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2024-2025学年六年级下册数学易错典例
第二单元 比例奥数思维训练二
答案解析
一、解答题
1．A、B两种商品的价格之比为7∶2，如果它们的价格分别上涨60元后，价格之比为5∶2，这两种商品原来的价格各是多少？
【正确答案】A：315元；B：90元
【解题思路】把两种商品的价格之比看作份数，假设一份的价格是x元，那么A的原价相当于7x元，B的原价相当于2x元，它们的价格分别上涨60元后，A的价格变成（7x＋60）元，B的价格变成（2x＋60），两者之间的价格比为5∶2，根据比例的意义，可列出比例，求解即可。
【详细解答】解：设一份的价格是x元，A的原价是7x元，B的原价是2x元，依题意得。
（7x＋60）∶（2x＋60）＝5∶2
（2x＋60）×5＝（7x＋60）×2
10x＋60×5＝14x＋60×2
10x＋300＝14x＋120
14x－10x＝300－120
4x＝180
x＝180÷4
x＝45
所以A的原价为7×45＝315（元）
B的原价为2×45＝90（元）
答：A商品的原价是315元，B商品的原价是90元。
【考点点评】此题的解题关键是把比看作份数，弄清题意，把A和B商品的原价设成未知数，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的比例，解比例得到最终的结果。
2．小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两只牛各自吃了多少块肥肉？
【正确答案】小牛：10块，大牛：25块
【解题思路】把小牛和大牛吃的肉块数之比看作份数，假设一份的价格是x块，那么小牛吃的肉块数相当于2x块，大牛吃的肉块数相当于5x块，小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块后，小牛吃的肉块数变成（2x＋5）块，大牛吃的肉块数变成（5x＋2）块，这时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，根据比例的意义，可列出比例，求解即可。
【详细解答】解：设一份量为x，小牛吃的肉块数相当于2x块，大牛吃的肉块数相当于5x块
（2x＋5）∶（5x＋2）＝5∶9
（5x＋2）×5＝（2x＋5）×9
25x＋2×5＝18x＋5×9
25x－18x＝45－10
7x＝35
x＝5
小牛吃的肉块数：2×5＝10（块）
大牛吃的肉块数：5×5＝25（块）
答：原来小牛吃了10块肥肉，大牛吃了25块肥肉。
【考点点评】此题的解题关键是把比看作份数，弄清题意，把小牛和大牛原来吃的肉块数设成未知数，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的比例，解比例得到最终的结果。
3．甲、乙两桶油共重95千克，从甲桶中取出它的，从乙桶中取出它的后，两桶油剩下的一样重。原来两桶油各重多少千克？（油桶的质量忽略不计）
【正确答案】甲桶油重45千克，乙桶油重50千克
【解题思路】从甲桶中取出它的，还剩下它的1－＝；从乙桶中取出它的后，还剩下它的1－＝。两桶油剩下的一样重，则甲桶油质量×＝乙桶油质量×，根据比例的基本性质可得：甲桶油的质量∶乙桶油的质量＝∶＝9∶10，那么甲桶油的质量占两桶油总质量的，乙桶油的质量占两桶油总质量的。已知两桶油共重95千克，根据乘法的意义，用95分别乘这两个分数，即可求出原来两桶油各重多少千克。
【详细解答】1－＝
1－＝
甲桶油质量×＝乙桶油质量×，则甲桶油的质量∶乙桶油的质量＝∶＝9∶10。
甲桶：95×
＝95×
＝45（千克）
乙桶：95×
＝95×
＝50（千克）
答：原来甲桶油重45千克，乙桶油重50千克。
【考点点评】根据比例的基本性质，得出两桶油的质量比是解题的关键。
4．一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？
【正确答案】20天
