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2025年中考几何压轴题
一、解答题：
1．（2025·萧山模拟）如图1，是平行四边形的一条对角线，且，的外接圆⊙O与边交于点E，连结．
（1）若，的面积为，求的半径．
（2）如图2，过点作于，直线与直线交于点，若时，求的值．．
2．（2025·柯城模拟）如图1，在中，，是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点A作，连接，若，．
①若，求．
②连接，求的长．
3．（2025九下·洞头模拟）如图，在中，，过点作圆，取圆上一点，连接CE交圆于点.连接，使，连接FD。
（1）若，求的度数。
（2）①求证：；
②求证：AE为圆的直径。
4．（2025·临安模拟）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）如图2，过点B作的平行线交于点E．
①求的长；
②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值．
5．（2025·温州模拟）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结．
（1）若，B为的中点，求的度数．
（2）连结，当时．
①求证：四边形是平行四边形．
②若，求证：．
6．（2025·文成二模）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，，在CD的延长线上取一点，使得，在AC的延长线上取一点，连结EF，使得．
（1）若AC是圆的直径，，求．
（2）求证：①．②．
7．（2025·杭州模拟）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点D在上．连接，交于点E，延长，，两线相交于点P，过点A作的切线交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
8．（2025·杭州模拟）如图，矩形ABCD内接于，BD是对角线，点在上（不与点，重合），连接EC分别交AD，BD于点，，于点，，连接BE交AD于点.
（1） 如图1，当点为的中点，时，
①求证：.
②求的长.
（2） 如图2，若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解： 连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，
设，
，，
是的垂直平分线，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积为，
，
，
解得：或（舍去），
，，
设的半径为，
在中，，
，
解得：，
的半径为5；
（2）解： 连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
设，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
，，
，
，
，
的值为．

【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，设，即可得到，求出，，然后根据圆内接四边形对角互补可得，从而得到，然后推理得到，即可求出，的长，利用面积求出x值，利用勾股定理解题即可；
（2）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，，可得，，进而求出，然后推导，即可得到，再根据解题即可．
2．【答案】（1）解：∵，是的外接圆，∴为直径，
∴的度数为，
∵D是的中点，
∴，
∴的度数为，
∴；
（2）①由（1）可知：，∴，
设，则，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴；
②当时，
过点O作，由①可知：，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
当＞时，过点O作
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【解析】【分析】（1）由于AB是直径，则的度数为，由于点D是中点，则的度数为，由圆周角定理可得的度数为；
（2）①根据，可设，则，根据，可求出的值，由等角的余角相等可得，进而求出的长，此时可证明为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再运用勾股定理求出的长，即可得出结果；
②分和两种情况，画出图形，进行求解即可．
（1）解：∵，是的外接圆，
∴为直径，
∴的度数为，
∵D是的中点，
∴，
∴的度数为，
∴；
（2）①由（1）可知：，
∴，
设，则，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴；
②当时，
过点O作，由①可知：，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
当＞时，过点O作
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
3．【答案】（1）
四边形ADFE为圆内接四边形，
（2）①
四边形ABCD为平行四边形，
.
②解法一：作，交圆于点，连接BP，
四边形ABCD为平行四边形，
弧弧DE
弧弧DP
为直径.
解法二：作，交圆于点，连接BP，
，
四边形ABCD为平行四边形，
弧弧DE
弧弧DP
为直径.
解法三：提示：连接BD，
易得
为直径.
解法四：提示：连接ED交CB于点，
易得
由：
为直径
【解析】【分析】（1）在中，由三角形外角性质可得，再由圆内接四边形的性质可得：，据此可求出的度数；
（2）①根据，利用等角对等边可得：，根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得：AB=CD，进而可得，由等腰三角形性质可证明结论；
②解法一：作，交圆于点，连接，根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得：，根据，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，利用全等三角形的性质可得：AP=DE，利用弦、弧及圆周角关系得到，根据平行线性质确定即可得到，据此可证明结论．
4．【答案】（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，
连接、、，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①在中，，，，如图2， 连结，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
则，
解得，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
②过点D作于H，连结，，连结，
则，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先利用圆周角定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM=CD，再利用等边对等角，证明再利用等量代换得到，即可证明是的切线；
（2）先利用解直角三角形得到，再结合等腰三角形性质得到，然后利用等腰三角形性质求得，再根据线段的差求得AE求解，即可解题；
②先利用解直角三角形求得，，再求得，，然后证明，利用相似三角形性质求解．
（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①在中，，，，如图2， 连结，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
则，
解得，
，
，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
②过点D作于H，连结，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
连结，
，
，
，
，
，
．
5．【答案】（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴；
（2）证明：①如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得，进行等量代换后得，利用三角形内角和定理得，然后根据圆内接四边形对角互补的性质求出的值；
（2）①根据圆周角定理得，进行等量代换得，于是根据平行线的判定证明，然后根据平行线的性质得，进行等量代换得，可推出，最后根据平行四边形的判定即可得证结论；
②过点B作交圆于点P，连结，得，可推出，得，，进行等量代换得，然后根据平行四边形的性质得，根据圆周角定理得，结合，得，
最后可证明，得，即可得证结论.
