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宁夏中卫市2025届高三二模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知点是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6.若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为，则球的表面积是( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B.
C. D.
8.是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为： ．
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，函数，则下列说法正确的有( )
A. 当时，函数为增函数
B. 点为函数图象的对称中心
C. 存在，使得函数有且仅有一个极值点
D. 函数至少有一个零点
10.在中，，，，的角平分线交于，则( )
A. 是钝角三角形 B.
C. D.
11.下列说法中正确的是( )
A. 一个样本的平均数为，若添加一个新数据组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B. 在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C. 数据，，，，，，，，，，的极差为，则这组数据的第百分位数为
D. 已知随机变量，且，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为 ．
13.函数在上的值域为 ．
14.在甲乙丙丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在成等比数列，，数列的前项和为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知等差数列的前项和为，公差，且__________
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.本小题分
某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 合计
男生人数
女生人数
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次及次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题以样本频率估计概率，在全校抽取名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和
若将一周参加体育锻炼次或次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的名“运动爱好者”中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
17.本小题分
如图，在梯形中，为线段上靠近点的三等分点，将沿着折叠，得到四棱锥，使平面平面为线段上的点．
求证：；
是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
判断函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围；
求证：，．
19.本小题分
已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为．
求的方程；
过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
(ⅰ)若，求直线的斜率
(ⅱ)设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形
参考答案
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15.解：若选：由题意有，则，解得，又，
所以．
若选：由得，解得，又，
所以．
若选：，
由题意得，解得，又，
那么，
所以数列的通项公式．
解：由得，
所以
．
16.解：（1）22列联表
零假设为:性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算
===3.590>2.706，
根据小概率值=0.1的独立性检验,推断不成立,
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1；
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,
随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率p==，
X~B(20,)，
故E(X)=20=，
D(X)=20=；
(3)10名“运动爱好者”有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布:
P(Y=0)==,P(Y=1)===，
P(Y=2)===,P(Y=3)===，
故Y的分布列为：
E(Y)==2.1.
17.，故为等腰直角三角形，
，故．
在中，，，
故，，
平面平面，平面平面平面，
故平面，平面，故，
又平面，故平面，
又平面，故．
存在，，理由如下：
如图，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴，
以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则．
设，，则，，
设平面的法向量为，则
令，则，，
设直线与平面所成的角为，
则，解得，舍，
故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，则．
18.由，，
则，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
由题意，对定义域内，都有恒成立，
由知，当时，函数在上单调递增，
而时，，此时不恒成立；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，解得．
综上所述，的取值范围为．
由知，当时，恒成立，
即，当且仅当时等号成立，
令，，则，
故，
则，
故．
19.解：由：知其焦点的坐标为，也是椭圆的一焦点，
，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，，联立，，得，，故的方程为；如图，，，，，
与同向，且，，从而，即，于是，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而，是这个方程的两根，，，由得，而，是这个方程的两根，，，将带入，得，即，
，解得，即直线的斜率为．

由得，在点处的切线方程为，即
，令，得，即，，而，于是
，因此是锐角，从而是钝角，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形．

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