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《相交线与平行线》精选压轴题—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2024七下·南京月考）如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，连接BD，如图：
，
∴CD∥EM ，∠ABD+∠CDB=180°，
的平分线与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
整理得：．
故答案为：C．
【分析】过点E作EM∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥EM，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠BEM及∠CDE=∠DEM，由二直线平行，同旁内角互补得∠ABD+∠CDB=180°，由角平分线定义及角和差得∠BED=(∠ABF+∠CDF)，从而结合三角形的内角和定理、角的构成及等式性质可推出∠ABF+∠CDF=360°-∠BFD，从而整体代入得出2∠BED+∠BFD=360°.
2．（2024七下·嵊州期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，由第一次折叠知，，，
，
；
由第二次折叠得，，
，，
则；
，
，
即，
．
故答案为：D．
【分析】如图，根据折叠的性质知∠3=∠4=∠5，再根据平行线的性质及补角的定义即可解答.
3．（2024七下·余姚期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）.折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠ABE＝∠CBE，则∠1为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．135°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠可知，2∠ABE+∠CBE＝180°，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴5∠CBE+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝30°，
∵BE∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBE＝150°，
由折叠可知，2∠DCE+∠1＝180°，
∵∠BCD＝∠1+∠DCE，
∴2（150°﹣∠1）+∠1＝180°，
∴∠1＝120°，
故选：C．
【分析】由折叠的性质得出2∠ABE+∠CBE＝180°，再根据平行线的性质得出∠BCD＝180°﹣∠CBE＝150°，再由折叠的性质得出2∠DCE+∠1＝180°，进而解答即可得出答案．
4．（2024七下·柯桥月考）如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠可得：，
，
．
，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，解题即可．
5．（2024七下·诸暨期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤：将一块含的直角三角尺如图放置，使得点，落于直线上，直角顶点位于两平行线之间；
步骤：将另一块含的直角三角尺进行放置，使得点落于直线上点在点的右边，边经过点，满足；
根据以上步骤，的度数可以是选项中的哪三项(　　)
；；；；；．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．
6．（2024七下·上城期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；平行公理；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
【分析】分3种情况画图，过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质解答即可．
二、填空题
7．（2024七下·温州期末）如图a，是长方形纸带（），，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的大小是　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在图中，由折叠可知，则，
即：
∴，
所以在图中．
故答案为∶．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质及同旁内角互补可知在图中，，图中，代入数据进行计算即可得解．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
8．（2023七下·苍南期末）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H 动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则靠背与水平地面的夹角　 　．如图3，打开时椅面 与地面平行，延长交于点H，平分．若，则　 　．
　　　 　　　
【答案】80；105
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：在图2中，∵，
∴，
又，
∴；
在图3中，∵，，
∴，
即，
又∵，
∴，
即，
即，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴，
即，
故答案为：80；105．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠CFG=∠BCE=150°，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得=∠CFG-∠ABO，从而代值计算可得答案；图3中，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和及已知推出∠FCE=∠AFH+105°，由二直线平行，内错角相等得∠DCO=∠ABO，根据邻补角及三角形的内角和定理可推出∠FCE=∠FAB+∠AFB，结合角平分线的定义可退出∠FAB+∠AFH=105°，从而根据三角形的外角和定理可得的度数.
9．（2024七下·义乌期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小：　 　．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为　 　．
【答案】；或
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点作，过点作，
，
，，
，，，，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
【分析】
（1）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等，得到，，，，再结合，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行内错角相等可得，由角平分线的概念可得，再由两直线平行内错角相等可得
当三角板平移至三角板左侧时，此时与互补，即等于，其它运算同上，可得．
三、解答题
10．（2024七下·嵊州期末）小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，、点A，B在直线上，点D，F在直线上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板向右平移．
①如图2，当点E落在线段上时，求的度数．
②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】解：问题解决：
①如图，过点E作，
，
，
，
，
；
②是定值，理由如下：
如图，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
故为定值；
思维拓展：s或s
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】思维拓展：
由题意得，
，
，
（ⅰ）如图，当时，延长交于点P，
①在上方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当在下方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
（不符合题意，舍去）；
（ⅱ）当时，延长交于点I，
①如图，在上方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②如图，在下方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
（不符合题意，舍去）；
综上所述，所有满足条件的t的值为s或s．
【分析】
问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；
②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解；
思维拓展：根据、的不同位置进行分类讨论：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求.