【解题思路】把这项工程看作单位“1”，甲乙两队合做10天完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷10＝，求出甲乙的工作效率和；用1÷8＝，求出乙丙的工作效率和；设乙单独做这项工程要x天完成；用1÷x＝，求出乙的工作效率；再用甲乙工作效率和－乙的工作效率，求出甲的工作效率，即（－）；用乙丙两队的工作效率和－乙的工作效率，求出丙的工作效率，即（－）再把甲的工作效率＋乙的工作效率＋丙的工作效率，求出甲乙丙的工作效率和，即（－＋＋－），再用甲乙丙的工作效率和×1，求出甲乙丙三队1天的工作量；即（－＋＋－）×1；根据工作总量＝工作效率×工作时间；用余下的工程乙需要的天数×乙的工作效率，求出剩下的工作量，即（16.5×）；再加上甲乙丙三队1天的工作量＝工作总量，列方程：（－＋＋－）×1＋16.5×＝1，解方程，即可解答。
【详细解答】解：设乙单独做这项工程要x天完成。
（－＋＋－）×1＋16.5×＝1
（＋－）＋＝1
－＋＝1
＋＝1
＝1－
＝
31x＝15.5×40
31x＝620
x＝620÷31
x＝20
答：乙单独做这项工程要20天完成。
【考点点评】明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，是解答本题的关键。
5．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？
【正确答案】7.5千米
【解题思路】根据“甲的速度每小时比乙慢3千米”，可以设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。
根据题意可知，相遇时甲行了（90－15）千米，乙行了（90＋15）千米；相遇时两人行驶的时间一样，根据路程÷速度＝时间，可得等量关系：＝，据此列出方程，并求解。
【详细解答】解：设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。
（90＋15）＝（90－15）×（＋3）
105＝75（＋3）
105＝75＋225
105－75＝75＋225－75
30＝225
30÷30＝225÷30
＝7.5
答：甲每小时行7.5千米。
【考点点评】本题考查列比例方程解决问题，关键是明确两人相遇时行驶的时间一样，然后根据速度、时间、路程之间的关系，得出等量关系，根据等量关系列出方程。
6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米？
【正确答案】22.5千米
【解题思路】本题的关键是“相遇后乙走的路程”。由题意知，相遇前甲、乙速度之比为3∶2，相遇时甲、乙分别走了全程的和。相遇后，甲乙速度之比为（3×120%）∶（2×130%）＝18∶13；时间相同，路程比等于速度比，当甲走完剩下路程的时，乙又走完全程的×＝，这时离A还有全程的－＝，也就是7千米，由此可求出全程是多少，把全程看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算解答。
【详细解答】相遇前甲、乙速度之比为3∶2，相遇时甲、乙分别走了全程的和。他们第一次相遇后，甲的速度∶乙的速度
＝[3×（1＋20%）]∶[2×（1＋30%）]
＝[3×120%]∶[2×130%]
＝3.6∶2.6
＝（3.6×5）∶（2.6×5）
＝18∶13
7÷（－×）
＝7÷（－）
＝7÷（－）
＝7÷
＝7×
＝22.5（千米）
答：A、B两地间的距离是22.5千米。
【考点点评】本题主要考查了较复杂的相遇问题，正确理解速度、时间、路程之间的关系式，以及利用百分数和比例的知识进行解答。
7．一个盒子里有黑棋子和白棋子各若干粒，若取出一粒黑棋子，则余下的黑棋子数与白棋子数之比是9∶7，若放回黑棋子，再取出一粒白棋子，则黑棋子数与余下的白棋子数的比是7∶5，那么盒子里原有的黑棋子数比白棋子数多几粒？
【正确答案】7粒
【解题思路】我们运用比例进行解答，设白子有x个，黑子是x＋1．用黑子的个数与白子的个数减去1个的比是7：5，列方程进行解答即可。
【详细解答】解：设白子有x个，黑子是x＋1。
（x＋1）：（x﹣1）＝7：5
x×5＋5＝7x﹣7
6x＋5＝7x﹣7
x＝12
x×＝12×
x＝21
黑子的个数：
x＝×21＋1＝28
28﹣21＝7（个）
答：盒子里原有的黑棋子数比白棋子数多7粒。
【考点点评】本题把一个数设为x，再用未知数表示另一个数，进一步列方程解答即可。
