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吉林省精准教学联盟 2025 届高三下学期第二次联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 3 + 4 ，则 的共轭复数的虚部与实部之差为( )
A. 7 B. 7 C. 1 D. 1
2.设数列 为常数列，定义 = 2 ，则“ 是常数列”是“ 是常数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.一圆台的上底面半径为 1，下底面直径为 4，母线长为 5，则内切于该圆台的球体体积为( )
A. 4π B. 4π C. π D. 3 5 3 4 4
9
4.设 为非零实数，若二项式 2 + 展开式中含 3与 6 的项系数相等，则实数 的值为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
5.某班有包括甲、乙、丙在内的 10 名同学被要求同排合影，要求甲、乙、丙三人任意两人不允许相邻.不同
的排列方法有( )
A. 1693440 种 B. 1814400 种 C. 1728000 种 D. 1612800 种
6.某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有 20 个大小和形状均相等的小球，其中有 8 个粉色球，8 个紫色球
和 4 个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为( )
A. 15 B.
2
3 C.
2
5 D.
1
3
7.已知圆 : 2 + 2 = 1，过点 (2,0)的直线与圆 交于 、 两点，且 = ，则| |等于( )
A. 2 B. 32 2 C.
3 2 6
2 D. 2
8.令函数 ( ) = 2ln + 3，再定义 ( ) = ( ) + 1 1 ，函数 ( )满足 ( ) + = ( )， ( )
1
=
( ) 1 ，则 e e =( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 18
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 满足 +1 = ( )，则下列说法中正确的是( )
A.若 1 = 1， ( ) = 5，则 为等差数列
B.若 1 = 2， ( ) = 2 2，则 为等比数列
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C.若 1 = 0， ( ) =
( 1)
，则 的通项公式为 = 2
D.若 1 = 1， ( ) = ( 1) 1，则 为周期为 2 的数列
10.已知函数 ( ) = cos( + ) > 0, > 0,0 < < π 的部分图像如图所示.点 , 为 ( )图象与 轴
的交点，点 为图象最低点(图象上未标出)，且 是面积为 3的等边三角形．已知| | = 3| |，且 ( )
在区间[2,4]上单调递增.下列说法正确的是( )
A. = 1
B. 103 = 0
C. ( ) = 1 在区间[0,6]内有且仅有 3 个实根
D.函数的最小正周期为 4
3 2 2
11.已知两函数曲线 : 2 + 2 = 1 和 : 2 + 3 = 1.点 、 分别为 、 上的动点，原点坐
标为 .下列说法正确的是( )
A.点 、Q 的有 3 个不同的重合坐标．
B.曲线 是偶函数，曲线 是奇函数．
C. | |的最大值为 2 + 2．
D.两曲线与函数 ( ) = 2ln 有且仅有一个共同交点．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某零件的重量 服从正态分布，平均重量为 50 克，检验发现重量在 47 克到 50 克之间的零件占总量的
32%，则这批零件的标准差 = (保留 3 位有效数字)．
13 π.设函数 ( ) = cos + sin ，记 ″( )为 ′( )的导函数，已知 ( )在 = 4处取得极大值，且同时满足
″ 4 < 0，则 = ．
14.已知平面向量内 = (1,2)， = (2,5)， = ( , ).若存在实数 、 使得 = + ，并且 + = 1，
且 = 10.则满足条件的所有( , )的值对集合为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 的外接圆上，过点 做切线 ，与 的延长线交于点 ，且 、 、 在同一圆上．
2
(1) 证明： = ；
(2)若 = 3， = 4， = 6，求点 到 、 两点的距离．
16.(本小题 15 分)
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某校为了激发学生的创新性思维，举办了一场“智能机器人传球大赛”，每班派一名编程代表，操作一台
机器人参与比赛．比赛场地分为两个区域： 区和 区．初始时球放在 区，每次操作通过随机生成 1 至 6
的某一个数字，依据以下规则控制机器人传球：
①若随机数为 1，机器人无法传球，球保持原地不动；
②若随机数为 6，若球在 区，球不动，若球在 区，球被传到另一个区域；
③若随机数为 2、3、4、5，球被传到另一个区域．
(1)已知连续两次操作，求事件“第一次操作后球在 区或第二次操作后球在 区都未发生”的概率；
(2)已知连续三次操作，记随机变量 为“机器人实际完成传球的次数”，求随机变量 的分布列及数学期望．