11．（2024七下·婺城期末）将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N．
【发现】
（1）如图1，若点A在内，当时，则 ；
（2）如图2，若点A在内，当时， ；
【探究】
若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由；
【应用】
如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数；
【拓展】
如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ．
【答案】【发现】（1）；
（2）；
【探究】∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即：，
【应用】
∵，
∴，
∵∠EPM+∠MPN+∠NPE=180°，
∴∠PMA+∠MPN+∠NPE=180°，
由（探究）知，，
∴∠PMA+∠MPN=180°－∠NPE=90°－∠PNA，
∵，
∴；
【拓展】270°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）解：∵是直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵是直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【拓展】∵，，
∴
∴
，
∴.
故答案为：．
【分析】（1）先判断出，再根据三角形的内角和定理可得出，再利用角的和差即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
【探究】利用三角形的内角和定理可得，再利用角的和差和直角三角形的性质即可得出结论；
【应用】由平行线的性质和平角的定义可得∠PMA+∠MPN+∠NPE=180°，由（探究）知，，等量代换可得180°－∠NPE=90°－∠PNA，代入∠PNA的值即可得到结论
【拓展】首先利用三角形的内角和定理和角的运算可证得，结合，即可得到结论．
12．（2024七下·上城期末）综合与实践．
活动主题 设计一款日常的多功能椅子
素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为．
素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角．
【答案】解：任务1：∵，，
∴，
∵，，
∴；
任务2：由题意，，，
如图，过F作，则，
∴，，
∴，
∴；
任务3：①如图，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②工作档时如图，已知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过25度．
【知识点】三角形内角和定理；平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】任务1：根据两直线平行，内错角相等得到∠GFC的度数，然后利用三角形的内角和解答即可；
任务2：过F作，则，利用平行线的性质可得，，然后根据角的和差解题即可；
任务3：①利用两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形的内角和解答；
②利用平行线的性质和三角形的内角和求出工作档时的，然后求差解题．
13．（2024七下·浦江期末）一、知识回顾
（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．
（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
二、知识应用
如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若点为的中点，的面积为8．
①求证：点是的中点．
②求的面积．
三、知识拓展
（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．
【答案】解：（1）由平移可得，，，；
（2）①证明：连结，由平移可知，，
，
，，
，
，
，即点是中点；
②连结，
是中点，
，
是中点，
，
；
（3）连结，
∵为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质及三角形内角和定理即可求解；
（2）①由平移性质可知，从而可证，可得，由此即可求证；
②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解；
（3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解．
14．（2024七下·合江月考）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、．
【探索发现】：
（1）如图1，当时，求证：；
【深入探究】：
（2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．
【答案】证明：（1）如图所示，过F作，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴设，
过点M作，
，
，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【知识点】平行公理及推论；三角形的外角性质；猪蹄模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）过F作，即可得到，然后利用两直线平行，内错角相等得到，，然后根据角的和差解题即可；
（2）设，根据平行得到，然后根据角的和差解题；
（3）过点M作，设，利用平行线的性质得到，，然后根据角的和差解题．

15．（2024七下·杭州期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
【答案】解：（1）小刚的证明过程如下：
如图2，
过点作，
∵，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ=∠PCD，
∵，
∴∠BAP=∠APQ，
∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ
∴∠ACP=∠BAP+∠PCD
小红的证明过程如下：
如图3，
延长交于点，
∵，
∴∠BAP=∠AMC，
∵∠APC=∠AMC+∠PCD，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD；
（2）证明：
∵∠AGE=∠GEP+∠APE，
又∵，
∴∠APE=∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：设HF与GP相交于点T，如图5所示，
平分，
∴，，
∵AC∥EF，
∴∠PAC=∠GPF=50°，
∵．∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，
∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG，
∴∠PEG=20°，
∴∠PGE=110°，
设∠PFC=2n，
平分，
，
，
，∠AEG=∠EGF，
∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°，
∴∠EGF=2n-20°，
∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-（2n-20°）=130°-2n，
∵∠AHF=∠AEG，
∴∠AHF=2n-20°，
∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-（130°-2n）-n=50°+n，∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°，
∴50°+n=2n+5°，
∴n=45°，
∴∠PFC=90°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；猪蹄模型
【解析】【分析】探索发现（1）：小刚的证明方法：先证，根据平行线的性质得，∠BAP=∠APQ，即可得出结论；小红的证明方法：根据得，再根据三角形的外角定理得，即可得出结论；
深入思考（2）：根据三角形的外角定理得，再根据已知条件可得，即可得出结论；
拓展延伸：设HF与GP相交于点T，根据，∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，可求得∠PEG=20°，设∠PFC=2n，结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT，∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案.
