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2025年湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学高考模拟押题卷
数学试卷(二)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若“ ∈ , 2 + 2 > 0”是真命题，则实数 的取值范围为( )
A. 2 2, 2 2 B. 2 2, 2 2 C. ( 2,2) D. [ 2,2]
2.已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，则该圆锥的表面积为( )
A. 9π B. 12π C. 16π D. 24π
3 ( ) = 3cos + π ( > 0) 2π π π.已知函数 6 的最小正周期为 3 ，则 ( )在 6 , 6 上的最大值为( )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
4.若(2 + )5的展开式中的各项系数和为 243，则该展开式中 3的系数为( )
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
5.已知向量 = (1,0)，向量 在向量 上的投影向量是 4 ，且 + ⊥ ，则 =( )
A. 14 B.
1
4 C. 2 D. 2
6.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也
2sin18 5 1可以用 表示，即 2 = 2sin18°，则cos
254° =( )
A. 5+1 B. 5 18 4 C.
5 5 5 5
4 D. 8
7.已知函数 ( ) = sin + e e ，若 = ( 2), = 12 , = ln2 ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
2
8 .已知椭圆 : 3 +
2 = 1 的右焦点为 ，过点 作两条相互垂直的直线分别与 相交于 ， 和 , ，则四边
形 面积的最小值为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 52 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .对于集合 、 ，定义运算： / = ∈ 且 ， = ∪ .若 = 1,2,3,4 ， = 3,4,5,6 ，
则( )
A. / = 5,6 B. = 1,2,5,6
C. = ∪ D. ≠ ∩
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10.已知定义在 上的函数 ， ，其导函数分别为 ′ ， ′ ， 1 = 6 ′ 1 ， 1
′ 1 + = 6，且 + 2 为奇函数，则( )
A. 的图象关于 = 1 对称 B. ′ + 6 = ′
C. ′ 6 = ′ 2 D. 2021 + 2023 = 12
11.在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ , 1 = = = 2，则( )
A. π异面直线 1 与 1 1所成的角为4
B.若点 在线段 1 上运动，则 + 1 的最小值为 2 3
C.点 在侧面 1 1上运动，点 在棱 上运动，若直线 1 , 是共面直线，则点 的轨迹长度为 2 2
D.若 , 分别为 1 1, 1的中点，则平面 截三棱柱 1 1 1所得截面的周长为 2 5 +
2 17
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 1 + 2 = 2 + i, 1 2 = 2 + i，则 3 1 + 2 2 = ．
13 1 1.已知奇函数 ( )为 上的单调递增函数，且当 > > 0 时， ( 1) = ( 1)，则 + +1的最小值
为 ．
14.“∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线 过坐标原点 ,
上的点到两定点 1( 3,0), 2(3,0)的距离之积为 9.若
9
上第一象限内的点 满足 1 2的面积为2，则
1+ 2 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列 是等差数列， 2 = 4, 4 = 10．
(1)求 的通项公式；
(2) 1设数列 的前 项和为 ，求 ． +1
16.(本小题 15 分)
在电影《哪吒 2》上映后，某电影公司为了解观众对该部电影的喜欢程度与性别的关系，随机抽取了 200
名观众进行调查，得到如下 2 × 2 列联表：
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喜欢程度
性别 合计
不喜欢 喜欢
男性 20 100
女性 60 100
合计
(1)请完成 2 × 2 列联表，并根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，能否认为性别与喜欢程度有关联？
(2)将喜欢电影《哪吒 2》的观众称为“吒迷”，为了解他们的观后感，从“吒迷”中按性别用分层抽样的
方法随机抽取 7 名观众，然后再利用随机抽样的方法抽取 4 人做进一步调研，记抽出的 4 人中女性的人数
为 ，求 的分布列和数学期望．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．

0.1 0.05 0.01 0.001

2.706 3.841 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左 右焦点分别为 1( , 0), 2( , 0)，短轴的一个端点为 ，且 1 2
为等边三角形，直线 3 + 4 + 6 = 0 与圆 2 + ( )2 = 2相切．
(1)求 的方程；
(2)是否存在过点 (0,2)的直线 与 相交于不同的两点 , ，且满足 = 2( 为坐标原点)？若存在，
求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
如图①，正方形 的边长为 2, 是 的中点，点 在边 上，且 ⊥ .将 沿 翻折到 的
位置，使得平面 ⊥平面 ，如图②．
