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第一单元易错典例专项13 立体图形的切拼解决问题拔高
一．填空题
1．把一根长12分米圆柱形钢材截成三小段圆柱后，表面积比原来增加了36平方分米，这根钢材的底面积是 　　平方分米，原来的体积是 　　立方分米．
2．把一根长的圆木锯成三段，每段仍是圆柱，表面积比原来增加了，这根圆木原来的体积是　　．
3．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，圆柱体积是　 　，圆锥体积是　 　．
4．把一根长的圆柱形木料沿横截面方向截成3段后，表面积比原来增加了12.56平方分米，原来圆柱体的体积是　 　．
5．把一根直径20厘米的圆柱形木头锯成3段，表面积增加　 　平方厘米．
6．一根圆柱形的木料长4米，把它锯成3段，表面积增加了12平方分米，这根木料的体积是　 　立方分米．如果锯成3段用了3分钟，那么把它锯成6段要用　 　分钟．
7．一个表面涂满红漆的圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米。若沿虚线（如图）切开后得到一些完全一样的小木块，这些小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 　　平方厘米，没有涂红漆的面共有 　　个。
8．一根圆柱形的木料长5米，把它锯成4段，表面积增加了12平方分米，这根木料的体积是 　　．如果锯成4段用了9分钟，那么把它锯成6段要用 　　分钟．
9．将一根长1米的圆柱体木材，截成4段（如图），表面积增加了75.36平方厘米．原来的圆柱体的体积是 　　立方厘米．
10．把一个直径为4厘米，高为5厘米的圆柱，沿底面直径切割成两个半圆柱，表面积增加了　 　平方厘米．
二．解答题
11．一根圆柱的木料，如果按如图所示切成4块，表面积会增加288平方厘米；如果按图所示切成4块，表面积会增加169.56平方厘米．这根木料的体积是多少立方厘米？
12．如图是两个同样的圆柱，底面半径，高．乐乐和芳芳对圆柱有不同的切法，谁的切法表面积增加得多？多多少？
13．一个圆柱形木料，如果沿着底面直径劈成两半，表面积增加120平方厘米．如果拦腰截成两个小圆柱，表面积则增加157平方厘米．原圆柱形木料的体积是多少？
14．把一个直径是8厘米的圆柱沿高纵向切开以后，表面积增加了200厘米，原来这个圆柱的体积是多少？
15．把一段长1.2米的圆柱形木材平均锯成两段，表面积正好比原来增加了2.4平方分米，求现在每段木材的体积．
16．一个圆柱体，先沿着与底面平行的方向把它截成两个小圆柱，发现表面积增加31.4平方厘米．再沿着高，把这两个小圆柱分别截成两个半圆柱，这时表面积又增加了80平方厘米．那么原来圆柱体的表面积是多少平方厘米？
17．把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，它的表面积和体积各是多少？
18．如图，甲、乙两个圆柱的底面半径都为3厘米，将它们拼成一个大圆柱后，表面积比甲多18.84平方厘米，比乙多28.26平方厘米．问：拼成大圆柱的体积是多少立方厘米？
19．一段圆柱体木料，如果截成两个圆柱体，它的表面积就增加628平方厘米；如果沿着直径劈开两个圆柱体，它的表面积就增加240平方厘米．求圆柱表面积？
20．把一个圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿高切开后，拼成一个近似的长方体，表面积增加了180平方厘米，如果这个圆柱的高是10厘米，体积是多少立方厘米？
21．一根圆柱形木料，底面积是6平方分米，把它截成4段，表面积增加了多少平方分米？