16．（2024七下·义乌期末）如图，将一张宽度相等的纸条按如图所示方式折叠，记点的对应点分别为，，折痕为，且交于点．
（1）若，则______度．
（2）如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数．
（3）如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数
【答案】（1）
（2）解：当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）解：补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
【分析】
（1）由折叠的性质可得等于等于，由两直线平行同位角相等可得等于，最后借助邻补角的概念即可求出的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，当向下翻折时，根据平行线的性质和折叠的性质可得当时，必然有，所以有，则可求，即的度数可求；当向上翻折时，同理有，显然等于的一半．
（3）由折叠的性质和平行线的性质，可得，即，则；由角平分线的概念和平行线的性质可得；再由三角形外角的性质可得；则；再由角平分线的概念可得，即可求出的度数．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．（2024七下·镇海区期末）如图，在四边形中，已知，．
（1）求证：；
（2）如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点P作，如图所示：
，
由（1）得，，
，
，
；
（3）解：过点N、F作，，如图所示：
，
．
平分、，
，，
不妨设，，，
，①
，
，，
，
，②
，
，
，
，
，
又，
，③
由①②③式可得，，即
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，等量代换得∠A+∠D=180°，从而由同旁内角互补，两直线平行即可证明结论；
（2）过P作PQ∥AB，由二直线平行，同旁内角互补得∠AEP+∠EPQ=180°，由平行于同一直线的两条直线平行得PQ∥CD，得到由二直线平行，同旁内角互补得∠QPF+∠DFP=180°，然后将两个等式相加并结合∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=90°，即可解答；
（3）过点N作NT∥AD，过点F作FS∥AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AD∥NT∥FS∥BC，由角平分线的定义可得∠NPF=∠CPF，∠MAB=∠NAB，设，，，根据平行的性质得到，即可解答．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点P作，如图1所示：
，
由（1）得，，
，
，
，
（3）解：过点N、F作，，如图所示：
，
．
平分、，
，，
不妨设，，，
，①
，
，，
，
，②
，
，
，
，
，
又，
，③
由①②③式可得，，即
18．（2024七下·越城期末）如图1，点分别在直线上，．
（1）求证：；（温馨提示：可延长交于点进行探索）
（2）如图2，已知平分，平分，若，探索与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，已知平分，点在射线上，，若．请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长交于点，先根据内错角相等，两直线平行得到，即可得到同位角相等，再根据等量代换得到，即可得到两直线平行；
（2）延长交于点，交于点，根据三角形外角可得，然后根据平行线的性质可得，即可得到，进而利用角平分线的定义得到解题即可；
（3）分为在直线下方时和当在直线上方两种情况作图，然后根据平行线性质和三角形外角性质、角平分线定义解答．
（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
19．（2023七下·杭州期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
（1）如图1，若，，则 ．
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，平分，交于点．
①若平分，求和的数量关系．
②若，，，直接写出的度数为 ．
【答案】（1）
（2）解：数量关系：，
证明：过点作，
，
，
，，
；
（3）解：①过点作，
，
，
，∠PHA=∠HAB，
．
又平分，平分，
，
由（2）可得
②
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：过点作，
，
，
，，
，
故答案为：；
（3）②，理由如下：
：，，，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）过点Q作QH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得QH∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠C=∠CQH=35°，∠A=∠HQA=22°，然以根据角的和差，由∠AQC=∠CQH+∠HQA列式计算可得答案；
（2）过点Q作MN∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD∥MN，由二直线平行，内错角相等得∠NQC=∠C，由二直线平行，同旁内角互补，得∠MQA=180°-∠A，然后根据平角的定义即可得出三个角之间的关系；
（3）①过H作PH∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PG，由二直线平行，内错角相等得∠PHC=∠HCD及∠PHA=∠HAB，由角的和差得∠AHC=∠HAB-∠HCD，由角平分线定义得∠HAB=∠QAB，∠HCD=∠QCD，从而代入可得∠HAB=(∠QAB-∠QCD)，结合（2）得结论即可得出答案；
②根据①的结论，利用角的关系解答即可．
20．（2024七下·北京市期中）已知直线，点A是直线上一个定点，点B在直线上运动．点H为平面上一点，且满足．设．
（1）如图1，当时，　　．
（2）过点H作直线l平分，直线l交直线于点C．
①如图2，当时，求的度数；
②当时，直接写出α的值．
【答案】（1）
（2）解：①延长与相交于点，如图4，
，平分，
，
，
，
∵
；
②Ⅰ如图4，∵
∴
由①知，
∴；
Ⅱ由图5，
∵
∴
∵平分，
∴，
；
Ⅲ由图6，
∵
∴
∵平分，
∴，
∴
Ⅳ由图7，
∵
∴
∵平分，
∴，
∴
∴；
综上，或或或165°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念；猪蹄模型；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：延长与相交于点，如图3，
∵，
，
，
，
．
【分析】
（1）延长与相交于点，根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形的外角解题即可；
（2）①延长与相交于点，利用角平分线得到的度数，利用三角形外角求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等解题；
②分为四种情况画图，利用角平分线的定义、平行线的性质解答即可．
21．（2024七下·温州期末）课题学行线的“等角转化”功能．
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作
，_________________．
__________________
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作．
（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。
②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．
【答案】（1）∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC
