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南安市2024－2025学年度初中毕业班教学质量监测
初三年数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
学校 班级 姓名 考号
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在 2，0，2，这四个数中，最小的数是
A． B．0 C．2 D． 2
2．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是
A． B．
C． D．
3．南安市位于福建省东南沿海，与台湾隔海相望，是全国著名侨乡和台胞主要祖籍地之一．据统计南安籍海外乡亲及港澳台同胞总数达400万人．数据400万用科学记数法表示为
A．4×106 B．4×105 C．40×105 D．0.4×107
4．为估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么AB间的距离不可能是
A．14 m B．16 m
C．28 m D．32 m
5．下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为
A． B．
C． D．
7．“来南安，会成功”是南安市依托深厚历史文化和多元旅游资源打造的城市品牌．某校计划组织九年级学生开展研学活动，陈老师随机抽取部分学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图所示的统计图（不完整）．
根据统计图提供的信息，下列判断错误的是
A．这次调查的样本容量是60
B．被调查的学生中，想去蔡氏古民居的人数最多
C．被调查的学生中，想去叶飞故居的学生有15人
D．该校九年级600名学生中，估计想去九日山的学生大约有200人
8．如图，AD是的直径，若∠B=40°，则∠DAC的度数为
A．20° B．40°
C．50° D．60°
9．《孙子算经》中记载“分田之术”，强调通过分割与重组几何图形以简化面积计算．现有一田地形如矩形，如图，在矩形ABCD中，两条等宽的平行四边形田埂交错，且EF=GH=1．若田埂与矩形两组对边所夹锐角为θ，当θ增大时，重叠部分四边形PQMN的面积
A．变大 B．变小
C．不变 D．先变大后变小
10．已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(2 2m，c)，点B (m 4，n)，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当0≤x≤4时，y的最小值也为w，则m的取值范围为
A． 3≤m<1 B． 3≤m≤1
C． 3≤m≤2 D． 3≤m<2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．分解因式：　 　　 　．
12．已知，则的值是　 　　 　．
13．课标明确规定把学生学会炒菜纳入了劳动教育课程．若九（1）班第一小组5名学生会炒菜的种数依次为：3，2，6，4，3，则这组数据的中位数是　 ．
14．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的角∠BOD=88°，要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少需旋转 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，将等腰△OAB沿腰AB翻折至△O'AB，O'A与反比例函数的图象交于点C．若∠OAB=30°，C为O'A的中点，则点O'的坐标为 ．
16．在等腰△ABC中，∠A=120°，AB=4，点O是△ABC的角平分线BD上的一点，半径为1的经过点B，将沿BD方向平移，当与△ABC的边相切时，平移的距离是　 　．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程组：．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，，连接AE、AF．求证：AE=AF．
20．（8分）为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识．
（1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是 　．
（2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．
21．（8分）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）．
（1）求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量．
（2）为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？
22．（10分）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如{2，2，3}需写成{2，3}，重复元素被视为一个元素．若有限集合S={x1，x2，…，xk}（，k为正整数）中的元素满足x1+x2+…+xk=x1 × x2 ×…× xk，则称S为“平衡集合”．
（1）判断：集合{， 1}是否是“平衡集合”，并说明理由；
（2）x1、x2是两个不同的正数，且{ x1，x2 }是“平衡集合”，求证：x1、x2至少有一个大于2．