8． 2021年10月16日0时23分，长征二号运载火箭成功将神舟十三号飞船送往太空；2022年4月16日神舟十三号飞船成功降落。
在比例尺的地图上量得神舟十三号飞船的实际降落地点与预定降落地点相差了2.6厘米。那么在的地图上测量，实际地点与预定地点的相差多少厘米？
【正确答案】6.5厘米
【解题思路】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺，据此列式解答即可。
【详细解答】2.6
＝2.6×5000
＝13000
＝6.5（厘米）
答：在的地图上测量，实际地点与预定地点的相差6.5厘米。
【考点点评】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用。
9．在一幅比例尺为1∶9000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是3厘米。一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，开出1.8小时后两车相遇。已知客车的平均速度为85千米/时，货车的平均速度是多少？
【正确答案】65千米/时
【解题思路】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出甲、乙两地的实际距离，根据进率“1千米＝100000厘米”换算单位；然后根据“速度和＝路程÷相遇时间”，求出客车和货车的速度之和，再减去客车的平均速度，就是货车的平均速度。
【详细解答】甲、乙两地的实际距离：
3÷＝27000000（厘米）
27000000厘米＝270千米
客车和货车的速度和：
270÷1.8＝150（千米/时）
货车的平均速度：
150－85＝65（千米/时）
答：货车的平均速度是65千米/时。
【考点点评】本题考查比例尺的应用及相遇问题，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。
10．在一幅比例尺是的地图上量得、两地的距离是。甲、乙两辆汽车同时从、两地相对开出，经过8小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是，走完这段路程，甲、乙两车分别行驶了多少千米？
【正确答案】甲560千米；乙640千米
【解题思路】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出、两地的实际距离，因为两车行驶的时间相同，所以速度之比就是路程之比，按比例分配求出甲、乙两车行驶的路程即可。
【详细解答】6÷ ＝120000000（厘米）＝1200（千米）
1200× ＝560（千米）；
1200× ＝640（千米）
答：甲车行驶了560千米，乙车行驶了640千米。
【考点点评】此题考查了比例尺与按比例分配的综合应用，明确行驶时间相等的情况下，速度比等于路程比是解题关键。
11．王大伯要在一块长与宽的比为5∶3的长方形菜地里种大棚菜，用1∶500的比例尺画在图纸上，得到的长方形的周长是32厘米。这块长方形土地的实际面积是多少平方米？
【正确答案】1500平方米
【解题思路】已知图纸的比例尺是1∶500，图纸上长方形的周长是32厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1米＝100厘米”，求出长方形的实际周长；
然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长、宽之和＝周长÷2；又已知长与宽的比为5∶3，则一共是（5＋3）份；用长、宽之和除以（5＋3）份，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽的份数，求出实际的长与宽；
最后根据长方形的面积＝长×宽，求出这块土地的实际面积。
【详细解答】32÷
＝32×500
＝16000（厘米）
16000厘米＝160米
长、宽之和：160÷2＝80（厘米）
一份数：
80÷（5＋3）
＝80÷8
＝10（米）
长：10×5＝50（米）
宽：10×3＝30（米）
面积：50×30＝1500（平方米）
答：这块长方形土地的实际面积是1500平方米。