22．如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？
23．如图，把一根底面半径为，高为的圆柱形木料沿相互垂直的两条直径锯成大小相等的4块，每一块木料的表面积是多少平方分米？
24．一根圆柱体钢材长1.8米，如果将它平均截成相等的3个小圆柱，表面积就增加了20平方分米．每立方分米钢重7.8千克，求这根钢材原来重多少千克？
25．一根圆柱形钢材长2米，如果把它锯成两段，表面积比原来增加6.28平方分米，求这根2米长钢材的质量．（每立方分米钢重7.8千克）
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答案解析
一．填空题
1．把一根长12分米圆柱形钢材截成三小段圆柱后，表面积比原来增加了36平方分米，这根钢材的底面积是 　9　平方分米，原来的体积是 　　立方分米．
【解题思路】由题意可知：把圆柱形钢材截成3小段后，表面积比原来增加了36平方分米，它的侧面积不变，增加的是4个截面的面积，因此用增加的面积除以4计算每个截面（即圆柱的底面）面积，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入体积公式解答．
【详细解答】解：（平方分米），
（立方分米），
答：这根钢材的底面面积是9平方分米，原来的体积是108立方分米．
故答案为：9，108．
【考点点评】此题解答关键是理解：把圆柱形钢材截成3小段后，它的侧面积不变，增加的是4个截面的面积，由此可以求出圆柱的底面积，然后把数据代入圆柱的体积公式解答即可．
2．把一根长的圆木锯成三段，每段仍是圆柱，表面积比原来增加了，这根圆木原来的体积是　1.25立方厘米　．
【解题思路】由题意可知：把圆柱形木棒锯成3段，要锯次，共增加个底面；也就是说，增加的0.25平方厘米是4个底面的面积，由此可求出一个底面的面积，进而可求出原来木料的体积．
【详细解答】解：（个；
（立方厘米）；
答：圆木的体积是1.25立方厘米．
故答案为：1.25立方厘米．
【考点点评】此题是求体积的复杂应用题，要注意分析题中增加的表面积是哪些面的面积．
3．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，圆柱体积是　135立方米　，圆锥体积是　 　．
【解题思路】圆柱内最大的圆锥与原来圆柱是等底等高的，所以圆锥的体积是圆柱的体积的，则削去部分的体积就是圆柱的体积的，由此即可解答．
【详细解答】解：（立方米），
（立方米），
答：圆柱的体积是135立方米，圆锥的体积是45立方米．
故答案为：135立方米；45立方米．
【考点点评】抓住圆柱内最大圆锥的特点以及等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积的倍数关系即可解决此类问题．
4．把一根长的圆柱形木料沿横截面方向截成3段后，表面积比原来增加了12.56平方分米，原来圆柱体的体积是　62.8立方分米　．
【解题思路】圆柱形木料沿横截面方向截成3段后，表面积是比原来增加了4个圆柱的底面的面积，由此先求出圆柱的底面积为平方分米，再利用圆柱的体积公式即可解答．
【详细解答】解：2米分米，
，
，
（立方分米），
答：原来圆柱的体积是62.8立方分米．
故答案为：62.8立方分米．
【考点点评】抓住切割特点和增加的表面积，求出圆柱的底面积是解决此类问题的关键．
5．把一根直径20厘米的圆柱形木头锯成3段，表面积增加　1256　平方厘米．
【解题思路】锯3段，需要锯2次，每锯一次就增加2个圆柱的底面，那么锯成3段是增加了4个圆柱的底面，由此利用圆柱的底面积公式求出这个圆柱的底面积，即可解决问题．
【详细解答】解：
（平方厘米）
答：表面积增加了1256平方厘米．
故答案为：1256．
【考点点评】抓住圆柱的切割特点，找出增加了的面，是解决此类问题的关键．