（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）①如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
则，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
6．【答案】（1）解：是圆的直径
（2）证明：①
又
②证法一：在弧ADC上取一点，使，
则弧弧BC，
又
证法二：延长AB，DC交于点，
∵，
∴，
∴
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
又∵∠G=∠G，
又
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，由同弧所对的圆周角相等及已知可推出∠CAB=∠BDC=∠CFE=30°，进而根据直角三角形的量锐角互余可求出∠ACB的度数；
（2）①由同弧所对的圆周角相等及已知可推出∠CAB=∠BDC=∠CFE=30°，进而根据内错角相等两直线平行得AB∥EF；
②证法一：在弧ADC上取一点P，使AP=BC，则AP=CE，由同圆中等弦所对的弧相等及等弧所对的圆周角相等得∠ADP=∠BDC，则∠CFE=∠BDC=∠ADP，由圆内接四边形的对角互补、领补角及同角的补角相等得∠APD=∠ECF，由AAS判断出△ECF≌△APD，由全等三角形的对应边相等得EF=AD；证法二：延长AB，DC交于点G，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGC∽△FEC，由相似三角形对应边成比例得；由圆内接四边形的对角互补、领补角及同角的补角相等得∠ADG=∠CBG，结合公共角∠G，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AGD∽△CGB，由相似三角形对应边成比例得，从而结合已知，由等量代换可得结论.
7．【答案】（1）证明：∵将沿直线翻折到，∴．
∵为的直径，是切线，
∴．
∴．
（2）证明：∵∴
∵
∴
又∵，
∴．
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴．
∴．
由折叠可得，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，、
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得，由切线的性质可得，则同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）由圆周角定理和平行线的性质可得，由于是公共角，则，再由相似三角形的性质可得PA是PB和PG的比例中项，化比例式为等积式即可；
（3）由于直径所对的圆周角是直角，则可设，由于，则，由勾股定理可得，则，再由折叠的性质可得出，则，则，再由圆周角定理结合平行线的性质可得等于，解即可求得的正切值．
（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴．
∵为的直径，是切线，
∴．
∴．
（2）证明：∵
∴
∵
∴
又∵，
∴．
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴．
∴．
由折叠可得，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
8．【答案】（1）解：①证明： ∵四边形ABCD为矩形，
∵点E为 的中点，
②连接OE， OC， 如图，
∵点E为 的中点，
∴∠ABE=∠DBE.
∵BF⊥CE于点F， FG = FC，
∴BG=BC，
∴∠GBF=∠CBF，
由①知： ∠ABE=∠CBF，
° =22.5°
∴∠ABD =∠CBD =45°，
∠EOD =2∠DBE=45°，
∴∠DOC=2∠CBD =90°，
∴∠EOC =∠EOD+∠DOC =135°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC=90°，
∴BD为圆的直径，
∵BD=2，∴OE=OC =1，
的长
（2）解：设AB=3，AD=4，
则BD=5，BC=BG=4，
GD=DH=1，AH=3，
，
设PH=x，则AP=3-x，
在中，
（舍），

【解析】【分析】(1)①利用矩形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理解答即可；
②连接OE，OC，利用圆周角定理和矩形的性质得到 ，再利用圆周角定理求得 ，最后利用弧长公式解答即可；
(2)连接ED，利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到 设 则. ， 利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质直角三角形的边角关系定理和勾股定理依次求得DH， AH， ED， AP，PH， 则结论可得.
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