（2）证明：如图2，过C作CFAB， ，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CFAB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）解：①如图3，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②160
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（3）②如图4，过点E作EFAB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案为：160．
【分析】（1）过点A作ED∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，然后根据平角的定义及等量代换可得答案；
（2）过C作CFAB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CF∥DE，根据由二直线平行，同旁内角互补得到∠D+∠FCD＝180°，由二直线平行，内错角相等得∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥EF，由二直线平行，内错角相等得∠ABE＝∠BEF及∠CDE＝∠DEF，然后结合角平分线的定义及角的构成可得∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE＝50°，∠CDE＝30°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
（1）如图1，过点A作EDBC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（2）如图2，过C作CFAB，
，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CFAB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）①如图3，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②如图4，过点E作EFAB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案为：160．
1 / 1《相交线与平行线》精选压轴题—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2024七下·南京月考）如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则(　　)
A． B．
C． D．
2．（2024七下·嵊州期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·余姚期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）.折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠ABE＝∠CBE，则∠1为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．135°
4．（2024七下·柯桥月考）如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·诸暨期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤：将一块含的直角三角尺如图放置，使得点，落于直线上，直角顶点位于两平行线之间；
步骤：将另一块含的直角三角尺进行放置，使得点落于直线上点在点的右边，边经过点，满足；
根据以上步骤，的度数可以是选项中的哪三项(　　)
；；；；；．
A． B． C． D．
6．（2024七下·上城期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2024七下·温州期末）如图a，是长方形纸带（），，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的大小是　 　．
8．（2023七下·苍南期末）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H 动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则靠背与水平地面的夹角　 　．如图3，打开时椅面 与地面平行，延长交于点H，平分．若，则　 　．
　　　 　　　
9．（2024七下·义乌期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小：　 　．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为　 　．
三、解答题
10．（2024七下·嵊州期末）小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，、点A，B在直线上，点D，F在直线上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板向右平移．
①如图2，当点E落在线段上时，求的度数．
②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
11．（2024七下·婺城期末）将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N．
【发现】
（1）如图1，若点A在内，当时，则 ；
（2）如图2，若点A在内，当时， ；
【探究】
若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由；
【应用】
如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数；
【拓展】
如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ．
12．（2024七下·上城期末）综合与实践．
活动主题 设计一款日常的多功能椅子
素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为．
素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角．
13．（2024七下·浦江期末）一、知识回顾
（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．
（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
二、知识应用
如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若点为的中点，的面积为8．
①求证：点是的中点．
②求的面积．
三、知识拓展
（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．
14．（2024七下·合江月考）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、．
【探索发现】：
（1）如图1，当时，求证：；
【深入探究】：
（2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．
15．（2024七下·杭州期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
16．（2024七下·义乌期末）如图，将一张宽度相等的纸条按如图所示方式折叠，记点的对应点分别为，，折痕为，且交于点．
（1）若，则______度．
（2）如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数．
（3）如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数
17．（2024七下·镇海区期末）如图，在四边形中，已知，．
（1）求证：；
（2）如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小．
18．（2024七下·越城期末）如图1，点分别在直线上，．
（1）求证：；（温馨提示：可延长交于点进行探索）
