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湖北省“新八校”协作体2025届高三下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是无穷数列，，则“对任意的，，都有”是“是等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，圆，动圆与圆，圆都相切，若动圆圆心的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则下列可能成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，分别是事件，的对立事件，下列命题正确的有( )
A. 若互斥，则
B. 若，则
C. 若相互独立，则
D. 若互斥，则不相互独立
10.在棱长为的正方体中，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则( )
A. 与为异面直线
B. 与所成的角为
C. 平面截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D. ，则点轨迹长度为
11.已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点则( )
A. 当时，切线的方程为 B. 当时，的面积为
C. 点的坐标为 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 ．
13.已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为，则的值等于 ．
14.如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足，的跳跃方法有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角所对的边分别为，若，
若，为内的一点，且，，求
求角的最大值．
16.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
当时，求曲线在点处的切线方程
若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为，甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为，在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响．
若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率
如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止设停止游戏时进行了轮游戏，求证：．
18.本小题分
把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长，，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为上的中点，为直线上的动点，为过点的下底面的一条动弦不与重合．
求证：平面．
若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，试求出的最小值．
求三棱锥的体积的取值范围．
19.本小题分
已知数列，其中，且若数列满足，，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”例如，数列的所有“调节数列”为或者或者或者．
直接写出数列的所有“调节数列”
若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和
已知数列满足：，，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，，
故，
所以，
又，所以，
又，
则，，
，且在内，
，，
，，
则
；
由知，
由余弦定理得，，即，
又
，
当且仅当等号成立，
．
16.解：当时，，
，
则，，
所以切线方程为：，即；
当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，
令，，
则，
令，，
当时，因为，则，
可知：在上单调递减，则，
则在上单调递减，
所以，即恒成立，
所以符合题意；
当时，令，则，
当时，，则单调递增；
此时，则在上单调递增，
所以，
即当时，，即不恒成立，
可知不合题意，
综上所述，实数的取值范围为．
17.解：设“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”，
“甲乙在第轮活动中都答对”，，
则
，
，
证明：第二轮甲答对的概率为，
第二轮乙答对的概率为，
依此类推得到，，
每一轮甲乙都答错的概率为，
因此，
则，
所以，
得，
所以．
18.解：证明：由题设，长轴，短轴长，
则，
所以分别是中点，而柱体中四边形为正方形，连接，
由，，
故四边形为平行四边形，则，
当为的中点时，则，故，
面，面，
故平面
由题意知，令，，则，又，
所以，，
则，
因为，
当且仅当，即上式取等号，
所以的最小值是；
由，
正方形中为中点，易得与重合时与垂直，此时，，
则最大值为，
构建如图直角坐标系，且，椭圆方程为，
设：，联立椭圆得，且，
所以，，
而，
所以，
令，
则，
由令，我们知道在上递增，
故
由，
综上，．
19.解：
；
因为 ， ，
由题意 共 个数，
而共有 项，则“调节数列”共有 种情况，
不妨设
则 ，
则 ，
依此类推
则 ，
故
；
依题意，对任意
有 或 ， 或 ，
因为 均为递增数列，所以 ，
即同时满足： ，
，
，
，
因为 为递增数列，因此和恒成立．
又因为 为整数数列，
对于， 也恒成立．
对于，一方面，由 ，得 ，即 ．
另一方面，，
所以 ，
即从第项到第 项是连续的正整数，
所以 ， ，
因此 ，
故共有 种不同取值，即所有符合条件的数列 共有 个
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