6．一根圆柱形的木料长4米，把它锯成3段，表面积增加了12平方分米，这根木料的体积是　120　立方分米．如果锯成3段用了3分钟，那么把它锯成6段要用　 　分钟．
【解题思路】（1）锯成3段，就增加了12平方分米，也就是增加了个圆柱的底面积，由此可以求得这个圆柱的底面积解决问题；
（2）锯成3段，实际锯了次，由此可以求得锯一次用时：分钟，则锯成6段需要锯次，由此即可解决问题．
【详细解答】解：（1）长4米分米，
，
，
（立方分米）；
（2），
，
，
（分钟）；
答：这根木料的体积是120立方分米．如果锯成3段用了3分钟，那么把它锯成6段要用7.5分钟．
故答案为：120；7.5．
【考点点评】（1）抓住圆柱切割成小圆柱的特点，得出增加部分的表面积就是每截一次就增加2个圆柱的底面的面积之和；
（2）抓住截的次数截得的段数解答．
7．一个表面涂满红漆的圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米。若沿虚线（如图）切开后得到一些完全一样的小木块，这些小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 　84.56　平方厘米，没有涂红漆的面共有 　　个。
【解题思路】根据图示可知，把圆柱沿高截成3段，表面积增加（个底面积，沿底面直径切成4块，表面积增加个半径乘高；没有涂色的面即这些切面，是切完之后露出来的面，即个圆和个长方形的面。
【详细解答】解：
（平方厘米）
（个
答：表面积之和比原来圆柱的表面积增加了84.56平方厘米，没有涂红漆的面共有40个。
故答案为：84.56，40。
【考点点评】本题的考查圆柱的切割问题，要求同学展开空间想象能力。
8．一根圆柱形的木料长5米，把它锯成4段，表面积增加了12平方分米，这根木料的体积是 　100立方分米　．如果锯成4段用了9分钟，那么把它锯成6段要用 　　分钟．
【解题思路】（1）锯成4段，就增加了12平方分米，也就是增加了个圆柱的底面积，由此可以求得这个圆柱的底面积，进而求得体积；
（2）锯成4段，实际锯了次，由此可以求得锯一次用时：分钟，则锯成6段需要锯次，由此即可解决问题．
【详细解答】解：（1）5米分米，
，
，
（立方分米）；
（2），
，
（分钟）；
答：这根木料的体积是100立方分米．把它锯成6段要用15分钟．
故答案为：100立方分米，15．
【考点点评】（1）抓住圆柱切割成小圆柱的特点，得出增加部分的表面积就是每截一次就增加2个圆柱的底面的面积之和；
（2）抓住截的次数截得的段数解答．
9．将一根长1米的圆柱体木材，截成4段（如图），表面积增加了75.36平方厘米．原来的圆柱体的体积是 　1256　立方厘米．
【解题思路】把圆柱截成4段，需要截次，每截1次表面积就增加2个圆柱的底面的面积，所以一共增加了个圆柱的底面的面积，由此利用增加的表面积求出这个圆柱的底面积，再利用圆柱的体积公式即可求出圆木的体积．
【详细解答】解：1米厘米，
，
，
（立方厘米）；
答：原来的圆柱体的体积是1256立方厘米．
故答案为：1256．
【考点点评】抓住圆柱切割小圆柱的方法，得出表面积增加的面的情况，是解决此类问题的关键．
10．把一个直径为4厘米，高为5厘米的圆柱，沿底面直径切割成两个半圆柱，表面积增加了　40　平方厘米．
【解题思路】沿直径平均切成两半，也就是说增加的面积是2个长方形的面积，长是圆柱的高，即5厘米，宽就是这个圆柱的地名直径，即4厘米，据此利用长方形的面积公式计算即可．
【详细解答】解：增加的面积就是2个长是5厘米，宽是4厘米的长方形的面积，即：
（平方厘米），
答：表面积增加了40平方厘米；
故答案为：40．
【考点点评】根据圆柱的切割特点，得出增加的是以圆柱的底面直径和高为边长的两个长方形的面积是解决本题的关键．
二．解答题
