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山东省泰安市2025届高三三模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学第一个解答题的得分情况如下：，，，，，，则这组数据的平均数和极差分别为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.正方形中，，，设，，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中项的系数为( )
A. B. C. D.
6.对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量单位：万件整理成如下表格：
月份
销量
建立与的线性回归方程为，则第个月和第个月的残差和为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为( )
A. B. C. D.
8.设双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一动点，则到轴的距离与到，距离之和的比值( )
A. 恒为定值 B. 恒为定值
C. 不为定值但有最小值 D. 不为定值但有最大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公比为的等比数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
10.定义复数运算：，已知，若复数满足，则( )
A. 可以是
B. 的最小值为
C. 在复平面内对应的点不可能位于第二象限
D. 的实部是
11.定义域为的函数满足：，的图象过点，则
A. B. 为偶函数
C. 的图象关于点中心对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知中，，，，则 ．
13.数列的通项公式为，则 ．
14.若函数满足：存在整数，实数，使得，则称是“滞后的”已知函数，不是“滞后的”，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，圆．
若两条相邻的对称轴与相切，求；
若，是的极值点，且点有且仅有两个在的内部，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
探究是否为的极大值点．
17.本小题分
乒乓球比赛规则规定：在双方打成平后，领先两分者获胜在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了平已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为．
求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；
求乙同学最终获胜的概率．
18.本小题分
已知为抛物线：的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于，两点，点在第一象限，过点作直线的垂线，交轴正半轴于点，直线交直线于点记，，的面积分别为，，．
求的准线方程；
证明：；
求的最小值及此时点的坐标．
19.本小题分
如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且，，平面．

证明：平面平面；
求四棱锥体积的最大值；
当时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
参考答案
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15.解：由题，相邻对称轴间的距离为，又圆的直径为，则，得，
又圆心，所以其中一条对称轴为，
，得，，又，．
若，则的极值点满足，，得，，
又圆与轴交点分别为，
所以原题设等价于有且仅有个的值满足，
整理得，故能且仅能取两个值，
所以，解得．
16.解：当时，，，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
易得，
假设是的极大值点，则，即，
化简得，
当时，，
当时，，，只有当时，上式成立，
故，当时，，则，
但由假设知是的极大值点，
于是由极大值的定义知存在，使得时，，与假设矛盾．
所以不是的极大值点．
17.解：在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球，
设事件为“再打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”，
则，，
故．
设事件为“乙赢了本局”，事件为“乙赢了上一局”，
设事件为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为时，最终乙同学获胜”，
当时，乙肯定赢了上一局，此时，若赢球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜的概率为，
所以，
同理，当时，乙肯定输了上一局，此时，若输球则输掉比赛，若赢球则获胜的概率为，
所以，
当时，若乙赢了上一局，此时，若赢球则获胜的概率为，
若输球则获胜的概率为，
所以，
若乙输了上一局，，
同理可得，
又初始，故乙同学最终获胜的概率等价于，
所以，解得．
所以乙同学最终获胜的概率为．
18.解：点满足，则，解得．
故抛物线，
准线方程：．
设直线，，，联立
得，故，，
由抛物线定义有，，则，即，得证．
令，则，令，则，即，，
由于，且直线的斜率，
故直线，即，
则点横坐标，由，可得直线，
联立，解得点纵坐标，
因此，，
记，，则，
故在区间上单调递减，在上单调递增，
因此当时，取到最小值，此时
19.解：由题，四边形在球的一个圆面的圆周上，故，
又，故，故，
由平面，平面，得，
又，平面，平面，
故平面，
又平面，故平面平面．
作，由平面平面，平面平面，平面，可得平面，
记四棱锥的体积为，
则，
而，
由平面，则，故，
于是，当且仅当时，取等号，
由，得，
，由，得，
故，当且仅当取等号，
于是，
故．
故四棱锥体积的最大值为．

取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，则，，
故，解得，故，
记与轴交于点，易知，而，
故可设点，其中，
于是，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则
，
由辅助角公式得，
所以，
当，时，等号成立，
故直线与平面所成角的正弦值的最小值为．


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