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内蒙古自治区赤峰市多校联考2025届高三下学期5月模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别是，，，且，，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定的
4.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若函数恰有个零点，则的取值茫围为( )
A. B. C. D.
7.在体积为的三棱锥中，，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.出租车几何，又称曼哈顿距离 ，最早由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为已知点，，动点满足，是直线：上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：的焦点为，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则( )
A. B. 数列是等差数列 C. 点的坐标为 D.
10.将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则( )
A. 为偶函数 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点对称 D. 在上的最大值为
11.定义对于集合中的任意两个元素，，定义，，若，则称具有对称性．下列判断正确的是
A.
B. 若，则不具有对称性
C. 对于任意，，且，恒成立
D. 集合中不存在三个互不相等的元素，，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数的实部为，则的最大值为 ．
13.若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为__________．
14.小张连续天去快递店拿快递的个数依次为，，，，，，，，若从这组数据中随机删除个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，均为等比数列，且，．
证明：为定值．
求数列的前项和．
16.本小题分
甲、乙、丙三人各自计划去呼和浩特市旅游，他们在月日到月日这三天中的一天到达呼和浩特市，他们在哪一天到达呼和浩特市相互独立，且他们各自在月日到月日到达呼和浩特市的概率如下表所示：
到达日期 月日 月日 月日
若甲、乙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为，乙、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为，甲、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为比较，，的大小；
设甲、乙、丙三人中在月日当天到达呼和浩特市的人数为，求的分布列与期望．
17.本小题分
如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，．

求该五棱柱的体积．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间．
已知集合，且若不等式对恒成立，证明：．
证明：．
19.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，且过点．
求的方程．
过点的直线斜率存在且不为与交于，两点，关于轴的对称点为．
(ⅰ)证明：直线过定点．
(ⅱ)记直线过的定点为，过点作直线的垂线，垂足为，试问是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：证明：设数列的公比为，数列的公比为
依题意可得的公比为，的公比为，
所以，，
则，故为定值．
由，
故
．

16.解：根据全概率公式可得，
，
，
．
因为，所以，故．
的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
则的分布列为
故．

17.【详解】因为为等腰直角三角形，，所以，且，
因为四边形为正方形，所以
在直五棱柱中，底面，
所以该五棱柱的体积；
在直五棱柱中，底面，
因为底面，则，
因为，所以，
因为且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面
由题意可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面的法向量为，则，
即，取，则
，
故直线与平面所成角的正弦值为．


18.解：当时，，则．
当时，，当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
证明：若不等式对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立．
设，则．
因为，且，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
故，即．
证明：要证，
只需证，
即证．
由知在上单调递增，且当时，，，
所以只需证．
设，则，为增函数，
所以，则得证，
从而得证．

19.解：据题意可得，解得
所以的方程为；
证明：设直线的方程为，，，则，
由，得，显然，
从而得，，
直线的方程为，
根据曲线的对称性可知，若过定点，定点一定在轴上，
对于，令，则，
因为，，所以，，
从而
，
故直线过定点
(ⅱ)由(ⅰ)得，
，
因为，所以，
所以
因为，从而不存在最小值．
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