23．（10分）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的5G通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值．
任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力5G信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有22.5°角的直角三角形ABC，如图1．请结合尺规作图，求tan22.5°的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法）
任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形ABC区域中，AB=100米，AN、CM为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若AM=BN=a米，求当a取何值时，通信线路AN+CM的长度有最小值．
24．（13分）如图，在矩形中，AB=12，动点P在AB边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在BC边上从点B向C运动．把ΔPBQ沿着直线PQ翻折，点B的对应点为点G，直线QG与AD边相交于点E．
（1）如图1，若点P为AB的中点，连接PE，求证：△PAE≌△PGE．
（2）如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，
当t为何值时，点G恰好在直线AD上
（3）如图3，连结BE，BE交PQ于点F，若且AE＝9，求点Q的
运动速度．
图1 图2 图3
25．（13分）已知：抛物线C1: y＝a(x－h)2 + 2h（a≠0，h≥1），其顶点为A，且与y轴交于点B(0, 1)，将抛物线C1沿直线y＝－1翻折，得到抛物线C2．
（1）当h＝1时，
①求抛物线C1的解析式，并直接写出顶点A的坐标．
②点D在抛物线C1上，延长AD至E使得AE＝2AD，若点E落在抛物
线C2上，求D的坐标．
（2）动点M在抛物线C1 的对称轴x＝h上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交C1于点P（P在对称轴左侧），交C2于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若MQ＝MP时，求h的值．
（备用图）
初三年数学试题 第 7 页 （共 8 页）南安市2024－2025学年度初中毕业班教学质量监测
初三年数学参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一步没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
（四）评分最小单位是1分，得分或扣分都不出现小数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．D； 2．A； 3．A； 4．D； 5．B；
6．B； 7．D； 8．C； 9．A； 10．C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．； 12．； 13．3；
14．18； 15．； 16．或．
三、解答题（共86分）
17．（本题8分）
解：原式 6分
8分
18．（本题8分）
解：
，得， 3分
把代入，得， 6分
∴． 8分
19．（本题8分）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，， 2分
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）． 6分
∴AE=AF． 8分
20．（本题8分）
解：（1）； 3分
方法一：根据题意，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两张卡片都是化学变化的有2种，两张卡
片都是物理变化的有1种， 5分
∴P（两次抽出的卡片均为化学变化）． 6分
P（两次抽出的卡片均为物理变化）． 7分
∵，
∴这个规则对于小南和小安不公平． 8分
方法二：
根据题意，列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两张卡片都是化学变化的有2种，两张卡片都是物理变化的有1种， 5分
∴P（两次抽出的卡片均为化学变化）． 6分
P（两次抽出的卡片均为物理变化）． 7分
∵，
∴这个规则对于小南和小安不公平． 8分
21．（本题8分）
解：（1）设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，由题意得：
， 2分
解得：
经检验：是原方程的解，且符合题意 3分
∴，
答：一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤． 4分
（2）设果园还需要y个人挑担，由题意得：
， 6分
解得：y≥ 7分
∵y为正整数，∴y的最小值为9．
答：果园至少还需要9个果农挑担． 8分
22．（本题10分）
解：（1）因为，，
所以{， 1}是“平衡集合”； 4分
方法一：
若x1、x2是两个不同的正数，且{x1，x2}是“平衡集合”，
则x1+x2 =x1x2，
设x1+x2 =x1x2=t（t >0）， 6分
根据根与系数关系可知x1，x2相当于方程的两根， 7分
由于，解得或（舍），
∴, 9分
所以x1、x2至少有一个大于2． 10分
方法二：