【考点点评】先根据比例尺的意义求出长方形的实际周长，然后根据比的应用，求出长方形的长、宽，再根据长方形的面积公式求解。
12．操作题。（下图中的每小格表示边长1厘米的正方形）
①过点A做梯形ABCD的高AP，则点P用数对表示是（ ）。
②画出按2∶1将梯形ABCD放大后的图形，放大后的梯形面积是（ ）平方厘米。
【正确答案】①见详解；（2，2）
②见详解；20平方厘米
【解题思路】①根据“梯形的高是上底与下底之间的距离”，据此过点A向BC作垂线，与BC相交于点P，AP即为梯形的高；
然后根据用数对表示位置的方法“数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行”，据此用数对表示点P的位置。
②梯形ABCD按2∶1放大，那么梯形的上底、下底、高都乘2，即是放大后梯形的上底、下底和高，据此画出放大后的图形；
然后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求出放大后梯形的面积。
【详细解答】①过点A做梯形ABCD的高AP，如下图；
则点P用数对表示是（2，2）。
②放大后梯形的上底是：1×2＝2（厘米）
放大后梯形的下底是：4×2＝8（厘米）
放大后梯形的高是：2×2＝4（厘米）
放大后的梯形如下图：
（2＋8）×4÷2
＝10×4÷2
＝40÷2
＝20（平方厘米）
放大后梯形的面积是20平方厘米。
【考点点评】本题考查作梯形的高、数对与位置、作放大后的图形、梯形面积公式的运用。明确放大或缩小图形，只改变图形的大小，不改变图形的形状。
13．下面的方格图，每小格边长表示1厘米，请按要求操作。
（1）画出图形A按2∶1放大后的图形。
（2）如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个（ ），它的体积是（ ）立方厘米。
【正确答案】（1）见详解
（2）圆锥；18.84或12.56
【解题思路】（1）图A是一个底为3厘米，高为2厘米的三角形，按2∶1放大，放大后的三角形的底和高都要乘2，据此画出放大后的三角形。
（2）图A是一个直角三角形，直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，形成的立体图形是圆锥，有两种不同的旋转方法，形成两种不同的圆锥：
情况一：以短直角边2厘米为轴旋转，那么形成的圆锥高是2厘米，底面半径是3厘米；
情况二：以长直角边3厘米为轴旋转，那么形成的圆锥高是3厘米，底面半径是2厘米；
然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，分别求出两种圆锥的体积即可。
【详细解答】（1）放大后三角形的底：3×2＝6（厘米）
放大后三角形的高：2×2＝4（厘米）
如图：
（2）情况一：以图形A较短的直角边为轴旋转；
×3.14×32×2
＝×3.14×9×2
＝18.84（立方厘米）
情况二：以图形A较长的直角边为轴旋转；
×3.14×22×3
＝×3.14×4×3
＝12.56（立方厘米）
如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个圆锥，它的体积是18.84或12.56立方厘米。
【考点点评】（1）掌握作放大后图形的作图方法是解题的关键，明确放大或缩小图形，只改变图形的大小，不改变图形的形状。
（2）掌握圆锥的特征，明确以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周，那么这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，利用圆锥的体积公式列式计算。
14．作图。
（1）把上图梯形向右平移5格，再用数对表示出平移后顶点A的位置：（ ）。
（2）如果再将这个梯形按2∶1放大，请在右边空白部分画出这个放大后的梯形。
（3）放大后的梯形与放大前梯形的面积比是（ ）。
【正确答案】（1）（6，4）
（2）见详解
（3）4∶1
【解题思路】（1）根据平移的特征，将梯形的各顶点分别向右平移5格，依次连接即可得到平移后的图形；
用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行；平移后顶点A的位置是在第6列第4行，据此用数对表示即可。