（2）如图2，已知平分，平分，若，探索与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，已知平分，点在射线上，，若．请直接写出的度数．
19．（2023七下·杭州期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
（1）如图1，若，，则 ．
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，平分，交于点．
①若平分，求和的数量关系．
②若，，，直接写出的度数为 ．
20．（2024七下·北京市期中）已知直线，点A是直线上一个定点，点B在直线上运动．点H为平面上一点，且满足．设．
（1）如图1，当时，　　．
（2）过点H作直线l平分，直线l交直线于点C．
①如图2，当时，求的度数；
②当时，直接写出α的值．
21．（2024七下·温州期末）课题学行线的“等角转化”功能．
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作
，_________________．
__________________
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作．
（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。
②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，连接BD，如图：
，
∴CD∥EM ，∠ABD+∠CDB=180°，
的平分线与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
整理得：．
故答案为：C．
【分析】过点E作EM∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥EM，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠BEM及∠CDE=∠DEM，由二直线平行，同旁内角互补得∠ABD+∠CDB=180°，由角平分线定义及角和差得∠BED=(∠ABF+∠CDF)，从而结合三角形的内角和定理、角的构成及等式性质可推出∠ABF+∠CDF=360°-∠BFD，从而整体代入得出2∠BED+∠BFD=360°.
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，由第一次折叠知，，，
，
；
由第二次折叠得，，
，，
则；
，
，
即，
．
故答案为：D．
【分析】如图，根据折叠的性质知∠3=∠4=∠5，再根据平行线的性质及补角的定义即可解答.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠可知，2∠ABE+∠CBE＝180°，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴5∠CBE+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝30°，
∵BE∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBE＝150°，
由折叠可知，2∠DCE+∠1＝180°，
∵∠BCD＝∠1+∠DCE，
∴2（150°﹣∠1）+∠1＝180°，
∴∠1＝120°，
故选：C．
【分析】由折叠的性质得出2∠ABE+∠CBE＝180°，再根据平行线的性质得出∠BCD＝180°﹣∠CBE＝150°，再由折叠的性质得出2∠DCE+∠1＝180°，进而解答即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠可得：，
，
．
，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，解题即可．
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．
6．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；平行公理；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
【分析】分3种情况画图，过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质解答即可．
7．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在图中，由折叠可知，则，
即：
∴，
所以在图中．
故答案为∶．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质及同旁内角互补可知在图中，，图中，代入数据进行计算即可得解．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
8．【答案】80；105
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：在图2中，∵，
∴，
又，
∴；
在图3中，∵，，
∴，
即，
又∵，
∴，
即，
即，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴，
即，
故答案为：80；105．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠CFG=∠BCE=150°，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得=∠CFG-∠ABO，从而代值计算可得答案；图3中，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和及已知推出∠FCE=∠AFH+105°，由二直线平行，内错角相等得∠DCO=∠ABO，根据邻补角及三角形的内角和定理可推出∠FCE=∠FAB+∠AFB，结合角平分线的定义可退出∠FAB+∠AFH=105°，从而根据三角形的外角和定理可得的度数.
9．【答案】；或
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点作，过点作，
，
，，
，，，，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
【分析】
（1）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等，得到，，，，再结合，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行内错角相等可得，由角平分线的概念可得，再由两直线平行内错角相等可得
当三角板平移至三角板左侧时，此时与互补，即等于，其它运算同上，可得．
10．【答案】解：问题解决：
①如图，过点E作，
，
，
，
，
；
②是定值，理由如下：
如图，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
故为定值；
思维拓展：s或s
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】思维拓展：
由题意得，
，
，
（ⅰ）如图，当时，延长交于点P，
①在上方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当在下方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
（不符合题意，舍去）；
（ⅱ）当时，延长交于点I，
①如图，在上方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②如图，在下方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
（不符合题意，舍去）；
综上所述，所有满足条件的t的值为s或s．
【分析】
问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；
②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解；
思维拓展：根据、的不同位置进行分类讨论：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求.