17.(本小题 15 分)
在一三维平面中，设圆锥顶点为 ，底面圆心为 ， = .在该圆锥内部，存在两个内切球，球心分别为 1、
2，半径分别为 1、 2，分别与一个平面π相切于 1、 2两点，已知平面π截圆锥所得截痕是一个平面曲线 ，

动点 在 上运动，满足 1 21 + 2 = 2 ， = 2 其中 > > 0 为常数，直线 过点 (0, )与曲线 相
交于 、 两点．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若直线 : = + 交轨迹于两点 、 ，证明：| | | |与 无关，并求及值；
(3)若一点 同时满足 1 + 2 = 2 ， 1 2 = ，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = ln 2 + + 1 2ln ．
(1)讨论 ( )的单调性并求其极值；
(2)若 ( )在(0, + ∞)内存在极值，求 的取值范围；
(3)当 取(2)中所求范围内的任意值时，求 ( )的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知 为正三角形，动点 为平面 外一点， 为平面 内一点，已知 = 2， = 3 + ，
且 = 32
．
(1)若 ⊥平面 ，求 到平面 的距离；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥 的外接球 的半径 ；
(3)求点 的运动轨迹．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3.28
13.π4 1
14. 3 3 111 , 1 9 111 , 3+3 111 1+9 11110 10 10 , 10
15.解：(1)设 的外接圆圆心为 ，连接 并延长，交圆 于点 ，连接 ，
则∠ = 90°，故∠ + ∠ = 90°，
又 ⊥ ，即∠ = 90°，所以∠ + ∠ = 90°，
故∠ = ∠ ，
又∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ ，
又∠ 为公共角，所以 ∽ ，

所以 =
= ，
=
2
则 = ，证毕；
(2) (1)
2
由 得 = ，又 = 3， = 4， = 6，
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设 = ，则 = + 6，
3 2 54 54 54 96
所以 +6 = 4 ，解得 = 7，故 = 7， = 7 + 6 = 7．
16.解：(1)记事件 =“第 次操作后球在 区”， =“第 次操作后球在 区”， = 1,2,3．
事件 =“第 次操作后球不在 区”，也即事件 ，故 ( ) = 1 ( )，
则事件“第一次操作后球在 区或第二次操作后球在 区都未发生”可表示为 1 2 = 1 2，
2 1 4 2 5
由题意， ( 1) = 6 = 3， 1 = ( 1) = 6 = 3， 2| 1 = 6，
故由概率乘法公式可得 ( 1 2) = ( 1) (
2 5 5
2| 1) = 3 × 6 = 9．
(2)由题意，机器人实际完成传球的次数 = 0,1,2,3，
其中， = 0 表示事件 1 2 3； = 1 表示事件 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3；
= 2 表示事件 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3； = 3 表示事件 1 2 3，
且 ( +1| ) =
2
3 , ( | ) =
1
+1 3 , (
5
+1| ) = 6 , ( +1| ) =
1
6，
故由概率乘法公式可得，
( = 0) = 13 ×
1 × 1 = 13 3 27；
( = 1) = 1 × 1 × 2 + 1 × 2 × 1 + 2 13 3 3 3 3 6 3 × 6 ×
1
6 =
7
54；
( = 2) = 1 2 5 2 5 1 2 1 5 253 × 3 × 6 + 3 × 6 × 3 + 3 × 6 × 6 = 54；
( = 3) = 2 × 5 × 2 20 103 6 3 = 54 = 27；
故随机变量 的分布列为

0 1 2 3
1 7 25 10
27 54 54 27
故随机变量 的期望 ( ) = 127 × 0 +
7
54 × 1+
25
54 × 2+
10 13
27 × 3 = 6．
2
18.解：(1)要使 ( )有意义，则 + + 1 > 0．
> 0
下面求解该不等式组的解集，即函数 ( )的定义域．
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设 ( ) = 2 + + 1 ，函数 ( )图象开口向上，对称轴为 = 2，
令 ( ) = 0，即 2 + + 1 = 0， = 2 4，其中 (0) = 1 > 0，
≥ 0 ①当 时， 2 ≤ 0，则 ( )在(0, + ∞)单调递增，
当 > 0 时， ( ) = 2 + + 1 > (0) > 0，
故此时定义域为(0, + ∞)；
②当 2 < < 0 时， = 2 4 < 0， ( ) > 0 也恒成立．
故定义域也为(0, + ∞)；
③当 = 2 时， = 2 4 = 0，
2
此时不等式组为 2 + 1 > 0，解得 0 < < 1，或 > 1．
> 0
故定义域为(0,1) ∪ (1, + ∞)；
