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2025 年山东省济南市槐荫区中考数学三模试卷
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．2025 的倒数是( )
A．-2025 B．2025 C． D．﹣
2.据报道，最新的人工智能助手 DeepSeek 在其发布后的前 18 天内下载量达到 1600 万次，数据1600 万用科学记数法表示为( )
A．1.6×103 B．1.6×107 C．1.6×108 D．16×106
3．腰鼓是中国传统民族乐器，历史悠久，在民间广泛流传．如图是一个腰鼓的示意图，则其视图描述正确的是( )
4.如图，点A、D 在射线 AE 上，直线 AB∥CD，∠CDE＝140 °,那么∠A 的度数为( )
A．140° B．60° C．50° D．40°
5.下列计算正确的是( )
A．2a+3a＝6a B．a2 a3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．（-2a3）2＝ -4a6
6.一元二次方程 x2 -2x -3＝0 根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
7.小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是( )
A． B． C． D．
8.如图，在△ABC 中，∠C＝90°, ∠B＝30°, 以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP并延长交BC 于点D，则下列说法：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC＝60°; ③点 D 在 AB 的垂直平分线上；④BD＝2CD．其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9.如图，在正方形 ABCD 中，AC 是对角线，点 E 在边 BC 上，EF⊥AE，∠DCF＝45°. 则的值为( )
A． B．1 C． D．
10.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 C1：y＝x2 -1，将 C1 向右平移 4 个单位，得到抛物线C2，过点 P（p，0）作 x 轴的垂线，交 C1于点 M，交 C2于点 N，q 为 M 与 N 的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点（p，q）组成的图形记为图形T．若直线y＝x+n 与图形 T 恰好有4 个公共点，则 n 的取值范围是( )
A． -＜n＜1 B．-1＜n＜1 C．-1＜n≤1 D． -5＜n＜1
二、填空题（本大题共 5 个小题。每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的横线上。）
11.分解因式：2ab+4a = .
12.如图，将转盘六等分，分别涂上红、黄、绿三种颜色，则指针落在黄色区域的概率是 ．
13.如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1， 点 A、B 、C 都是格点， 则cos∠BAC
= .
14.甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段 OA 表示货车离甲地距离y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系式；折线 B -C -D -表示轿车离甲地距离y（千米）与 x（小时）之间的函数关系，则货车出发 小时与轿车相遇．
15.如图，△ABC 是等边三角形，矩形 DEFG 的顶点 D 在 BC 边上，且 BD＝3CD＝3，DE＝AB=2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE= .
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.计算：﹣2cos45°﹣（1﹣π）0+（）﹣1+．
17.解不等式组，并写出所有的整数解．
18.如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，且 BE＝BF．求证：DE＝DF．
19.2024 年 3 月 5 日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对 A，B 两款 AI 聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取 20 份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 x 表示，结果分为四个等级：不满意：x＜70，比较满意：70≤x＜80，满意：80≤x＜90，非常满意：x≥90）．下面给出了部分信息：
抽取的对 A 款 AI 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对 B 款 AI 聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，a＝ ，b＝ ，c = ;
（2）根据以上数据，你认为哪款 AI 聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次调查中，有 200 人对 A款 AI 聊天机器人进行评分，160 人对 B 款 AI 聊天机器人进行评分，估计此次调查中对 AI 聊天机器人“不满意”的共有多少人．
20．（8分）图1 是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图 2 是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN 是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN 为 1m，主臂MP 长为 5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°. （参考数据：sin37°≈0.6, tan37°≈0.75 , sin53°≈0.8,tan53°≈ )
（1）求点 P 到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点 Q，此时∠QPM＝90°,求 Q 点到 N 点的距离．
