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甘肃省天水市部分学校2025届高三第三次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，，其中为虚数单位则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，若正实数满足，则的取值范围为( )
A. B. 或
C. 或 D.
5.已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则( )
A. B. C. D.
6.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则( )
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为
C. 函数的最大值为
D. 函数的最小值为
7.已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率单位：心跳次数与体重单位：的次方成反比．若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为次，的脉搏率是次，则的体重为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩单位：厘米如下：
甲组：，，，，，，，，，，，
乙组：，，，，，，，，，
则下列说法正确的是( )
A. 甲组数据的第百分位数是
B. 乙组数据的中位数是
C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为
D. 甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高
10.在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是( )
A. 若，则为等腰或直角三角形．
B. 若 ，则为直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若 ，则
11.已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是( )
A. 最小正周期为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列中，已知，则的前项和为 ．
13.年为我省新高考综合改革实施第二年，为进一步提升高考备考业务能力，考虑派八中、九中、十中、新阳、职中、新梦想六所学校的校长去江苏省、河北省、湖北省、重庆市四个地方培训，每个地方至少有一名校长去培训，但八中校长和九中校长不能在同一个地方培训，则不同的分配方案有 种．
14.如图，正方形的边长为，分别以边和的中点，为圆心画弧和，以直线为轴旋转，弧，和线段，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点．
求证：平面；
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
国产动画电影哪吒之魔童闹海现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录下表截取了该电影上映后日的单日累计票房：
日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日
日期代码
累计票房亿元
日期 月日 月日 月日
日期代码
累计票房亿元
请根据这日数据：
计算，的平均值，；
求关于的经验回归方程；
用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？
附：
参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
参考数据：，．
17.本小题分
已知函数．
求的图象在点处的切线方程；
求函数的极值；
证明：对任意的，有；
18.本小题分
椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，证明：与的和为定值．
19.本小题分
已知数列的首项，且满足，的前项和为．
证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
当时，恒成立，求实数的取值范围；
在数列中，，，求数列的通项公式及．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：取的中点，连接，，如图．
，是，的中点，
，且．
，且，
，且
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
取，则．
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
16.【详解】由题意，，
，
，
则，
，
所以关于的经验回归方程为．
由知，，
当时，，
则预测该电影上映半年后的票房为亿元，
这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，
随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，
而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，
不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，
所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的．
17.【详解】求导，令，则且．
运用点斜式，化简得到．
因为，
令，则，
又因为，，单调递减；
，，单调递增；
所以的极小值为，无极大值．
令，
可得，令，
，，单调递增，，
，，单调递减；
，，单调递增；
所以，
所以，
所以，即得，
所以．
18.【详解】由椭圆上顶点为，得，
由椭圆的离心率为，得，解得，
所以椭圆的方程为：．
当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由消去得：，
，解得或，
，，
因此，
当直线斜率不存在时，由，得，
不妨令，则，
所以与的和为定值．

19.解：，
，
即，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，．
，
，
由，得，，
在时恒成立，，
当且仅当时取等，此时解得，
所以实数的取值范围是．
由，，
，
数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，
偶数项为以为首项，为公比的等比数列，
设，
，
两式相减得，
，
所以．

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