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广东省深圳实验学校初中部2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·深圳期中）若，则下列不等式变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·深圳期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战，截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·深圳期中）分式的值为，则的值是（　　）
A． B． C． D．或
4．（2024八下·深圳期中）下列因式分解中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·深圳期中）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024八下·深圳期中）如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
7．（2024八下·深圳期中）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·深圳期中）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　）
A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
9．（2024八下·深圳期中）如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．5
10．（2024八下·深圳期中）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（　　）
A．15 B．14 C．8 D．7
11．（2024八下·深圳期中）因式分解：x3-9x=　 　.
12．（2024八下·深圳期中）已知分式，若把的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为　 　（填数字）．
13．（2024八下·深圳期中）若点在第四象限，则m的取值范围是　 　．
14．（2024八下·深圳期中）如图，中，，将逆时针旋转，得到， 交 于 F，当时，点D 恰好落在上，此时的度数等于　 　．
15．（2024八下·深圳期中）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是　 　．
16．（2024八下·深圳期中）解分式方程：
（1）；
（2）．
17．（2024八下·深圳期中）先化简，再求值： ，从 ，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值.
18．（2024八下·深圳期中）如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）作出将向左平移4个单位，向上平移1个单位后得到的图形；
（2）作出关于原点成中心对称的图形；
（3）若将绕点A顺时针旋转，点C的对应点，则在旋转过程中，点C运动到的运动轨迹长度为______．
19．（2024八下·深圳期中）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10mL，无人机用药300mL喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450mL喷洒的农田面积相同．
（1）求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量 ．
（2）该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过360000元，则最少需采购A型号喷药无人机多少台？
20．（2024八下·深圳期中）如图，在中，于点E，于点F，
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
21．（2024八下·深圳期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：，，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1），则_______， _______；
（2）已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长．
（3）已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
22．（2024八下·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作直线，交轴于点．
（1）点的坐标为______；求直线的表达式；
（2）若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标；
（3）在（）的条件下，在平面内是否存在点，将线段绕沿逆时针方向旋转得到线段，当以四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故正确，不合题意；
B、∵，
∴，故正确，不合题意；
C、∵，
∴，故正确，不合题意；
D、∵，
∴，
∴，故错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、它是中心对称图形，∴A符合题意；
B、它不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、它不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、它不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为： A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式的值为，
且，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据分式值为0，有意义的条件即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据提公因式法、公式法因式分解即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵ 把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，
∴B（m+1，2+3），
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴m+1=2+3，
∴m=3.
故答案为：C.
【分析】根据点的坐标的平移规律“左减右加，上加下减”可得点B的坐标为（m+1，2+3），然后根据点B的横坐标与纵坐标相等建立方程，可求出m的值.
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵周长为，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
由题意得： ，
故答案为：A．
【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣1时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故答案为：A．
【分析】当一次函数y＝mx的图象在一次函数y＝kx+b的图象上方时，且都在x轴上方时，有0＜kx+b＜mx，结合函数图象即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义利用等量代换可得∠BEC＝∠BCE，再利用等角对等边的性质可得BC＝BE＝5，再利用勾股定理的逆定理证出∠AED＝90°，再结合CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
10．【答案】D
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x≤11
解不等式②，得x>a
∵不等式组至少有五个整数解
∴a<7
∴
∴
∵
∴
∴
∴，a为整数
又∵为整数
∴a可以取-1，3，5
∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7
故答案为：D.
【分析】求出不等式组的解集，结合不等式组至少有五个整数解可得a的范围，根据分式方程表示出y，根据分式方程的解为非负整数可得a的取值，然后求和即可.
11．【答案】x（x+3）（x-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解。
12．【答案】3
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴m+3＞0，m-1＜0，
∴，
故答案为：
【分析】根据象限内点坐标的特征结合题意即可得到m的取值范围。
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质可得：，，
∵，
∴
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用旋转的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接，取的中点，取中点，连接，
∴分别是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知三点共线，
点在上运动，
∴当时，最小，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴当点G与点重合时，最小，
设交于H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，取的中点，取中点，连接，则由三角形中位线定理，据此可得三点共线，则点在上运动，故当时，最小；再证明，由三线合一定理得到，则，即当点G与点重合时，最小，设交于H，则，求出，得到，利用勾股定理即可求出，即最小值为．
16．【答案】（1）解：方程两边同时乘，
得：，
化简，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：方程两边同时乘，得
，
化简，得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
17．【答案】解：原式
.
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝ ＝4.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求.
（2）解：如图，即为所求.
（3）．
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；旋转的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（3）由题意可得，点的坐标是.
由勾股定理得，，
∴在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为，
故答案为：
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）先利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长公式列出算式求解即可.
（1）解：如图，即为所求.
（2）如图，即为所求.
（3）由题意可得，点的坐标是.
由勾股定理得，，
∴在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为，
故答案为：
19．【答案】（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8．
答：最少需采购型号喷药无人机8台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为xml， 则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为mL，列出关于x 的分式方程即可解答；
（2）设采购m 台 A 型号喷药无人机，根据结合总价不超过360000元，可列出关于m的一元一次不等式，解出解集后求最小值即可.