21．（9 分）如图，已知 AB 是O 的直径，直线 DC 是O 的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为 E，连接AC．
（1）求证：AC 平分∠BAE；
（2）若 AC＝6，tan∠ACE＝0.75，求O 的半径．
22．（10 分）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少 30 元，花 2220 元购进甲种点茶器具套装的数量是花 1780 元购进乙种点茶器具套装数量的 1.5 倍．
（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价；
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共 30 套，且经费预算不超过 5000 元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝k1x+b 与反比例函数y=的图象交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），已知点A 的坐标是（6，2），点 B 的纵坐标是 -3．
（1）求反比例函数和直线 l1 的表达式；
（2）根据图象直接写出k1x+b＞的解集；
（3）将直线 l1：y＝k1x+b 沿y 轴向上平移后的直线 l2与反比例函数y=在第一象限内交于点 C，如果△ABC 的面积为 30，求平移后的直线 l2 的函数表达式．
24．（12 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）、B（ 1，0），与y 轴交于点 C，且 OA＝OC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图①,在直线 AC 上方的抛物线上存在一点 M，使得 S△AMC＝6，求出 M 的坐标；
（3）若点 P 是该抛物线上位于直线 AC 下方的一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合），点 D 在抛物线对称轴上，点 Q 是平面内任意一点，当 B，P，D，Q 四点构成的四边形为正方形时，请直接写出 Q 点的坐标．
25．（12 分）（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC 和 AB 上，DF⊥AE 于点 O，求证：DF＝AE；
（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，将矩形 ABCD 折叠，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，点 A 落在BC 边上的点 E 处，折痕交边 AB 于 F，交边 CD 于 G，连接 AE 交 GF 于点 O；
①若=，且 tan∠CGP＝，GF＝2，求AE与CP 的长；
②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当 x2-2x -3＞0 时，我们可以利用配方法求出此时x 的取值范围．由题意可知 x2-2x+1 -4＞0，即（x -1）2＞4，显然此时x -1＞2 或x -1＜-2，所以 x＞3 或 x< -1．如图3，若BC＝6，AB＝10，请根据前述方法直接写出CH 的最大值及此时 FG 的长．
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．2025 的倒数是( C )
A．-2025 B．2025 C． D．﹣
2.据报道，最新的人工智能助手 DeepSeek 在其发布后的前 18 天内下载量达到 1600 万次，数据1600 万用科学记数法表示为( B )
A．1.6×103 B．1.6×107 C．1.6×108 D．16×106
3．腰鼓是中国传统民族乐器，历史悠久，在民间广泛流传．如图是一个腰鼓的示意图，则其视图描述正确的是( A )
4.如图，点A、D 在射线 AE 上，直线 AB∥CD，∠CDE＝140 °,那么∠A 的度数为( D )
A．140° B．60° C．50° D．40°
5.下列计算正确的是( B )
A．2a+3a＝6a B．a2 a3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．（-2a3）2＝ -4a6
6.一元二次方程 x2 -2x -3＝0 根的情况是( B )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
7.小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是( B )
A． B． C． D．
8.如图，在△ABC 中，∠C＝90°, ∠B＝30°, 以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP并延长交BC 于点D，则下列说法：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC＝60°; ③点 D 在 AB 的垂直平分线上；④BD＝2CD．其中正确的个数是( A )
A．4 B．3 C．2 D．1
9.如图，在正方形 ABCD 中，AC 是对角线，点 E 在边 BC 上，EF⊥AE，∠DCF＝45°. 则的值为( C )
A． B．1 C． D．
10.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 C1：y＝x2 -1，将 C1 向右平移 4 个单位，得到抛物线C2，过点 P（p，0）作 x 轴的垂线，交 C1于点 M，交 C2于点 N，q 为 M 与 N 的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点（p，q）组成的图形记为图形T．若直线y＝x+n 与图形 T 恰好有4 个公共点，则 n 的取值范围是( A )
A． -＜n＜1 B．-1＜n＜1 C．-1＜n≤1 D． -5＜n＜1
二、填空题（本大题共 5 个小题。每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的横线上。）
11.分解因式：2ab+4a = 2a（b+2） .
12.如图，将转盘六等分，分别涂上红、黄、绿三种颜色，则指针落在黄色区域的概率是 ．
13.如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1， 点 A、B 、C 都是格点， 则cos∠BAC
= .
