=AF+DF=；
（3）解：过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=AD=BC，
∵BC=BF，
∴NF=BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得，
∴BF=BG+GF=，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠C=90°，根据折叠的性质可得BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，结合已知条件可得BF=2AB，推出∠AFB=30°，根据平行线的性质可得∠AFB=∠CBF=30°，据此求解；
（2）根据折叠的性质可得∠BFE=∠C=90°，CE=EF，根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，由同角的余角相等可得∠AFB=∠DEF，证明△FAB∽△EDF，根据相似三角形的性质可得DE，由CE=DC-DE可得CE，根据勾股定理可得DF，然后根据BC=AD=AF+DF进行计算；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，则NF=AD=BC，NF=BF，证明△NFG∽△BFA，设AN=x， 则AN=NG=x，AB=BG=2x，设FG=y，则AF=2y，根据勾股定理可得y=x，表示出BF，据此求解.
1 / 1图形变换-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·义乌模拟）2025年碳中和目标加速推进，下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·温岭二模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·凉州模拟）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·东莞模拟）下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正五边形
5．（2025九下·丽水模拟） 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D=90°，∠B=45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·鄞州模拟）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
7．（2025·成都模拟）如图，将绕点顺时针旋转，得到，且点的对应点恰好落在上，则的度数为　 　度．
8．（2025·长兴二模）如图，点是对角线AC的中点，沿过点的直线MN将折叠，使点A，B分别落在，处，交CD于点交AD于点，若点是CD的中点，且，则与四边形MOCD的面积比为　 　.
9．（2025·罗湖模拟）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于　 　．
10．（2025·邻水模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为　 　.
11．（2025·叙州模拟）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为　 　．
12．（2025·江阳模拟）在平面直角坐标系中，的半径为1，点为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．如图，已知点，点，点为点的“对应点”，则　 　
三、作图题
13．（2025·江北模拟）如图，在直角坐标系中，各顶点的横、纵坐标都是整数，
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）求的面积
四、解答题
14．（2025·渠县模拟）如图，在中，、、．
（1）是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____；
（2）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____；
（3）与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____．
15．（2025·衢州模拟）如图，在中，是内一点，连结CD，将线段CD绕点逆时针旋转到CE，使，连结.
（1）求证：.
（2）当时，求与的度数和.
16．（2025·龙岗模拟）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值．
【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求．
（1）请你写出图2中，的最小值为______；
（2）【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少；
（3）【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米．
17．（2025·云岩模拟）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长．
五、实践探究题
18．（2025·广东模拟）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？
（1）【分析并解决问题】
学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中．求证：四边形CDMN是类A4矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形；
（3）【拓展】
如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分，点E，F，G，分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值．
六、阅读理解题
19．（2021·洪洞模拟）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？
“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即 ，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
（1）如图2，是 的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是　 　．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则 　 　．
（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．
七、综合题
20．（2022·普陀模拟）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC =20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC =75°
∴∠D=180°-∠E-∠DAE=35°
故答案为：C.
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；内错角的概念
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
5．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；8字型相似模型
【解析】【解答】解：过点F作直线FH⊥AB于点H，交直线DC于点G，则∠FHB=∠FHA=90°，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
∵AB∥CD，
∴△CGF∽△BHF，
∴，
∴GF=HF，BH=CG，
∴GH=2GF=2HF，
∵∠FHB=90°，∠B=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH，
∵AB∥CD，∠BHF=90°，
∴∠CGF=∠BHF=90°，
∴∠D=∠CGF=∠FHA=90°，
∴四边形ADGH是矩形，
∴AD=GH=2GF，AH=DG，
设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x，
由旋转性质得∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠CEF=90°=∠AED+∠DAE，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△ADE≌△EGF（AAS），
∴DE=GF=x，AD=EG=2x，
∴DG=3x=AH，
∴AB=4x，
∵
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】过F作直线FH⊥AB于H，交直线DC于G，则∠FHB=∠FHA=90°，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CGF∽△BHF，由相似三角形对应边成比例及中点定义可得GF=HF，BH=CG，则GH=2GF=2HF，易得△BHF是等腰直角三角形，则BH=FH；由二直线平行，内错角相等得∠CGF=∠BHF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADGH是矩形，由矩形对边相等得AD=GH=2GF，AH=DG，设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x；由旋转的性质可得∠AEF=90°，AE=EF，根据平角定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠DAE=∠CEF，用AAS判断出△ADE≌△EGF，由全等三角形的对应边相等得DE=GF=x，AD=EG=2x，由线段和差可推出AB=4x，在Rt△ADE中，利用勾股定理用含x的式子表示出AE，进而根据等腰直角三角形的性质用含x的式子表示出AF，即可求出两条线段的比值.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，当时，作于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理，得.