④当 < 2 时， > 0，方程 2 + + 1 = 0 有两根，
2 2
= 4 + 41 2 , 2 = 2 ，且 1 > 0， 2 > 0，
( ) 0,
2 4 + 2 4
故函数 的定义域为 2 ∪ 2 , + ∞ ；
由 ( ) = ln 2 + + 1 2ln ，
则 ′( ) = 2 + 2 2 2+ +1 = 2+ +1
①当 ≥ 0 时， ≤ 0, 2 < 0, ′( ) < 0．
则 ( )在(0, + ∞)单调递减，无极值；
②当 2 < < 0 2时，0 < < 2， > 0，
令 2 = 0，解得 = 2 > 0，
当 0 < < 2 时，
′( ) < 0， ( )在(0, 2 )上单调递减；
2 2
当 > 时，
′( ) > 0， ( )在 , + ∞ 上单调递增；
2 2
此时 ( )有极小值 ( ) = ln
4
4 ；
③当 = 2 时， ( )定义域为(0,1) ∪ (1, + ∞)，
′( ) = 2( 1) ( 2 2 +1)，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)单调递减；
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当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)单调递增；
( )在 = 1 处无定义， ( )无极值；
④当 < 2 时， > 2 > 0， 2 > 0，
2 4 2 2 =
2 4+4
又 2 2 ，
由 2 4 > 0,4 2 < 0，且( 2 4)2 (4 )2 = 4 2 16 > 0，
2
所以 0 < 42 <
2
；
+ 2 4 2
2
= +
2 4+4
又 2 2 > 0，
+ 2 4 2
所以 2 > > 0，
2 4 2
且当 0 < < 时， ′2 ( ) < 0， ( ) 0,
4
在 2 单调递减；
> +
2 4 2
2 时，
′( ) > 0， ( ) + 4在 2 , + ∞ 单调递增；
此时 ( )无极值．
综上所述，当 ≥ 0 时， ( )在(0, + ∞)单调递减，无极值；
2 < < 0 ( ) (0, 2 ) 2 , + ∞ ln 4
2
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，有极小值 4 ；
当 = 2 时， ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，无极值；
2 2
当 < 2 时， ( ) 0, 4 + 4在 2 单调递减，在 2 , + ∞ 单调递增；无极值．
(2)由(1)可知，要使 ( )在(0, + ∞)内存在极值，则 2 < < 0．
所以 的取值范围为( 2,0)．
(3)由题意， 2 < < 0， ( )的定义域为(0, + ∞)，
且 ( ) 2 2在(0, )上单调递减，在 , + ∞ 单调递增，
2
( )min = (
2
) = ln
4
4 ，
( ) ln 4
2
所以， 的最小值为 4 ．
19.解：(1)由 = 3 + 得， = 3 即 = 3 ，
则点 2 4为 上靠近 的三等分点，由 = 2，则 = 3 , = 3，
由 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
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在 Rt 与 Rt 中，由 = 3 2 ，
2 = 2 4 = 4 2 16则有 9 3 9，解得
2 = 4，
4 4
故 = 2 9 = 4 9 =
4 2
3 ，即点 到平面 的距离．
(2)设外接球球心为 ， 的外接圆圆心为 1，半径为 1； 的外接圆圆心为 2，半径为 2，
连接 1, 2, , 2 ，则 1 ⊥平面 ，且 2 ⊥平面 ，
由 2 3 2 3为正三角形，则 1 = 3 × 2 = 3 ；
在 中， = = 2, = 4 33 ，
2
22+22 4 3 2
则 cos∠ = 3 1 1 2 22×2×2 = 3，则 sin∠ = 1 3 = 3 ，
4 3
2 = = = 1 × 3 = 6由 2 sin∠ ，可得 2 2 2 2 2 2 ，
3
取 中点 ，连接 2 ，则 2 ⊥ ，且 , 1, 三点共线， 1 ⊥ ，
由 ⊥平面 ， 平面 ，则平面 ⊥平面 ，
平面 ∩平面 = ， 1 平面 ，
则 1 ⊥平面 ，故 1 // 2，
6 2 2
同理得， 2 // 1，故四边形 2 1为平行四边形，所以 21 = 2 = 2 1 = 2 1 = 2 ，
则外接球半径 = 21 + 2
1 4 66
1 = 2+ 3 = 6 ．
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(3)以 为坐标原点，分别以 , , 2所在直线为 , , 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ( 1,0,0), (1,0,0)，设 ( , , )，
由
2
= 3 得 = 3
2
2 4 ，
坐标代入得( + 1)2 + 2 + 2 = 34 ( 1)
2 + 2 + 2 ，
整理得( + 7)2 + 2 + 2 = 48，又点 在平面 外，故 ≠ 0，
故动点 的轨迹为以( 7,0,0)为球心，4 3为半径的球面(不包含在坐标平面 上的圆)．
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