（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8．
答：最少需采购型号喷药无人机8台．
20．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴；
（2）解：∵，∴
∴设，
∵，
∴，
在和中，利用勾股定理可得即
解得，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可；
（2）设，在和中，利用勾股定理可得，求出x值，AC=AE+EF+FC，=2x+2，把x值代入求出AC．
21．【答案】（1），1；
（2）解：由得：
，
， ，
，；
已知的三边长a 、b 、c都是正整数，由三角形三边关系知，
的周长为9．
（3）解： 由，
配方可得，
即，
，
，
三角形为等边三角形.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；等边三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：由：，得：
，
， ，
， ，
，．
故答案为：； 1．
【分析】（1）根据完全平方公式进行配方，再根据偶次方的非负性即可求出答案.
（2）根据完全平方公式进行配方，再根据偶次方的非负性可得a，b值，再根据三角形三边关系可得c，再根据三角形周长即可求出答案.
（3）根据完全平方公式进行配方，再根据偶次方的非负性可得， 再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：由：，得：
，
， ，
， ，
，．
故答案为：； 1．
（2）解：由得：
，
， ，
，；
已知的三边长a 、b 、c都是正整数，由三角形三边关系知，
的周长为9．
（3）解： 由，
配方可得，
即，
，
，
三角形为等边三角形.
22．【答案】（1）解：；
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵点为线段上一点，
∴设点的坐标为，
∵四边形的面积，
∴，
∴，
∴.
（3）解：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定；旋转的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）解：直线中，当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于，则，
由旋转得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：由旋转可得，，，
∴以四个点为顶点的平行四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
当点关于轴对称，如图，，点在轴上，
此时，点坐标为；
同理，当点关于轴对称，如图，，点在轴上，
此时，点坐标为；
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）过点作轴于，则，先利用“AAS”证出，可得，，从而可得点C的坐标；再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）过点作轴于，设点的坐标为，利用四边形的面积，列出方程，求出m的值，可得点E的坐标；
（3）分类讨论：①当点关于轴对称，如图，，点在轴上，②同理，当点关于轴对称，如图，，点在轴上，再分别画出图形并求出点P的坐标即可.
（1）解：直线中，当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于，则，
由旋转得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵点为线段上一点，
∴设点的坐标为，
∵四边形的面积，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由旋转可得，，，
∴以四个点为顶点的平行四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
当点关于轴对称，如图，，点在轴上，
此时，点坐标为；
同理，当点关于轴对称，如图，，点在轴上，
此时，点坐标为；
综上，点的坐标为或．
1 / 1广东省深圳实验学校初中部2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·深圳期中）若，则下列不等式变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故正确，不合题意；
B、∵，
∴，故正确，不合题意；
C、∵，
∴，故正确，不合题意；
D、∵，
∴，
∴，故错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八下·深圳期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战，截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、它是中心对称图形，∴A符合题意；
B、它不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、它不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、它不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为： A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2024八下·深圳期中）分式的值为，则的值是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式的值为，
且，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据分式值为0，有意义的条件即可求出答案.
4．（2024八下·深圳期中）下列因式分解中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据提公因式法、公式法因式分解即可求出答案.
5．（2024八下·深圳期中）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵ 把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，
∴B（m+1，2+3），
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴m+1=2+3，
∴m=3.
故答案为：C.
【分析】根据点的坐标的平移规律“左减右加，上加下减”可得点B的坐标为（m+1，2+3），然后根据点B的横坐标与纵坐标相等建立方程，可求出m的值.
6．（2024八下·深圳期中）如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵周长为，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，即可求出答案.
7．（2024八下·深圳期中）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
由题意得： ，
故答案为：A．
【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
8．（2024八下·深圳期中）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　）
A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣1时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故答案为：A．
【分析】当一次函数y＝mx的图象在一次函数y＝kx+b的图象上方时，且都在x轴上方时，有0＜kx+b＜mx，结合函数图象即可求出答案.
9．（2024八下·深圳期中）如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义利用等量代换可得∠BEC＝∠BCE，再利用等角对等边的性质可得BC＝BE＝5，再利用勾股定理的逆定理证出∠AED＝90°，再结合CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
10．（2024八下·深圳期中）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（　　）
A．15 B．14 C．8 D．7
【答案】D
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x≤11
解不等式②，得x>a
∵不等式组至少有五个整数解
∴a<7
∴
∴
∵
∴
∴
∴，a为整数
又∵为整数
∴a可以取-1，3，5
∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7
故答案为：D.
【分析】求出不等式组的解集，结合不等式组至少有五个整数解可得a的范围，根据分式方程表示出y，根据分式方程的解为非负整数可得a的取值，然后求和即可.
11．（2024八下·深圳期中）因式分解：x3-9x=　 　.
【答案】x（x+3）（x-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解。
12．（2024八下·深圳期中）已知分式，若把的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为　 　（填数字）．
【答案】3
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
13．（2024八下·深圳期中）若点在第四象限，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴m+3＞0，m-1＜0，
∴，
故答案为：
【分析】根据象限内点坐标的特征结合题意即可得到m的取值范围。
14．（2024八下·深圳期中）如图，中，，将逆时针旋转，得到， 交 于 F，当时，点D 恰好落在上，此时的度数等于　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质可得：，，
∵，
∴
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用旋转的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可.