(1)证明： ⊥ ；
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(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
19.(本小题 17 分)
给出如下定义：已知两个函数 ( )和 ( )，集合 为这两个函数公共定义域的一个连续的非空子集，如果对
于任意的 ∈ ，都有 ( ) ≤ ( ) ≤ ( )，则称函数 ( )为 ( )和 ( )在集合 上的一个“隔离函数”．
(1)若 1( ) = 1
1 2
, 2( ) = ln , 3( ) = , = (0, + ∞)，且其中一个函数为另外两个的“隔离函数”，
请作出判断并证明你的结论；
(2)若 ( ) = ln , ( ) = , ( ) = 2sin cos , = 0, π ，且 ( )是 ( )和 ( )在 上的“隔离函数”，
求实数 的取值范围；
(3)若 ( ) = 2 2 8, ( ) = πsinπ + π sinπ + cosπ 1( 3其中 0 < | | < 2 )， ( ) = cosπ 1, =
[ , ] [ 2,2]，其中 ( )是 ( )与 ( )在 上的“隔离函数”，证明： ≤ 2 3．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.43
14.6
15.【详解】(1)由 2 = 4, 4 = 10 可得 4 2 = 6，故公差 = 3，
所以 = 2 + ( 2) = 4 + 3( 2) = 3 2，
(2) 1 1 1 1由于 = (3 2)(3 +1) = 3 3 2
1
+1 3 +1
，
故 =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 4 + 3 4 7 + + 3 3 2 3 +1 = 3 1 4 + 4 7 + + 3 2 3 +1
1 1
= 3 1 3 + 1 = 3 + 1
16.【详解】(1)依题意，2 × 2 列联表如下：
喜欢程度
性别 合计
不喜欢 喜欢
男性 20 80 100
女性 40 60 100
合计 60 140 200
零假设 0：性别与喜欢程度无关联，
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2 = 200(20×60 40×80)
2 200
根据列联表中的数据，经计算得到 60×140×100×100 = 21 ≈ 9.524 < 10.828，
依据小概率值 = 0.001 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
因此可以认为 0成立，即认为性别与喜欢程度无关联．
(2) 80依题意，抽取的 7 人中，男性人数为：7 × 80+60 = 4 人，女性人数为 3 人，
的所有可能取值为 0,1,2,3，
( = 0) = C
4
4 = 1
1 3 2 2 3 1
则 4 35 , ( = 1) =
C3C4 = 124 35 , ( = 2) =
C3C4 18
4 = 35， ( = 3) =
C3C4 = 4，
C 47 C7 C7 C7 35
所以 的分布列为：

0 1 2 3
1 12 18 4
35 35 35 35
数学期望 ( ) = 0 × 135 + 1 ×
12 18 4 12
35 + 2 × 35+ 3 × 5 = 7．
17.【详解】(1)由 1 2为等边三角形，可得： 1 = = 2 = 1 2 ，
又直线 3 + 4 + 6 = 0 与圆 2 + ( )2 = 2相切，
|4 +6|
可得： 5 = ，化简可得：4 + 6 = 5 ，
联立 = 2 ，可得 = 2, = 1，
则 2 = 3，
2 2
所以椭圆 的标准方程是 4 + 3 = 1．
(2)当直线 的斜率不存在时， 0, 3 ， 0, 3 ， = 3，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，如图，设直线 的方程为 = + 2， 1, 1 ， 2, 2 ，
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2 +
2
由 4 3 = 1消去 整理得： 3 + 4 2 2 + 16 + 4 = 0，
= + 2
由Δ = (16 )2 16 3 + 4 2 > 0 解得 < 1 12或 > 2，
由韦达定理得： 1 + 2 =
16 4
3+4 2， 1 2 = 3+4 2，
2
∴ = 1 2 + 1 2 = 1 2 + ( 1 + 2)( 2 + 2) = 1 + 2 1 2 + 2 + + 4 =
4 1+
1 2 3+4 2
32 2 16 12 2
3+4 2 + 4 = 3+4 2 ，
2
∵ = 2，∴ 16 12 3+4 2 = 2，解得 =±
2
2 ，满足 > 0，
2
所以存在符合题意的直线，其方程为 =± 2 + 2．
18.【详解】(1)证明：因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，由折叠得 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)在平面 中，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
2 5 5
由勾股定理得， = 5, = , = ，所以 5 5 =
1
5 ，
以 为原点，以平面 内过点 垂直于 的方向为 轴，直线 方向为 轴，过点 垂直于平面 的方
向为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 (0,0,0), (2,1,0), (2, 1,0), 2 , 1 , 2 55 5 5 ，
则 = 8 , 4 , 2 5 ， = 8 , 6 , 2 55 5 5 5 5 5 ，
因为 △ 1 1，所以 = 2，则 2 , 1,0 ，
1
由(1)知，平面 的一个法向量为 = 2 , 1,0 ，
设平面 的一个法向量为 1 = 1, 1, 1 ，
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1 =
8 4 2 5
则 5
1 5 1 5 1 = 0，取 1 = 1 则 1 =
5