14.甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段 OA 表示货车离甲地距离y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系式；折线 B -C -D -表示轿车离甲地距离y（千米）与 x（小时）之间的函数关系，则货车出发 3.9 小时与轿车相遇．
15.如图，△ABC 是等边三角形，矩形 DEFG 的顶点 D 在 BC 边上，且 BD＝3CD＝3，DE＝AB=2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE= .
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.计算：﹣2cos45°﹣（1﹣π）0+（）﹣1+．
=3﹣﹣1+3+﹣1
=4
17.解不等式组，并写出所有的整数解．
解：解不等式①得 x＜2，
解不等式②得x＞ -3，
则不等式组的解集为 -3＜x＜2，
所以其整数解： -2， -1，0，1．
18.如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，且 BE＝BF．求证：DE＝DF．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形
∴∠A=∠C，AB＝CB＝AD＝DC
∵BE＝BF
∴AB -BE＝CB -BF
即 AE＝CF
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴DE＝DF．
19.2024 年 3 月 5 日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对 A，B 两款 AI 聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取 20 份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 x 表示，结果分为四个等级：不满意：x＜70，比较满意：70≤x＜80，满意：80≤x＜90，非常满意：x≥90）．下面给出了部分信息：
抽取的对 A 款 AI 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对 B 款 AI 聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，a＝ ，b＝ ，c = ;
（2）根据以上数据，你认为哪款 AI 聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次调查中，有 200 人对 A款 AI 聊天机器人进行评分，160 人对 B 款 AI 聊天机器人进行评分，估计此次调查中对 AI 聊天机器人“不满意”的共有多少人．
解：（1）15，88.5，98；
（2）A 款 AI 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为对两款机器人的评的平均数相同，但 A 款评的中位数比 B 款的高，所以 A 款 AI 聊天机器人更受用户喜爱．
∴A 款 AI 聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）200×10%+160×0.15=44（人），
答：估计此次测验中对 AI 聊天机器人不满意的人数为 44 人．
20．（8分）图1 是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图 2 是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN 是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN 为 1m，主臂MP 长为 5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°. （参考数据：sin37°≈0.6, tan37°≈0.75 , sin53°≈0.8,tan53°≈ )
（1）求点 P 到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点 Q，此时∠QPM＝90°,求 Q 点到 N 点的距离．
解：（1）作 PB⊥QN 于点 B，延长 ME 交 PB 于点A．
∴∠PBQ=∠PBN＝90°
∵EM∥QN，
∴∠BAE=∠PAE＝90°.
由题意得：MN⊥BN，
∴∠MNB＝90°
∴四边形 ABNM 是矩形．
∴AB＝MN＝1（m），AM＝BN．
∵PM＝5m，∠PME＝37°
∴PA＝PM sin∠PME≈5× =3（m）．
∴PB＝PA+AB＝3+1＝4（m）．
答：点P到地面的高度约为 4m；
（2）∵PA＝3m，PM＝5m，∠PAM＝90°,
∴AM＝4（m），∠APM+∠PME＝90°
∴BN＝4（m）．
∵∠QPM＝90°
∴∠QPB+∠APM＝90°
∴∠QPB=∠PME＝37°
∴QB＝PB tan∠QPB≈4×=3（m）．
∴QN＝QB+BN＝7（m）．
答：Q 点到 N 点的距离约为 7m．
21．（9 分）如图，已知 AB 是O 的直径，直线 DC 是O 的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为 E，连接AC．
（1）求证：AC 平分∠BAE；
（2）若 AC＝6，tan∠ACE＝0.75，求O 的半径．
（1）证明：连接 OC
∵DE切圆于 C
∴OC⊥DE
∵AE⊥DE
∴AE∥OC
∴∠CAE=∠ACO