若x1、x2是两个不同的正数，且{x1，x2}是“平衡集合”，
则x1+x2 =x1x2，
设x1+x2 =x1x2=t（t >0）， 6分
根据根与系数关系可知x1，x2相当于方程的两根， 7分
由于，解得或（舍），所以， 8分
又x1，x2均为正数，设x1>x2>0，则，则x1>2
所以x1、x2至少有一个大于2． 10分
23．（本题10分）
解：任务一：
方法一：如图所示， 2分
作AC的垂直平分线交AB于点D，
则AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠CDB=2∠A=45 ， 3分
设BC=x，则CD=AD=，
∴AB=， 4分
∴tan22.5 = ． 5分
方法二：
如图所示， 2分
过点A作∠CAE=∠BAC，交BC延长线于点E，
则AC为∠BAE的角平分线，∠BAE=2∠BAC=45 ，
∴∠E=45 ， 3分
过点C作CF⊥AE于点F，
∴BC=CF，△CEF为等腰直角三角形，
设BC=x，则CF=x，CE=，
∴AB=BE=BC+CE=， 4分
∴tan22.5 =． 5分
方法三：
如图所示， 2分
作AB的垂直平分线分别交AC、AB于点G、H，则AG=BG，
∴∠A=∠ABG，∴∠BGC=2∠A=45 ，
∴∠CBG=90 ∠ABG=67.5 ，
又∠BCG=180 ∠BGC ∠CBG=67.5 ，
∴∠BCG=∠CBG，∴BG=CG， 3分
过点C作CM⊥BG于点M，
∴△CMG为等腰直角三角形，
∴∠BCM=∠BCG ∠GCM=22.5 ，
设CM=MG=x，则CG=，
∴BG=CG =，
∴BM=BG GM=， 4分
∴tan22.5 =． 5分
任务二：如图，
在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，
过点B作BD⊥BC，使得BD=BA， 6分
∵AM=BN，又∠BAC=∠DBC=90 ，
∴△ACM≌△BDN，
∴CM=DN， 7分
∴AN+CM=AN+DN，
则当A、N、D三点共线时，如图所示：
当BN=BN' 时，AN+DN有最小值AD， 8分
过点A作AE⊥DB交DB的延长线于点E，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∵AB=BD，∠ABE=45 ，
∴∠BDN' =∠ABE=22.5 ， 9分
∴BN'=BD·tan22.5 =米，
即当a=时，通信线路AN+CM取得最小值． 10分
24．（本题13分）
解：（1）∵点P为AB的中点，
　　　 ∴PA＝PB， 1分
在矩形中，AB=12，
　　　 ∴∠PAE＝∠PBQ＝90°，
　　　 ∵ΔPBQ沿着直线PQ翻折，点B的对
应点为点G，
∴∠PGQ＝∠PBQ＝90°，PG＝PB，
∴PA＝PG， 2分
在RtΔPAE和RtΔPGE中，
PA＝PG，PE＝PE，
∴RtΔPAE≌RtΔPGE（HL）， 3分
（2）过点Q作QH⊥AD于点H，如图2，
则∠QHG＝∠PAG＝∠PGQ＝90°，
∴∠PGA+∠APG＝∠PGA+∠QGH＝90°， 4分
∴∠APG ＝∠HGQ，
∴ ΔAPG∽ΔQGH， 5分
∴，
∵点Q的运动速度是P运动速度的3倍，
∴PB＝t，BQ＝3t，
∴PG＝PB＝t，GQ＝BQ＝3t， 6分
∴，
∴AG＝4即AP，HG ，
∴ 解得:， 7分
∴当时，点G恰好在直线AD上． 8分
（3）连结GF，
∵BE∥PG　∴， 9分
由翻折可知：，BP＝GP，
∴，∴ BP＝BF＝GP，
∵BE∥PG，
∴ BF∥PG，BFPG 又BP＝GP，
∴四边形BPGF为菱形， 10分
∴GF＝BP＝t，BP∥FG，
在RtΔABE中，∠BAE＝90°，
∴BE＝， 11分
∴EF＝15－t，
∵BP∥FG, ∴∠GFE=∠ABE又∠FEG=∠BAE＝90°，
∴ΔFGE∽ΔBEA得： 即,
解得，EG＝5，， 12分
设BQ＝,则QE=，
在RtΔBEQ中，，即，
解得=25，
∵，
∴点Q的运动速度是每秒3个单位长度． 13分
25．（本题13分）
解：（1）①当h = 1时，抛物线C1为y = a(x－1)2 + 2， 1分
∵抛物线C1与y轴交于点B(0, 1)，
∴1 = a(0－1)2 + 2，
解得: a =－1， 2分
∴抛物线C1的解析式为：y =－(x－1)2 + 2， 3分
∴顶点A 的坐标为 (1, 2) ． 4分
②由①可知：抛物线C1的解析式为：y =－(x－1)2 + 2，顶点A(1, 2) ；
∴翻折后C2的顶点(1,－4) ，解析式为y =(x－1)2 －4， 5分
设点D(x,－(x－1)2 + 2)，
∵AE = 2AD，即D是A与E 的中点，
∴E(2x－1, 2[－(x－1)2 + 2]－2) ，即E (2x－1,－2(x－1)2 + 2)， 6分
将E(2x－1, －2(x－1)2 + 2)代入C2:y =(x－1)2－4，得：
－2(x－1)2 + 2 = (2x－2)2－4， 7分
解得：x 1= 0 , x2 = 2，
∴D(0, 1) 或D(2, 1)， 8分
（第（1）②题图） （第（2）题图）
（2）∵点P与点B(0, 1)重合，且MP⊥ y轴交对称轴x = h于点M，
∴M(h,1) 即MP=MB=h， 9分
∵MQ=MP=h，
∴ Q， 10分
由翻折可知：抛物线C2的解析式为：y =－a(x－h)2 －2h－2，
∵点Q在抛物线C2上，
∴，即，① 11分
又点B(0, 1)在抛物线C1上，
∴a(0－h)2 +2h=1，即，② 12分
把②代入①得 ∴，
解得:． 13分
初三数学答案 第8页 （共9页）

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