∵，
∴．
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴；
如图所示，当时，由上述可知，且，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
则，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴．
综上所述，的值是或．
故选：D．
【分析】
由矩形的性质知，当AB=AO时，为等边三角形，则，所以，由于OF7．【答案】108
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转得，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】由旋转的性质得，，根据等角对等边以及三角形的内角和等于180°可求得∠AMB的度数，然后根据领补角的定义即可求解．
8．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结OF，OE，
点是CD的中点，
由折叠易得，
，
与四边形MOCD的面积比为．
故答案为：.
【分析】先根据三角形的中位线性质得到OE∥AD∥NC，，证明△COE∽△CAD得到再证明△ONE≌△OMF，MF=NE，再证明，从而可得，进而可求解．
9．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；旋转的性质
10．【答案】
【知识点】旋转的性质
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
12．【答案】
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
13．【答案】（1）解：如图，
（2）解：
=11.5.
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数”可求出的坐标，然后在平面直角坐标系中描点即可求解；
（2）根据三角形的面积的构成可用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算的面积．
（1）解：如图，
（2）解：
14．【答案】（1）
（2）
（3）是，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；旋转的性质
15．【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
（2）解：∵∠CBA=60°，CA=CB，
∴△CAB是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE＋∠BAD=∠CAD＋∠BAD=∠CAB=60°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用等式性质证得∠ACD=∠BCE，再利用SAS证明；
（2）先证明△CAB是等边三角形，求得∠CAB=60°，再根据全等三角形的性质证得∠CAD=∠CBE，然后利用两角之和求得∠CBE＋∠BAD.
16．【答案】（1）
（2）的最小值为，此时
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
17．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】勾股定理；旋转的性质
18．【答案】（1）解：折叠，
．
又四边形ABCD为矩形，
．
四边形CDMN为矩形．
，
四边形CDMN是类A4矩形．
（2）解：连接PE，设，则．
沿FG折叠使点与点重合，
．
又四边形ABCD为正方形，
，
，
四边形CDFG是矩形．
是等腰直角三角形，
折痕DE
由角平分线性质可得
又
．
四边形CDFG是类A4矩形．
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上
∴EF∥AC
同理可得：FG∥BD，GH∥AC
∵AC⊥BD
∴四边形EFGH是类A4矩形
∴或
①当时，
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴
∵
∴
∵FG∥BD
∴△CFG∽△CBD
∴
∴
∴
∴BF=CF
∴
∴
②当时，
由①同理得△BEF∽△BAC
∴，即
∴
由①同理得△CFG∽△CBD
∴，即
∴
∴
∴CF=2BF
∴
∴
综上所述，EF的长为或
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据矩形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDMN为矩形，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（2）连接PE，设，则，根据折叠性质可得，再根据正方形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDFG是矩形，再根据等腰直角三角形性质可得，则，，根据折叠性质可得，再根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（3）AC与BD相交于点O，根据折叠性质可得EF∥AC，同理可得：FG∥BD，GH∥AC，再根据类A4矩形定义可得四边形EFGH是类A4矩形，则或，分情况讨论：①当时，，根据相似三角形判定定理可得△BEF∽△BAC，则，代值可得，再根据相似三角形判定定理可得△CFG∽△CBD，则，再根据边之间的关系可得，则BF=CF，即，即可求出答案；②当时，，由①同理得△BEF∽△BAC，则，即，可得，由①同理得△CFG∽△CBD，则，即，可得，即，化简可得CF=2BF，则，即，即可求出答案.
19．【答案】（1）21
（2）32
（3）解：答案不唯一，只要符合题意要求即可．
例如：
【知识点】轴对称图形；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意，如图：
多边形内部的点数为： ，
多边形边界的点数为： ，
∴ ；
故答案为：21；
（2）设内部点数是 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：32．
【分析】（1）先求出多边形内部的点数为： ，多边形边界的点数为： ，再求解即可；
（2）先求出 ，再求出a=8，最后计算求解即可；
（3）根据面积和轴对称图形的定义作图即可。
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE∠FBC=15°；
（2）解：∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF DF=AB DE，
∵AF DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC-DE=5-2=3，
∴EF=3，
∴DF=，
∴AF=，
∴BC=AD=AF+DF=；
（3）解：过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=AD=BC，
∵BC=BF，
∴NF=BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得，
∴BF=BG+GF=，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠C=90°，根据折叠的性质可得BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，结合已知条件可得BF=2AB，推出∠AFB=30°，根据平行线的性质可得∠AFB=∠CBF=30°，据此求解；
（2）根据折叠的性质可得∠BFE=∠C=90°，CE=EF，根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，由同角的余角相等可得∠AFB=∠DEF，证明△FAB∽△EDF，根据相似三角形的性质可得DE，由CE=DC-DE可得CE，根据勾股定理可得DF，然后根据BC=AD=AF+DF进行计算；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，则NF=AD=BC，NF=BF，证明△NFG∽△BFA，设AN=x， 则AN=NG=x，AB=BG=2x，设FG=y，则AF=2y，根据勾股定理可得y=x，表示出BF，据此求解.
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