11．一根圆柱的木料，如果按如图所示切成4块，表面积会增加288平方厘米；如果按图所示切成4块，表面积会增加169.56平方厘米．这根木料的体积是多少立方厘米？
【解题思路】根据圆柱的切割特点可知，如图二切割成4块，则表面积是增加了6个圆柱的底面的面积，据此求出一个底面的面积是平方厘米，根据圆的面积公式可得：，因为，所以这个圆的半径是3厘米，再根据图一的切割方法，沿底面直径切割后，表面积是增加了2个以底面直径和高为边长的长方形，据此可以求出这个长方形的面积是：平方厘米，因为半径是3厘米，则直径是6厘米，所以利用长方形的面积公式可得，圆柱的高是：厘米，据此求出了圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积。
【详细解答】解：（平方厘米），
，因为，
所以这个圆柱的底面半径是3厘米；
（厘米）
（立方厘米）．
答：这根木料的体积是339.12立方厘米．
【考点点评】抓住圆柱的两种切割特点，根据增加的表面积分别求出这个圆柱的底面半径和高，是解决本题的关键．
12．如图是两个同样的圆柱，底面半径，高．乐乐和芳芳对圆柱有不同的切法，谁的切法表面积增加得多？多多少？
【解题思路】由图知，芳芳的切法：沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了两个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积，由此即可求出增加的表面积．乐乐沿底面切开，增加的是两个底面圆的面积，根据圆的面积公式，即可求得．然后比较两种情况下面积的大小即可．
【详细解答】解：芳芳：
（平方厘米）
乐乐：
（平方分米）
（平方分米）
答：芳芳的切法增加的表面积大，大63.48平方分米．
【考点点评】抓住圆柱的切割特点，得出增加的表面积是两个以底面直径和高为边长的长方形的面的面积以及两个底面圆的面积，是解决此类问题的关键．
13．一个圆柱形木料，如果沿着底面直径劈成两半，表面积增加120平方厘米．如果拦腰截成两个小圆柱，表面积则增加157平方厘米．原圆柱形木料的体积是多少？
【解题思路】（1）截成两个小圆柱，表面积增加了两个圆柱的底面积，先根据表面积增加157平方厘米，求出这个圆柱的底面半径；
（2）沿着底面直径劈成两半，表面积是增加了两个以底面直径和高为边长的长方形的面积；代入上面求出的底面半径，即可求出这个圆柱的高，由此再利用圆柱的体积公式即可解答．
【详细解答】解：，
因为，所以这个圆柱的底面半径是5厘米，
所以圆柱的高是：，
，
（厘米），
则圆柱的体积是：，
，
（立方厘米），
答：原来圆柱的体积是471立方厘米．
【考点点评】抓住圆柱两种不同的切割方法得出增加的面数是解决此类问题的关键．
14．把一个直径是8厘米的圆柱沿高纵向切开以后，表面积增加了200厘米，原来这个圆柱的体积是多少？
【解题思路】要求圆柱的体积，已知底面半径为厘米，还需要求得圆柱的高；根据题干把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加部分就是以这个圆柱的底面直径和圆柱的高为边长的两个长方形的面积，由此利用长方形的面积公式即可求得圆柱的高，代入圆柱的体积公式即可解决问题．
【详细解答】解：圆柱的高为：
，
，
（厘米）；
所以圆柱的体积为：
，
，
（立方厘米）；
答：原来这个圆柱的体积是628立方厘米．
【考点点评】抓住圆柱切割成两个相等的半圆柱的特点，得出增加部分的表面积是两个以圆柱的高和直径为边长的长方形的面积是解决此题的关键．
15．把一段长1.2米的圆柱形木材平均锯成两段，表面积正好比原来增加了2.4平方分米，求现在每段木材的体积．
【解题思路】根据圆柱的切割特点可知，表面积增加的是两个圆柱的底面的面积，由此利用增加的表面积求出圆柱的底面积，而每一段木材的体积是原来圆柱木材的体积的一半，再利用圆柱的体积公式即可解答．