11．【答案】【发现】（1）；
（2）；
【探究】∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即：，
【应用】
∵，
∴，
∵∠EPM+∠MPN+∠NPE=180°，
∴∠PMA+∠MPN+∠NPE=180°，
由（探究）知，，
∴∠PMA+∠MPN=180°－∠NPE=90°－∠PNA，
∵，
∴；
【拓展】270°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）解：∵是直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵是直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【拓展】∵，，
∴
∴
，
∴.
故答案为：．
【分析】（1）先判断出，再根据三角形的内角和定理可得出，再利用角的和差即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
【探究】利用三角形的内角和定理可得，再利用角的和差和直角三角形的性质即可得出结论；
【应用】由平行线的性质和平角的定义可得∠PMA+∠MPN+∠NPE=180°，由（探究）知，，等量代换可得180°－∠NPE=90°－∠PNA，代入∠PNA的值即可得到结论
【拓展】首先利用三角形的内角和定理和角的运算可证得，结合，即可得到结论．
12．【答案】解：任务1：∵，，
∴，
∵，，
∴；
任务2：由题意，，，
如图，过F作，则，
∴，，
∴，
∴；
任务3：①如图，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②工作档时如图，已知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过25度．
【知识点】三角形内角和定理；平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】任务1：根据两直线平行，内错角相等得到∠GFC的度数，然后利用三角形的内角和解答即可；
任务2：过F作，则，利用平行线的性质可得，，然后根据角的和差解题即可；
任务3：①利用两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形的内角和解答；
②利用平行线的性质和三角形的内角和求出工作档时的，然后求差解题．
13．【答案】解：（1）由平移可得，，，；
（2）①证明：连结，由平移可知，，
，
，，
，
，
，即点是中点；
②连结，
是中点，
，
是中点，
，
；
（3）连结，
∵为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质及三角形内角和定理即可求解；
（2）①由平移性质可知，从而可证，可得，由此即可求证；
②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解；
（3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解．
14．【答案】证明：（1）如图所示，过F作，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴设，
过点M作，
，
，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【知识点】平行公理及推论；三角形的外角性质；猪蹄模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）过F作，即可得到，然后利用两直线平行，内错角相等得到，，然后根据角的和差解题即可；
（2）设，根据平行得到，然后根据角的和差解题；
（3）过点M作，设，利用平行线的性质得到，，然后根据角的和差解题．

15．【答案】解：（1）小刚的证明过程如下：
如图2，
过点作，
∵，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ=∠PCD，
∵，
∴∠BAP=∠APQ，
∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ
∴∠ACP=∠BAP+∠PCD
小红的证明过程如下：
如图3，
延长交于点，
∵，
∴∠BAP=∠AMC，
∵∠APC=∠AMC+∠PCD，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD；
（2）证明：
∵∠AGE=∠GEP+∠APE，
又∵，
∴∠APE=∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：设HF与GP相交于点T，如图5所示，
平分，
∴，，
∵AC∥EF，
∴∠PAC=∠GPF=50°，
∵．∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，
∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG，
∴∠PEG=20°，
∴∠PGE=110°，
设∠PFC=2n，
平分，
，
，
，∠AEG=∠EGF，
∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°，
∴∠EGF=2n-20°，
∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-（2n-20°）=130°-2n，
∵∠AHF=∠AEG，
∴∠AHF=2n-20°，
∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-（130°-2n）-n=50°+n，∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°，
∴50°+n=2n+5°，
∴n=45°，
∴∠PFC=90°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；猪蹄模型
【解析】【分析】探索发现（1）：小刚的证明方法：先证，根据平行线的性质得，∠BAP=∠APQ，即可得出结论；小红的证明方法：根据得，再根据三角形的外角定理得，即可得出结论；
深入思考（2）：根据三角形的外角定理得，再根据已知条件可得，即可得出结论；
拓展延伸：设HF与GP相交于点T，根据，∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，可求得∠PEG=20°，设∠PFC=2n，结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT，∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案.