（2）将这个梯形按2∶1放大，即梯形的各边都扩大到原来的2倍，分别把原来梯形的上底、下底、高乘2后，得到放大后梯形的上底、下底和高，据此画出放大后的梯形。
（3）根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出放大前、放大后的梯形的面积，再求放大后的梯形与放大前梯形的面积比，化简比即可。
【详细解答】（1）把上图梯形向右平移5格，如下图；
用数对表示出平移后顶点A的位置：（6，4）；
（2）放大后梯形的上底：2×2＝4
放大后梯形的下底：3×2＝6
放大后梯形的高：2×2＝4
画出放大后的梯形如下图。
（3）放大前梯形的面积：
（2＋3）×2÷2
＝5×2÷2
＝5
放大后梯形的面积：
（4＋6）×4÷2
＝10×4÷2
＝40÷2
＝20
放大后的梯形与放大前梯形的面积比是：
20∶5
＝（20÷5）∶（5÷5）
＝4∶1
如图：
【考点点评】掌握用数对表示位置的方法，作平移后的图形、作放大后的图形的作图方法，梯形的面积公式以及化简比是解题的关键。
15．（1）小明家在学校（ ）偏（ ）度的方向上，距离是600米，这幅图的比例尺是（ ）。（图上距离测量结果取整厘米数）
（2）少年宫在小明家正东面的方向上，距离是750米，请在图中画出少年宫的位置。
【正确答案】（1）西；南45；1∶30000
（2）见详解
【解题思路】（1）以学校为观测点，图上的“上北下南，左西右东”为准，经过测量，小明家在学校西偏南45度的方向上，图上距离是2厘米；根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，求出为幅图的比例尺；注意单位的换算：1米＝100厘米。
（2）以小明家为观测点，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出少年宫与小明家的图上距离，根据方向和距离，确定少年宫在图上的位置。
【详细解答】（1）经过测量可得：小明家在学校西偏南45度的方向上；（答案不唯一）
图上距离为2厘米（以实际测量为准）；
比例尺是：
2厘米∶600米
＝2厘米∶（600×100）厘米
＝2∶60000
＝（2÷2）∶（60000÷2）
＝1∶30000
（2）750米＝75000厘米
75000×＝2.5（厘米）
少年宫到小明家的图上距离为2.5厘米。
以小明家为观测中心，少年宫在小明家正东方向2.5厘米处，少年宫的位置如图所示。
（以实际测量为准）
【考点点评】本题考查位置与方向的相关知识，找准观测点，根据方向和距离确定位置；灵活运用图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，利用比例尺画图。
16．如图是动物园的平面图。
①猴山在孔雀园北偏西米处，大象馆在孔雀园南偏东米处，请在图中画出这两处。
②赵宁和李强分别从猴山和大象馆相向而行，赵宁每分钟行80米，李强每分钟行100米，他们能在孔雀园正好相遇吗？请通过计算说明。（比例尺
【正确答案】①
②见详解
【解题思路】①根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以孔雀园的位置为观测点即可确定猴山、大象馆的方向；根据猴山、大象馆与孔雀园的实际距离，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”计算出猴山、大象馆与孔雀园的图上距离，进而即可画出猴山大象馆的位置。
②根据“时间＝路程÷速度”求出赵宁从猴山到孔雀园（或李强从大家馆到孔雀园）所用的时间，再根据“路程＝速度×时间”计算出李强（或赵宁）所行的路程即可确定他们能否在孔雀园相遇。
【详细解答】①200米厘米，250米厘米
（厘米）
（厘米）
即猴山在孔雀园北偏西图上距离2厘米处，大象馆在孔雀园南偏东图上距离2.5厘米外。在图中画出这两处如下图：
②（分钟）
（米）
赵宁从猴山到孔雀园用2.5分钟，2.5分钟李强从大象馆正好到孔雀园。
答：他们能在孔雀园正好相遇。
【考点点评】①此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及比例尺的灵活应用及路程、速度、时间三者之间的关系。
17．雕像广场周围环境如下图所示。