【详细解答】解：1.2米分米，
，
，
（立方分米）；
答：每段木材的体积是7.2立方分米．
【考点点评】此题考查了圆柱的体积公式的计算应用，关键是根据切割特点求出圆柱的底面积．
16．一个圆柱体，先沿着与底面平行的方向把它截成两个小圆柱，发现表面积增加31.4平方厘米．再沿着高，把这两个小圆柱分别截成两个半圆柱，这时表面积又增加了80平方厘米．那么原来圆柱体的表面积是多少平方厘米？
【解题思路】（1）沿着与底面平行的方向截成两段后，会增加2个面的面积，也就是增加的表面积31.4平方厘米就是圆柱的2个底面积；
（2）“再沿着高，把这两个小圆柱分别截成两个半圆柱”，就相当于沿着高把整个圆柱体截成两个半圆柱体，则增加两个长为圆柱的高、宽为底面直径的长方形的面积，增加的面积已知，设圆柱的底面半径是，则直径是，根据长方形的面积公式求出原来圆柱体的高为厘米，再利用圆柱的侧面积公式代入数据即可求出圆柱的侧面积，从而求出原来圆柱体的表面积．
【详细解答】解：设原来圆柱体的底面半径为厘米，底面直径为厘米，
原来圆柱体的高：，
，
（厘米）；
原来圆柱的表面积：，
，
，
（平方厘米）；
答：原来圆柱体的表面积是157平方厘米．
【考点点评】解答此题关键是明白：不论横着切还是纵着切，要弄明白增加的部分是什么图形，从可以解决问题，此题设出圆柱的底面半径，只作为一个代换量，计算中可以约去．
17．把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，它的表面积和体积各是多少？
【解题思路】此类问题首先要确定削成的圆柱的底面直径和高，根据正方体内最大圆柱的特点可得：这个最大圆柱的底面直径是40厘米，高是40厘米，利用圆柱的体积公式和表面积公式即可解决问题．
【详细解答】解：，
，
（立方厘米），
，
，
，
（平方厘米）；
答：这个圆柱体的体积是50240立方厘米，表面积是6280平方厘米．
故答案为：50240，6280．
【考点点评】此题考查了圆柱的体积与表面积公式的灵活应用，这里得出正方体内最大圆的底面直径和高分别是这个正方体的棱长，是解决此类问题的关键．
18．如图，甲、乙两个圆柱的底面半径都为3厘米，将它们拼成一个大圆柱后，表面积比甲多18.84平方厘米，比乙多28.26平方厘米．问：拼成大圆柱的体积是多少立方厘米？
【解题思路】观察图形，把这两个圆柱体拼成一个大圆柱体后，表面积比甲多18.84平方厘米，即乙的侧面积是18.84平方厘米；比乙多28.26平方厘米，即甲的侧面积是28.26平方厘米，据此可得出这个大圆柱的侧面积是，由此利用侧面积公式求出大圆柱的高，再利用圆柱的体积计算即可解答．
【详细解答】解：，
，
（厘米），
，
，
（立方厘米），
答：拼成大圆柱的体积是70.65立方厘米．
【考点点评】解答此题的关键是明确拼成的大圆柱的表面积比甲多的面积就是乙圆柱的侧面积，比乙多的表面积就是甲的侧面积，据此求出大圆柱的侧面积，从而求出大圆柱的高即可解到此类问题．
19．一段圆柱体木料，如果截成两个圆柱体，它的表面积就增加628平方厘米；如果沿着直径劈开两个圆柱体，它的表面积就增加240平方厘米．求圆柱表面积？
【解题思路】由题意可知：沿横截面截成两段后，会增加2个面的面积，也就等于木料的2个底面积；沿着直径劈成两个半圆柱体，则增加两个长为木料的高，宽为底面直径的长方形的面积，增加的面积已知，从而可以求出一个面的面积，进而求出木料的高度，从而求出木料的表面积．
【详细解答】解：设底面半径为，
木料的高：，
，
（厘米）；
木料的表面积：，
，
，
（平方厘米）；
答：原圆柱体的表面积是1004.8平方厘米．
【考点点评】解答此题关键是明白：不论横着切还是纵着切，要弄明白增加的部分是什么图形，从可以解决问题．