16．【答案】（1）
（2）解：当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）解：补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
【分析】
（1）由折叠的性质可得等于等于，由两直线平行同位角相等可得等于，最后借助邻补角的概念即可求出的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，当向下翻折时，根据平行线的性质和折叠的性质可得当时，必然有，所以有，则可求，即的度数可求；当向上翻折时，同理有，显然等于的一半．
（3）由折叠的性质和平行线的性质，可得，即，则；由角平分线的概念和平行线的性质可得；再由三角形外角的性质可得；则；再由角平分线的概念可得，即可求出的度数．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点P作，如图所示：
，
由（1）得，，
，
，
；
（3）解：过点N、F作，，如图所示：
，
．
平分、，
，，
不妨设，，，
，①
，
，，
，
，②
，
，
，
，
，
又，
，③
由①②③式可得，，即
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，等量代换得∠A+∠D=180°，从而由同旁内角互补，两直线平行即可证明结论；
（2）过P作PQ∥AB，由二直线平行，同旁内角互补得∠AEP+∠EPQ=180°，由平行于同一直线的两条直线平行得PQ∥CD，得到由二直线平行，同旁内角互补得∠QPF+∠DFP=180°，然后将两个等式相加并结合∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=90°，即可解答；
（3）过点N作NT∥AD，过点F作FS∥AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AD∥NT∥FS∥BC，由角平分线的定义可得∠NPF=∠CPF，∠MAB=∠NAB，设，，，根据平行的性质得到，即可解答．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点P作，如图1所示：
，
由（1）得，，
，
，
，
（3）解：过点N、F作，，如图所示：
，
．
平分、，
，，
不妨设，，，
，①
，
，，
，
，②
，
，
，
，
，
又，
，③
由①②③式可得，，即
18．【答案】（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长交于点，先根据内错角相等，两直线平行得到，即可得到同位角相等，再根据等量代换得到，即可得到两直线平行；
（2）延长交于点，交于点，根据三角形外角可得，然后根据平行线的性质可得，即可得到，进而利用角平分线的定义得到解题即可；
（3）分为在直线下方时和当在直线上方两种情况作图，然后根据平行线性质和三角形外角性质、角平分线定义解答．
（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
19．【答案】（1）
（2）解：数量关系：，
证明：过点作，
，
，
，，
；
（3）解：①过点作，
，
，
，∠PHA=∠HAB，
．
又平分，平分，
，
由（2）可得
②
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：过点作，
，
，
，，
，
故答案为：；
（3）②，理由如下：
：，，，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）过点Q作QH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得QH∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠C=∠CQH=35°，∠A=∠HQA=22°，然以根据角的和差，由∠AQC=∠CQH+∠HQA列式计算可得答案；
（2）过点Q作MN∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD∥MN，由二直线平行，内错角相等得∠NQC=∠C，由二直线平行，同旁内角互补，得∠MQA=180°-∠A，然后根据平角的定义即可得出三个角之间的关系；
（3）①过H作PH∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PG，由二直线平行，内错角相等得∠PHC=∠HCD及∠PHA=∠HAB，由角的和差得∠AHC=∠HAB-∠HCD，由角平分线定义得∠HAB=∠QAB，∠HCD=∠QCD，从而代入可得∠HAB=(∠QAB-∠QCD)，结合（2）得结论即可得出答案；
②根据①的结论，利用角的关系解答即可．
20．【答案】（1）
（2）解：①延长与相交于点，如图4，
，平分，
，
，
，
∵
；
②Ⅰ如图4，∵
∴
由①知，
∴；
Ⅱ由图5，
∵
∴
∵平分，
∴，
；
Ⅲ由图6，
∵
∴
∵平分，
∴，
∴
Ⅳ由图7，
∵
∴
∵平分，
∴，
∴
∴；
综上，或或或165°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念；猪蹄模型；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：延长与相交于点，如图3，
∵，
，
，
，
．
【分析】
（1）延长与相交于点，根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形的外角解题即可；
（2）①延长与相交于点，利用角平分线得到的度数，利用三角形外角求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等解题；
②分为四种情况画图，利用角平分线的定义、平行线的性质解答即可．
21．【答案】（1）∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC
（2）证明：如图2，过C作CFAB， ，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CFAB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）解：①如图3，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②160
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（3）②如图4，过点E作EFAB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案为：160．
【分析】（1）过点A作ED∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，然后根据平角的定义及等量代换可得答案；
（2）过C作CFAB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CF∥DE，根据由二直线平行，同旁内角互补得到∠D+∠FCD＝180°，由二直线平行，内错角相等得∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥EF，由二直线平行，内错角相等得∠ABE＝∠BEF及∠CDE＝∠DEF，然后结合角平分线的定义及角的构成可得∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE＝50°，∠CDE＝30°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
（1）如图1，过点A作EDBC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（2）如图2，过C作CFAB，
，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CFAB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）①如图3，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②如图4，过点E作EFAB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案为：160．
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