（1）在雕像广场南面200米处，有一条商业街与环湖路互相平行，在图中画出直线表示这条街，并标上商业街。
（2）电影院在雕像广场（ ）偏（ ）45°方向的（ ）米处。
（3）小华以每分70米的速度从学校沿着环湖路向西走，3分钟后，他在雕像广场的正（ ）方向（ ）米处。
（4）图书馆在雕像广场西偏北45°方向400米处，请在图中标出图书馆的位置，并标上图书馆。
【正确答案】（1）见详解
（2）西；南；350
（3）东；140
（4）见详解
【解题思路】（1）根据地图上的方向，上北下南， 左西右东，以雕像广场的位置为观测点即可确定商业街的方向，根据商业街与文化宫的实际距离及图中所标注的线线段比例尺，即可求出商业街与雕像广场的图上距离的点，过这点作与还湖路所在的直线平行的直线，商业街就在这一直线上。
（2）以雕像广场为观测点即可确定图书的方向，再量出电影院与雕像广场的图上距离，根据图中所标注的线段比例尺即可求出两地的实际距离。
（3）根据“路程＝速度×时间”求出小华所行的距离，再量出学校到雕像广场的图上距离，求出实际距离，二者比较后即可确定小明在雕像广场的西或东，及与雕像广场的距离。
（4）以雕像广场的位置为观测点即可确定图书馆的方向，根据图书馆与雕像广场的实际距离及图中所标注的线线段比例尺，即可求出两地的图上距离，从而画出图书馆的位置。
【详细解答】（1）200÷100＝2（厘米）
（2）3.5×100＝350（米）
电影院在雕像广场（西）偏（南）45°方向的（350）米处。
（3）3.5×100－70×3
＝350－210
＝140（米）
图上距离：140÷100×1＝1.4（厘米）
（见下图蓝点处）
（4）400÷100＝4（厘米）
图书馆的位置见下图
【考点点评】此题主要是考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置、线段比例尺的灵活应用。
18．量一量，算一算，画一画。（测量距离取整厘米数；度数取整10度数）
（1）小红家距公园800米，此图的比例尺是（ ）。
（2）小明家在公园的（ ）偏（ ）（ ）°方向上，到公园的实际距离是（ ）米。
（3）医院在公园的东偏北40°方向1000米的地方，请你在图中标出医院的位置。
【正确答案】（1）1∶40000
（2）西；南；30；1200
（3）见详解
【解题思路】（1）先从图上量出小红家距公园的图上距离，根据进率：1米＝100厘米，把实际距离800米换算成80000厘米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出此图的比例尺。
（2）从图中可以看出小明家在公园西偏南方向，量出图中的角度。从图上量出小明家距公园的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出到公园的实际距离，注意单位的换算。
（3）先根据图上距离＝实际距离×比例尺，算出1000米的图上距离，然后在图中按要求画出医院的位置。
【详细解答】（1）从图中量得小红家到公园是2厘米（以实际测量为准）；
2厘米∶800米
＝2厘米∶80000厘米
＝1∶40000
（2）小明家在公园的西偏南30°（以实际测量为准）方向上，从图中量得距离是3厘米（以实际测量为准），那么小明家到公园的实际距离是：
3÷＝120000（厘米）
120000厘米＝1200米
（3）1000米＝100000厘米
100000×＝2.5（厘米）
医院在公园的东偏北40°方向1000米的地方，如图所示：
【考点点评】掌握图上距离、实际距离、比例尺三者的关系，以及根据方向、角度和距离确定物体的位置。
19．抗击新冠肺炎期间，爷爷需要配制75%的酒精消毒，然而家里只有95%的酒精2400ml。小明利用本学期刚学过的相关知识，决心帮爷爷把家里95%的酒精稀释成75%，需要加水多少毫升的问题。
小明操作如下：
（1）把75%的酒精转化为：酒精与酒精溶液的比是3∶4。
（2）把95%的酒精转化为：酒精与酒精溶液的比19∶20。
接下来，请你帮小明算一算，需要加水多少毫升？
【正确答案】640毫升
【解题思路】用酒精的含量∶酒精溶液＝19∶20，即酒精的含量∶2400＝19∶20，求出酒精的含量；根据题意可知，酒精的含量不变，再用求出的酒精的含量：酒精溶液＝3∶4，求出配制75%的酒精时的酒精溶液量，再减去原来的2400毫升即可求出加水量。