4 , 0,1 ， 1 =
8
5 +
6 2 5
1 5 1 5 1 = 0
5
则 cos < 1, > = 8 =
21
21 ，5× 212 4
所以平面 与平面 21夹角的余弦值 21 ．
(3)在平面 中，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以 的长即为点 到平面 的距离，
Rt cos∠ = 在 中， =
2 = 2 55 5 ，
所以 cos∠ = cos∠ = 2 5 4 55 = 2 = 5 ，
所以点 到平面 4 5的距离为 5 ．
19.【详解】(1)函数 2( )为 1( )和 3( )在集合 上的一个“隔离函数”，证明如下：
设 ( ) = 1( ) ( ) = 1
1
2 ln ， > 0，
′( ) = 1 1 = 1 则 2 2 ，
令 ′( ) < 0，得 > 1；令 ′( ) > 0，得 0 < < 1，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
1
所以 ( ) = 1 ln ≤ (1) = 0，
即 1( ) ≤ 2( )，当且仅当 = 1 时等号成立；
设 ( ) = 2( ) 3( ) = ln 2 + ， > 0，
2
′( ) = 1 2 + 1 = 2 + +1 (2 +1)( 1)则 = ，
令 ′( ) < 0，得 > 1；令 ′( ) > 0，得 0 < < 1，
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所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
则 ( ) = ln 2 + ≤ (1) = 0，
即 2( ) ≤ 3( )，当且仅当 = 1 时等号成立．
综上所述，对于任意的 ∈ = (0, + ∞)，都有 1( ) ≤ 2( ) ≤ 3( )，
则函数 2( )为 1( )和 3( )在集合． .上的一个“隔离函数”．
(2)因为 ( )是 ( )和 ( )在上的“隔离函数”，
则对于任意的 ∈ = 0, π ，都有 ( ) ≤ ( ) ≤ ( )，
即 ln ≤ ≤ 2sin cos ．
ln
①由 ln ≤ ，即 ≥ ，
设 ( ) = ln ∈ 0, π 1 ln ， ，则
′( ) = 2 ，
令 ′( ) > 0，得 0 < < e；令 ′( ) < 0，得 e < ≤ π，
所以函数 ( )在 0, e 上单调递增，在 e, π 上单调递减，
( ) = ln 则 ≤ e =
1 1
e，则 ≥ e；
②由 ≤ 2sin cos ，即 2sin cos ≥ 0，
设 ( ) = 2sin cos ， ∈ 0, π ,
则 ′( ) = 2cos cos sin = cos + sin ，
设 ( ) = cos + sin ， ∈ 0, π ，则 ′( ) = cos ，
∈ 0, π当 时， ′2 ( ) > 0；当 ∈
π
2 , π 时，
′( ) < 0，
π π
所以函数 ( )在 0, 2 上单调递增，在 2 , π 上单调递减，
又 (0) = 1 π = π， 2 2 ， π = 1 ，
当 ≤ 1 π时，1 > 0，2 > 0， 1 ≥ 0，
则 ( ) = ′( ) ≥ 0，即 ( )在 0, π 上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 0，符合题意；
π
当 1 < ≤ 1 时，1 ≥ 0，2 > 0， 1 < 0，
故存在 0 ∈
π
2 , π ，使得
′
0 = 0 = 0，
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当 ∈ 0, 0 时， ′( ) > 0；当 ∈ 0, π 时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在 0, 0 上单调递增，在 0, π 上单调递减，
又 (0) = 0， π = π(1 ) > 0，则 ( ) > 0，符合题意；
当 > 1 时， π = π(1 ) < 0，不满足 ( ) ≥ 0，不符合题意，
所以要使 ≤ 2sin cos ，则 ≤ 1．
1
综上所述，实数 的取值范围为 e , 1 ．
(3)因为 ( )是 ( )和 ( )在上的“隔离函数”，
则对于任意的 ∈ = [ , ] [ 2,2]，都有 ( ) ≤ ( ) ≤ ( )．
当 1 ≤ < 32时，由 ( ) ≤ ( )，则 2
2 8 ≤ πsinπ + π sinπ + cosπ 1，
即 2 2 + πsinπ π sinπ + cosπ + 7 ≤ 0，
则 = πsinπ 2 + 8 π sinπ + cosπ + 7 ，
设 ( ) = πsinπ 2 + 8 π sinπ + cosπ + 7 ，
则 ′( ) = 2π3sinπ + 8π cosπ ，
又 1 ≤ < 3 3π2，则π ≤ π < 2，sinπ ≤ 0，cosπ < 0，则
′( ) < 0，
所以函数 ( )在 1, 3 32 上单调递减，又 2 = π
2 12π + 56 > 0， (1) = 48，
则 0 < π2 12π + 56 < ( ) ≤ 48，
设不等式 2 2 + πsinπ π sinπ + cosπ + 7 ≤ 0 的解集为 1, 2 ，
= πsinπ , = πsinπ + 则 1 4 2 4 ，
48
则 ≤ 2 1 = 2 ≤ 2 = 2 3；
当 0 < < 1 时， ( 1) ( 1) = 2 πsinπ + π sinπ + cosπ 1 = πsinπ π sinπ cosπ
1，
由于 0 < < 1，则 0 < π < π，则 sinπ > 0， 1 < cosπ < 1，
则 ( 1) ( 1) < 0，因此 1 ( , )，
因为[ , ] [ 2,2]，所以 ≤ 2 + 1 = 3 < 2 3；
0 < < 3则 2时，都有 ≤ 2 3，
由于 ( ) = 2 2 8， ( ) = cosπ 1 都为偶函数，
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因此当 32 < < 0 时， ≤ 2 3成立．
综上所述， ≤ 2 3．
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