∵OC＝OA
∴∠OAC=∠ACO
∴∠CAE=∠OAC
∴AC 平分∠BAE
（2）解：连接 BC
∵AB 是圆的直径
∴∠ACB＝90°
∵AE⊥DE
∴∠AEC=∠ACB ＝90°
∵∠CAE=∠BAC
∴∠B=∠ACE
∴tanB＝tan∠ACE=
∴=
∵AC＝6
∴BC＝8
∴AB＝10．
∴O的半径是 5．
22．（10 分）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少 30 元，花 2220 元购进甲种点茶器具套装的数量是花 1780 元购进乙种点茶器具套装数量的 1.5 倍．
（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价；
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共 30 套，且经费预算不超过 5000 元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
解：（1）设甲种点茶器具套装的单价是 x 元，则乙种点茶器具套装的单价是（x+30）元，
根据题意得：= ×1.5，
解得：x＝148，
经检验，x ＝148 是所列方程的解，且符合题意，
∴x+43＝178，
答：甲种点茶器具套装的单价是 148 元，乙种点茶器具套装的单价是 178 元；
（2）设学校购进乙种点茶器具套装 m 套，则购进甲种点茶器具套装（30 -m）套，
根据题意得：148（30 -m）+178m≤5000，
解得：m≤18，
∴m 的最大值为 18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装 18 套．
24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝k1x+b 与反比例函数y=的图象交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），已知点A 的坐标是（6，2），点 B 的纵坐标是 -3．
（1）求反比例函数和直线 l1 的表达式；
（2）根据图象直接写出k1x+b＞的解集；
（3）将直线 l1：y＝k1x+b 沿y 轴向上平移后的直线 l2与反比例函数y=在第一象限内交于点 C，如果△ABC 的面积为 30，求平移后的直线 l2 的函数表达式．
解：（1）∵反比例函数的图象过点 A，点 A 的坐标是（6，2），
∴=2,即 k2＝12，
∴反比例函数的表达式为y= ，
∵反比例函数y= 的图象过点 B，B 的纵坐标是 -3，
∴y＝ -3 时，x＝ -4，
∴B（ -4， -3）．
由点 A、B 的坐标得，直线 l1 的表达式为y=x﹣1 ；
（2）-4＜x＜0 或 x＞6
（3）y=x+5
24．（12 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）、B（ 1，0），与y 轴交于点 C，且 OA＝OC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图①,在直线 AC 上方的抛物线上存在一点 M，使得 S△AMC＝6，求出 M 的坐标；
（3）若点 P 是该抛物线上位于直线 AC 下方的一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合），点 D 在抛物线对称轴上，点 Q 是平面内任意一点，当 B，P，D，Q 四点构成的四边形为正方形时，请直接写出 Q 点的坐标．
解：（1）∵A（3，0），OA＝OC，
∴C（0，3），
已知抛物线y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）、B（ 1，0），与y 轴交于点 C，将点 A，点 B，点 C 的坐标分别代入得：
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2 -4x+3；
（2）M（4，3）或 M（ -1，8）
（3）Q（3，0）或（，）或（，）
25．（12 分）（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC 和 AB 上，DF⊥AE 于点 O，求证：DF＝AE；
（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，将矩形 ABCD 折叠，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，点 A 落在BC 边上的点 E 处，折痕交边 AB 于 F，交边 CD 于 G，连接 AE 交 GF 于点 O；
①若=，且 tan∠CGP＝，GF＝2，求AE与CP 的长；
②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当 x2-2x -3＞0 时，我们可以利用配方法求出此时x 的取值范围．由题意可知 x2-2x+1 -4＞0，即（x -1）2＞4，显然此时x -1＞2 或x -1＜-2，所以 x＞3 或 x< -1．如图3，若BC＝6，AB＝10，请根据前述方法直接写出CH 的最大值及此时 FG 的长．
（1）证明：在正方形 ABCD 中，∵DF⊥AE
∴∠BAE+∠DAE=∠DAE+∠ADF＝90°
∴∠BAE=∠ADF
又∵∠DAF=∠ABE＝90°, AD＝AB
∴△ABE≌△DAF（ASA）
∴DF＝AE；
（2）①AE=3 CP=
②CH的最大值为 2，此时 BE=，AE＝，FG=2

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