【详细解答】解：设酒精的含量为x毫升；设配制75%的酒精时的酒精溶液量为y毫升；
x∶2400＝19∶20
20 x＝2400×19
x＝2280；
2280∶y＝3∶4
3y＝2280×4
y＝3040；
3040－2400＝640（毫升）
答：需要加水640毫升。
【考点点评】明确酒精的含量不变是解答本题的关键，进而求出配制75%的酒精时的酒精溶液量，再进一步解答。
20．2021年4月8日扬州世界园艺博览会在仪征枣林湾盛大开幕，共有室外展园64个，其中包括26座国内城市和企业展园，25个国外城市和国际组织展园，以及13个江苏城市展园。
（1）夏明家住南京鼓楼区，在比例尺为的地图上，量得南京鼓楼区到仪征路程为3厘米，夏明上午8时从南京家中出发，上午9时30分到达世博园，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？
（2）哈萨克毡房给夏明留下了深刻的印象，它独具异域风情，由围墙、房杆、顶圈、房毡，门组合而成，如图所示，主体近似圆柱形，高2米，底面周长大约37.68米，上面是一个近似圆锥的屋顶，高1米。这样一个毡房里面的空间大约是多少立方米？
【正确答案】（1）50千米；（2）263.76立方米
【解题思路】（1）根据：实际距离＝图上距离÷比例尺，已知图上距离是3厘米，比例尺是，求出夏明家到世博园的距离，夏明上午8时出发，上午9时30分到达世博园，时间是9时30分－8时＝1.5小时，再根据“速度＝距离÷时间”，即可求出这辆汽车每小时行驶的速度。
（2）哈萨克毡房是一个由圆柱和圆锥组成的房子，它们的底面积相等，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，求出圆柱体积、圆锥体积，它们的和就是这个房子的体积，即可解答。
【详细解答】（1）3÷
＝3×2500000
＝7500000（厘米）
7500000厘米＝75千米
9时30分－8时＝1.5小时
75÷1.5＝50（千米）
答：这辆汽车平均每小时行驶50千米。
（2）3.14×（37.68÷3.14÷2）2×2＋3.14×（37.68÷3.14÷2）2×1×
＝3.14×（12÷2）2×2＋3.14×（12÷2）2×1×
＝3.14×36×2＋3.14×36×
＝113.04×2＋113.04×
＝226.08＋37.68
＝263.76（立方米）
答：这样一个毡房里面的空间大约是263.76立方米。
【考点点评】本题（1）考查比例尺的意义及已知比例尺和图上距离，求实际距离，注意换算单位，再根据：速度＝距离÷时间，解答实际问题。（2）熟练运用圆柱体的体积公式和圆锥体的体积公式的解决实际问题。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年六年级下册数学易错典例
第二单元 比例奥数思维训练二
一、解答题
1．A、B两种商品的价格之比为7∶2，如果它们的价格分别上涨60元后，价格之比为5∶2，这两种商品原来的价格各是多少？
2．小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两只牛各自吃了多少块肥肉？
3．甲、乙两桶油共重95千克，从甲桶中取出它的，从乙桶中取出它的后，两桶油剩下的一样重。原来两桶油各重多少千克？（油桶的质量忽略不计）
4．一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？
5．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？
6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米？
7．一个盒子里有黑棋子和白棋子各若干粒，若取出一粒黑棋子，则余下的黑棋子数与白棋子数之比是9∶7，若放回黑棋子，再取出一粒白棋子，则黑棋子数与余下的白棋子数的比是7∶5，那么盒子里原有的黑棋子数比白棋子数多几粒？
8． 2021年10月16日0时23分，长征二号运载火箭成功将神舟十三号飞船送往太空；2022年4月16日神舟十三号飞船成功降落。
在比例尺的地图上量得神舟十三号飞船的实际降落地点与预定降落地点相差了2.6厘米。那么在的地图上测量，实际地点与预定地点的相差多少厘米？
