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2024-2025学年深圳市福田区第一学期八年级期末数学模拟试卷
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
2. 下列因式分解正确的是（　　 ）
A． B．
C． D．
3. 如果，那么下列各式中正确的是（　 　）
A. B. C. D.
如果点在平面直角坐标系的第三象限内，
那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，
若，，则的长是（ ）

A．3.5 B．3 C．2 D．1
7. 若分式方程无解，则的值是（ ）
A. 3或2 B. 1 C. 1或3 D. 1或2
如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，
连接PC．有以下结论：
①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PCQB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，
其中一定正确的有（　 　）
A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： ．
10. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
则关于x的不等式的解集为 ．
定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．
若，则x的值为 ．
如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，
已知点，，，则点C的坐标为 ．
规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，
一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，
由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．
例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，
再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到
依次类推．若点经过“011011011…”共2024次变换后得到点，则的坐标为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．因式分解：
(1)；
(2)．
15. 解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．
16．先化简，并在，，0，1中选取合适的a代入求值
17， 如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，
画出图形，并直接写出的坐标 ；
画出绕点O按顺时针旋转后的图形，并计算出在旋转过程中，
点C运动到的运动轨迹长度 ；
若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ．
以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，
积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，
已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，
已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，
其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，
试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
（1）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，
且满足点三点共线，延长交于点，连接．求证：；
【类比迁移】
如图2，在中，，将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，
当时，延长与交于点，连接．
请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由；
【拓展提升】
如图3，在中，，将绕点顺时针旋转得到，
延长分别与交于两点，连接．请问的值是否为定值？
若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由．
已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．
将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．
(1)求的长及点A，点B的坐标；
(2)求的长度；
(3)点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标；
(4)取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，
如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
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2024-2025学年深圳市福田区第一学期八年级期末数学模拟试卷解答
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
2. 下列因式分解正确的是（　　 ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B正确；
C．，故C错误；
D．，故D错误．
故选：B．
3. 如果，那么下列各式中正确的是（　 　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质1，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A.两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变，故错误；
B.不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故错误；
C.不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故错误；
D.不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故正确；
故选：D．
如果点在平面直角坐标系的第三象限内，
那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：

故选D．
5．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解．
【详解】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为，
∴即，，
∴，
故选：B．
如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，
若，，则的长是（ ）

A．3.5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先根据平行四边形的性质得，，即可得出，，再根据角平分线的定义得，，进而得出，，然后根据“等角对等边”得，，可知，最后根据得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
7. 若分式方程无解，则的值是（ ）
A. 3或2 B. 1 C. 1或3 D. 1或2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件．
先把方程两边同时乘得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
∵分式方程无解，
，
，
，
解得：，
∵分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或1，
故选：D．
如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，
连接PC．有以下结论：
①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PCQB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，
其中一定正确的有（　 　）
A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
【详解】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），
与不一定相等，故①不正确；
和都为等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，
∴当时，周长最小．
故选：D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因数，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键．结合图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．
若，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
经检验，是的解．
故答案为：
如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，
已知点，，，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，根据对应点得出平移方式是解题关键．由、连点坐标可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此即可得到点C的坐标．
【详解】解：由，可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，
，
对应点的坐标为即，
故答案为：．
规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，
一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，
由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．
例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，
再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到
依次类推．若点经过“011011011…”共2024次变换后得到点，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标变化规律．根据题中所给变换方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为点的坐标为，
所以第1次变换后得到点的坐标为；
第2次变换后得到点的坐标为；
第3次变换后得到点的坐标为；
第4次变换后得到点的坐标为；
第5次变换后得到点的坐标为；
第6次变换后得到点的坐标为；
第7次变换后得到点的坐标为；
，
由此可见，点对应点的坐标按，，，，，循环出现，
又因为余2，
所以点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
15. 解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．
【答案】不等式的解集为，整数解为，，，0
【解析】
【分析】先求出两个一元一次不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后找出其中的整数即可
【详解】解：
解不等式①：，解得，
解不等式②：，得，解得
∴不等式的解集为，
∴不等式组的整数解为，，，0．
16．先化简，并在，，0，1中选取合适的a代入求值
【答案】；当时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从，，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
，，，
，2，0，
，
当时，原式．
17， 如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，
画出图形，并直接写出的坐标 ；
画出绕点O按顺时针旋转后的图形，并计算出在旋转过程中，
点C运动到的运动轨迹长度 ；
若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质作图，利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式计算即可．；
（3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求．
由勾股定理得，，
在旋转过程中，点运动到的运动轨迹长度为．
故答案为：；
（3）如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，
则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的，
点的坐标为．
旋转中心的坐标为．
故答案为：．
以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，
积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，
已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，
已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，
其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，
试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
（1）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，
且满足点三点共线，延长交于点，连接．求证：；
【类比迁移】
如图2，在中，，将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，
当时，延长与交于点，连接．
请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由；
【拓展提升】
如图3，在中，，将绕点顺时针旋转得到，
延长分别与交于两点，连接．请问的值是否为定值？
若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）的值为定值；
【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可；
（2）过点A作于点M，于点N，先证明，根据角平分线的判定得出平分，即可证明结论；
（3）过点A作于点G，求出，说明为等腰直角三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可求出结果．
【详解】解：（1）根据旋转可知：，，
∴，
∴，，
∴平分，
∴；
（2）；理由如下：
过点A作于点M，于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴；
（3）的值为定值；；
过点A作于点G，如图所示：
根据旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．
将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．
(1)求的长及点A，点B的坐标；
(2)求的长度；
(3)点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标；
(4)取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，
如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；；将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，则，即可求解；
（2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案；
（3）当为直角边时，证明，则，，即可求解；当为直角边时， 同理可解；
（4）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：对于直线，令，则，
令，则，
∴；
由勾股定理得，，
∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴；
（3）解：当为直角边时，如下图：过点N作轴于点M，连接，
∵为等腰直角三角形，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
点；
如图，当为直角边时，
同理可得：点；
综上，或；
（4）解：∵M是的中点，
∴，
∵，
∴，
设，，
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
综上，点Q的坐标为或或．
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