20．把一个圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿高切开后，拼成一个近似的长方体，表面积增加了180平方厘米，如果这个圆柱的高是10厘米，体积是多少立方厘米？
【解题思路】根据题意，知道长方体表面积增加的180平方厘米，是2个以圆柱的底面半径为宽，高为长的长方形的面积，由此即可求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式作答．
【详细解答】解：（1）（厘米），
（2），
，
（立方厘米），
答：圆柱的体积是2543.4立方厘米．
【考点点评】解答此题的关键是，知道切拼后的图形与圆柱之间的关系，再利用相应的公式解答．
21．一根圆柱形木料，底面积是6平方分米，把它截成4段，表面积增加了多少平方分米？
【解题思路】根据题意可知，把一根圆柱形的木料截成4段，由锯木问题得：截成4段需要截3次，每截1次就增加两个截面的面积，截3次一共增加6个截面的面积．由此解答．
【详细解答】解：由锯木问题得：截成4段需要截3次，每截1次就增加两个截面的面积，截3次一共增加6个截面的面积．
（平方分米）；
答：表面积增加36平方分米．
【考点点评】此题解答关键是理解截成4段需要截几次，每截1次就增加两个截面的面积．
22．如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？
【解题思路】剩下的体积就是这个棱长为6厘米的正方体的体积与高为6厘米的圆锥的体积之差，由此只要求得圆锥的底面半径即可解决问题：圆锥的底面在正方体的底面上，根据正方形内最大圆的特点可知：圆锥的底面半径为厘米．
【详细解答】解：，
，
，
（立方厘米），
答：剩下部分的体积是159.48立方厘米．
【考点点评】此题考查了正方体与圆锥的体积公式的灵活应用，这里正确得出正方体内最大的圆锥的底面半径与高是解决此类问题的关键．
23．如图，把一根底面半径为，高为的圆柱形木料沿相互垂直的两条直径锯成大小相等的4块，每一块木料的表面积是多少平方分米？
【解题思路】圆柱形木料沿相互垂直的两条直径锯成大小相等的4块，每块木料的上下底面是半径为的圆，侧面展开图是长为，宽为的矩形，将底面积与侧面面积相加可得表面积．
【详细解答】解：每块木料的上下底面的面积为：
侧面的面积为：
故每块木料的表面积是：
．
答：柱形木料沿相互垂直的两条直径锯成大小相等的4块，每块木料的表面积是49.12平方分米．
【考点点评】本题主要考查几何体表面的计算方法，抓住圆柱体切割后的几何体的构成特点与展开情况是解题关键．
24．一根圆柱体钢材长1.8米，如果将它平均截成相等的3个小圆柱，表面积就增加了20平方分米．每立方分米钢重7.8千克，求这根钢材原来重多少千克？
【解题思路】截成3段圆柱形钢材时，增加了个底面的面积，即是20平方分米，所以一个底面积是：平方分米．再乘18分米就是这根圆柱的体积，再乘7.8就是这根圆柱的重量．
【详细解答】解：1.8米分米，
，
，
（千克）；
答：这根钢材原来重702千克．
【考点点评】本题考查了圆柱的体积公式的灵活应用，关键是明确每截一次增加两个底面．
25．一根圆柱形钢材长2米，如果把它锯成两段，表面积比原来增加6.28平方分米，求这根2米长钢材的质量．（每立方分米钢重7.8千克）
【解题思路】6.28平方分米是圆柱形钢材的两个底面的面积，由此根据圆柱的体积公式，，求出圆柱形钢材的体积，再用体积乘7.8千克就是钢材的重量．
【详细解答】解：2米分米，
，
，
，
（千克）；
答：这根钢材重489.84千克．
【考点点评】关键是知道6.28平方分米是哪部分的面积，再利用相应的公式解决问题．
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