9．在一幅比例尺为1∶9000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是3厘米。一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，开出1.8小时后两车相遇。已知客车的平均速度为85千米/时，货车的平均速度是多少？
10．在一幅比例尺是的地图上量得、两地的距离是。甲、乙两辆汽车同时从、两地相对开出，经过8小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是，走完这段路程，甲、乙两车分别行驶了多少千米？
11．王大伯要在一块长与宽的比为5∶3的长方形菜地里种大棚菜，用1∶500的比例尺画在图纸上，得到的长方形的周长是32厘米。这块长方形土地的实际面积是多少平方米？
12．操作题。（下图中的每小格表示边长1厘米的正方形）
①过点A做梯形ABCD的高AP，则点P用数对表示是（ ）。
②画出按2∶1将梯形ABCD放大后的图形，放大后的梯形面积是（ ）平方厘米。
13．下面的方格图，每小格边长表示1厘米，请按要求操作。
（1）画出图形A按2∶1放大后的图形。
（2）如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个（ ），它的体积是（ ）立方厘米。
14．作图。
（1）把上图梯形向右平移5格，再用数对表示出平移后顶点A的位置：（ ）。
（2）如果再将这个梯形按2∶1放大，请在右边空白部分画出这个放大后的梯形。
（3）放大后的梯形与放大前梯形的面积比是（ ）。
15．（1）小明家在学校（ ）偏（ ）度的方向上，距离是600米，这幅图的比例尺是（ ）。（图上距离测量结果取整厘米数）
（2）少年宫在小明家正东面的方向上，距离是750米，请在图中画出少年宫的位置。
16．如图是动物园的平面图。
①猴山在孔雀园北偏西米处，大象馆在孔雀园南偏东米处，请在图中画出这两处。
②赵宁和李强分别从猴山和大象馆相向而行，赵宁每分钟行80米，李强每分钟行100米，他们能在孔雀园正好相遇吗？请通过计算说明。（比例尺
17．雕像广场周围环境如下图所示。
（1）在雕像广场南面200米处，有一条商业街与环湖路互相平行，在图中画出直线表示这条街，并标上商业街。
（2）电影院在雕像广场（ ）偏（ ）45°方向的（ ）米处。
（3）小华以每分70米的速度从学校沿着环湖路向西走，3分钟后，他在雕像广场的正（ ）方向（ ）米处。
（4）图书馆在雕像广场西偏北45°方向400米处，请在图中标出图书馆的位置，并标上图书馆。
18．量一量，算一算，画一画。（测量距离取整厘米数；度数取整10度数）
（1）小红家距公园800米，此图的比例尺是（ ）。
（2）小明家在公园的（ ）偏（ ）（ ）°方向上，到公园的实际距离是（ ）米。
（3）医院在公园的东偏北40°方向1000米的地方，请你在图中标出医院的位置。
19．抗击新冠肺炎期间，爷爷需要配制75%的酒精消毒，然而家里只有95%的酒精2400ml。小明利用本学期刚学过的相关知识，决心帮爷爷把家里95%的酒精稀释成75%，需要加水多少毫升的问题。
小明操作如下：
（1）把75%的酒精转化为：酒精与酒精溶液的比是3∶4。
（2）把95%的酒精转化为：酒精与酒精溶液的比19∶20。
接下来，请你帮小明算一算，需要加水多少毫升？
20．2021年4月8日扬州世界园艺博览会在仪征枣林湾盛大开幕，共有室外展园64个，其中包括26座国内城市和企业展园，25个国外城市和国际组织展园，以及13个江苏城市展园。
（1）夏明家住南京鼓楼区，在比例尺为的地图上，量得南京鼓楼区到仪征路程为3厘米，夏明上午8时从南京家中出发，上午9时30分到达世博园，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？
（2）哈萨克毡房给夏明留下了深刻的印象，它独具异域风情，由围墙、房杆、顶圈、房毡，门组合而成，如图所示，主体近似圆柱形，高2米，底面周长大约37.68米，上面是一个近似圆锥的屋顶，高1米。这样一个毡房里面的空间大约是多少立方米？
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