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2025年内蒙古自治区高等职业院校
对口招收中等职业学校毕业生单独考试
数学模拟试卷（九）
注意事项：1．本试卷共4页，满分150分．
2．作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案）
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系求解即可.
【详解】由于，所以.
根据题目可知，，，从而.
故选：A.
2．已知二次函数是偶函数．则实数的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．或1
【答案】C
【分析】根据二次函数的奇偶性的条件可知，若二次函数为偶函数，则，列式求解即可.
【详解】由题意得，因为二次函数是偶函数．
所以且，解得.
故选：C.
3．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式将进行化简求得，再利用诱导公式结合已知条件即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D.
4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则在抽取的高中生中，近视人数约为（ ）

A．1000 B．40 C．27 D．20
【答案】D
【分析】根据高中生的总人数乘以抽样比可得所抽的高中生人数，再由近视率为即可求解.
【详解】由图（1）知高中生的总人数为人，
所以应抽取的高中生为人，
抽取的高中生中，近视人数约为人，
故选：D
5．函数的周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据二倍角正弦公式化简，再利用周期公式易得答案。
【详解】
则周期.
故选：B.
6．已知向量，满足，， ，则( )
A．0 B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】利用条件，将平方后再开方，进而求解.
【详解】，，，
.
故选：B.
7．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【分析】由数列的前n项和计算第一项和第七项，相加即可得解.
【详解】，
，
故.
故选：B.
8．若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的结构特征，体积公式即可求解.
【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为，
所以圆锥的高为，则圆锥的体积为.
故选：C.
9．若两直线与没有交点，则m等于（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】两直线没有交点，即两直线平行.然后分和两种情况进行讨论.
【详解】设直线：，直线：，
当时，直线：，显然与有交点；
当时，直线的方程化为：，直线的方程化为：，
有：
解得：
故选：D.
10．若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】若方程表示圆，则,由此建立不等式即可求解.
【详解】因为表示圆，
所以 ，解得.
故选：D.
11．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程，列不等式组，即可求解.
【详解】依题意可得，即，
解得.
故选：C.
12．已知函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据反比例函数的单调性即可求解.
【详解】因为在上单调递减，所以在上单调递减.
即在上单调递减，所以的最大值为.
故选：D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案写在答题卡指定位置上）
13．在中，，则最大角为 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理求解即可.
【详解】根据，所以是直角三角形，所以最大角为.
故答案为：.
14．在数列中，若，则 ．
【答案】12
【分析】根据数列前n项和的概念，代入数值即可求出。
【详解】数列中，若，
则.
故答案为：12.
15．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是 .

【答案】
【分析】由题中所给信息将直线平移产生三角形即可解得异面直线所成的角.
【详解】连结，由正方体的几何性质可得
则即为所求异面直线所成的角，
连结，易得，
故
故答案为：

16．在平面直角坐标系中，，，若，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】利用之间的关系和双曲线的基本性质即可求解.
【详解】，所以点的轨迹是以两点为焦点，以8为实轴长的双曲线。
即，，所以，，所以双曲线的方程为.
故答案为：.
17．的展开式中所有项的系数和为 ．
【答案】0
【分析】根据各项系数和求解方法求解即可.
【详解】令，有，
故的展开式中所有项的系数和为0.
故答案为：0.
18．若函数为定义在R上的偶函数，且，则 ．
【答案】2
【分析】根据偶函数的性质求解即可.
【详解】为定义在R上的偶函数，
即，
，
解得.
故答案为：2.
三、解答题（本大题共6小题，共60分．将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上）
19．已知，且，求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据内积的定义可求解；
根据，利用内积的运算律展开可求解。
【详解】（1）因为，且，
所以；
（2）
.
20．在中，分别是角所对的边，已知．
(1)求边长的值．
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求值即可.
（2）根据同角三角函数的平方关系求出，再由三角形面积公式求值即可.
【详解】（1）已知，
则，
所以.
（2）已知，在中，
所以，
由，可得.
21．已知数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式求出即可求解；
（2）求出数列的通项，利用等比数列求和公式即可求.
【详解】（1）设数列的公差为，依题意得：
，解得
所以，
即，
（2）由（1）知，
由得 .
所以.
22．已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的一点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，如图所示.
(1)求抛物线的方程；
(2)过M作，垂足为N，求点N的坐标.
【答案】(1)
【分析】（1）根据抛物线的定义，列出准线方程，再根据与A点的关系求出p的值即可求出抛物线方程.
（2）根据抛物线，求出相应的点坐标，求出两条直线，求出交点坐标即可.
【详解】（1）抛物线的准线为，
因为A是抛物线上横坐标为4，A到抛物线准线的距离等于5，
所以，解得，
所以抛物线方程为.
（2）因为A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的一点，
代入抛物线得，所以点A的坐标是，
又因为过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，
所以得，
又，所以，
因为，所以，
则FA的方程为，
MN的方程为，
解方程组，解得，
所以.
23．已知圆：，直线：.
（1）求证：直线与圆相交；
（2）计算直线被圆截得的最短的弦长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）先求得直线：过定点，然后结合点与直线的位置关系求解即可；
（2）由圆的性质可得：当垂直弦时，弦长最短，再利用勾股定理求解即可.
【详解】解：（1）将圆的一般方程化为标准方程得：，则圆心坐标为，半径为，
又直线：变形为，
解不等式组，解得，
即直线经过定点，
又，
则点在圆的内部，
故直线和圆相交.
（2）由圆的性质可得：当垂直弦时，弦长最短，
又，
则，
即 ,
故直线被圆截得的最短的弦长.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，重点考查了圆的弦长的求法，属基础题.
24．如图，正三棱柱中，D，E，F分别为棱，，的中点．
(1)证明：平面
(2)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件证明线线平行，再根据线线平行证得线面平行即可解得.
（2）根据已知证得线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直即可解得.
【详解】（1）证明：连接，∵D、E分别是、的中点，
∴，，
∵三棱柱中，∴，，
又F为棱的中点，∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，∴平面
（2）证明：∵D是的中点，又为正三角形，
∴，
∵为正三棱柱，
∴平面，平面，
∴，又∵，平面，
∴平面，又面，
∴平面平面。2025年内蒙古自治区高等职业院校
对口招收中等职业学校毕业生单独考试
数学模拟试卷（九）
注意事项：1．本试卷共4页，满分150分．
2．作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案）
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数是偶函数．则实数的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．或1
3．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则在抽取的高中生中，近视人数约为（ ）

A．1000 B．40 C．27 D．20
函数的周期是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，， ，则( )
A．0 B． C．4 D．8
7．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
8．若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
9．若两直线与没有交点，则m等于（ ）
A． B． C． D．6
10．若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案写在答题卡指定位置上）
13．在中，，则最大角为 ．
14．在数列中，若，则 ．
15．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是 ．
16．在平面直角坐标系中，，，若，则点的轨迹方程为 .
17．的展开式中所有项的系数和为 ．
18．若函数为定义在R上的偶函数，且，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60分．将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上）
19．已知，且，求：
(1)；
(2).
20．在中，分别是角所对的边，已知．
(1)求边长的值．
(2)求．
21．已知数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令求数列的前项和
已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的一点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，如图所示。
(1)求抛物线的方程；
(2)过M作，垂足为N，求点N的坐标.
23．已知圆：，直线：.
（1）求证：直线与圆相交；
（2）计算直线被圆截得的最短的弦长.
24．如图，正三棱柱中，D，E，F分别为棱，，的中点．
(1)证明：平面
(2)证明：平面平面。

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