15．（2024八下·深圳期中）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接，取的中点，取中点，连接，
∴分别是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知三点共线，
点在上运动，
∴当时，最小，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴当点G与点重合时，最小，
设交于H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，取的中点，取中点，连接，则由三角形中位线定理，据此可得三点共线，则点在上运动，故当时，最小；再证明，由三线合一定理得到，则，即当点G与点重合时，最小，设交于H，则，求出，得到，利用勾股定理即可求出，即最小值为．
16．（2024八下·深圳期中）解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：方程两边同时乘，
得：，
化简，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：方程两边同时乘，得
，
化简，得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
17．（2024八下·深圳期中）先化简，再求值： ，从 ，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值.
【答案】解：原式
.
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝ ＝4.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
18．（2024八下·深圳期中）如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）作出将向左平移4个单位，向上平移1个单位后得到的图形；
（2）作出关于原点成中心对称的图形；
（3）若将绕点A顺时针旋转，点C的对应点，则在旋转过程中，点C运动到的运动轨迹长度为______．
【答案】（1）解：如图，即为所求.
（2）解：如图，即为所求.
（3）．
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；旋转的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（3）由题意可得，点的坐标是.
由勾股定理得，，
∴在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为，
故答案为：
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）先利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长公式列出算式求解即可.
（1）解：如图，即为所求.
（2）如图，即为所求.
（3）由题意可得，点的坐标是.
由勾股定理得，，
∴在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为，
故答案为：
19．（2024八下·深圳期中）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10mL，无人机用药300mL喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450mL喷洒的农田面积相同．
（1）求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量 ．
（2）该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过360000元，则最少需采购A型号喷药无人机多少台？
【答案】（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8．
答：最少需采购型号喷药无人机8台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为xml， 则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为mL，列出关于x 的分式方程即可解答；
（2）设采购m 台 A 型号喷药无人机，根据结合总价不超过360000元，可列出关于m的一元一次不等式，解出解集后求最小值即可.
（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8．
答：最少需采购型号喷药无人机8台．
20．（2024八下·深圳期中）如图，在中，于点E，于点F，
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴；
（2）解：∵，∴
∴设，
∵，
∴，
在和中，利用勾股定理可得即
解得，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可；
（2）设，在和中，利用勾股定理可得，求出x值，AC=AE+EF+FC，=2x+2，把x值代入求出AC．
21．（2024八下·深圳期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：，，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1），则_______， _______；
（2）已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长．
（3）已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），1；
（2）解：由得：
，
， ，
，；
已知的三边长a 、b 、c都是正整数，由三角形三边关系知，
的周长为9．
（3）解： 由，
配方可得，
即，
，
，
三角形为等边三角形.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；等边三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：由：，得：
，
， ，
， ，
，．
故答案为：； 1．
【分析】（1）根据完全平方公式进行配方，再根据偶次方的非负性即可求出答案.
（2）根据完全平方公式进行配方，再根据偶次方的非负性可得a，b值，再根据三角形三边关系可得c，再根据三角形周长即可求出答案.
（3）根据完全平方公式进行配方，再根据偶次方的非负性可得， 再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：由：，得：
，
， ，
， ，
，．
故答案为：； 1．
（2）解：由得：
，
， ，
，；
已知的三边长a 、b 、c都是正整数，由三角形三边关系知，
的周长为9．
（3）解： 由，
配方可得，
即，
，
，
三角形为等边三角形.
22．（2024八下·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作直线，交轴于点．
（1）点的坐标为______；求直线的表达式；
（2）若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标；
（3）在（）的条件下，在平面内是否存在点，将线段绕沿逆时针方向旋转得到线段，当以四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：；
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵点为线段上一点，
∴设点的坐标为，
∵四边形的面积，
∴，
∴，
∴.
（3）解：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定；旋转的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）解：直线中，当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于，则，
由旋转得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：由旋转可得，，，
∴以四个点为顶点的平行四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
当点关于轴对称，如图，，点在轴上，
此时，点坐标为；
同理，当点关于轴对称，如图，，点在轴上，
此时，点坐标为；
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）过点作轴于，则，先利用“AAS”证出，可得，，从而可得点C的坐标；再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）过点作轴于，设点的坐标为，利用四边形的面积，列出方程，求出m的值，可得点E的坐标；
（3）分类讨论：①当点关于轴对称，如图，，点在轴上，②同理，当点关于轴对称，如图，，点在轴上，再分别画出图形并求出点P的坐标即可.
（1）解：直线中，当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于，则，
由旋转得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵点为线段上一点，
∴设点的坐标为，
∵四边形的面积，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由旋转可得，，，
∴以四个点为顶点的平行四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
当点关于轴对称，如图，，点在轴上，
此时，点坐标为；
同理，当点关于轴对称，如图，，点在轴上，
此时，点坐标为；
综上，点的坐标为或．
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