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2024-2025学年广东省佛山市H7联盟高二下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.三个不同的盒子中分别装有张不同的白色卡牌、张不同的黑色卡牌、张不同的绿色卡牌，某人从这三个盒子中任意取出张卡牌，则不同的取法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.质点按规律做直线运动位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的
A. B. 倍 C. D. 倍
3.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则
A. B. C. D.
5.在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为
A. B. C. D.
6.现需要给一个四棱锥的五个顶点涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求相邻顶点在同一条棱上的两个顶点不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案种数为
A. B. C. D.
7.函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为
A. B.
C. D.
8.从，，，，，中任选个不同的数字组成一个四位数，若这个四位数是偶数，则个位、十位和百位上的数字之和为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则
A. B.
C. D.
10.已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 过点且与曲线相切的直线有且只有一条
11.已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是( )
A. 数列是等比数列
B.
C. 数列是等比数列
D. 若恒成立，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为________用数字作答．
13.将本不同的书包括本数学书和本英语书平均分给甲、乙、丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是________用数字作答
14.已知函数在上单调递增，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数 ，曲线在点处的切线方程为．
求，的值；
证明：．
16.本小题分
已知是等差数列的前项和，且．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知．
求的值；
求的值；
证明：能被整除．
18.本小题分
甲、乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立．由抽签确定第次答题的人选，第次答题的人是甲、乙的概率各为．
已知第次甲答题，求甲答对题目的概率；
求第次答题的人是乙的概率；
求第次答题的人是甲的概率．
19.本小题分
已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“好函数”．
若函数是上的“好函数”，求整数的值．
已知函数．
(ⅰ)讨论的零点个数；
(ⅱ)已知是的零点，证明：是上的“好函数”．
参考答案
1.
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4.
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6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题可知，则，解得．
又，所以点在切线上，故．
证明：由知，定义域为，．
当时，，则在上单调递减
当时，，则在上单调递增．
所以，故．
16.解：设等差数列的公差为由，
可得，两式相减可得，
所以，即．
当时，，解得，
所以，故的通项公式为．
，则，
则，
得，
得
，故
17.解：的展开式中的系数为，
所以，解得．
解：令，得，
令，得，
两式相减得．
证明：，
，
所以能被整除．
18.解：甲答对题目的概率为．
乙答对题目的概率为，
记“第次答题的人是甲”为事件，“第次答题的人是乙”为事件，
所以．
设，依题可知，，
则，
即，
设，解得，则，
又，，所以是首项为，公比为的等比数列，
即，．
19.解：易知在上单调递增，且，
则是唯一的零点．
因为是上的“好函数”，且，
所以在上恒成立，即．
因为在上单调递增，且，，，
所以整数．
解：因为，且，
所以的零点个数等价于函数在上的零点个数．
当时，，没有零点．
当时，，令，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
又，
所以当时，，此时没有零点
当时，，此时有一个零点
当时，，又，，，
所以结合的单调性可知，
在和上各恰有一个零点，
即在上存在一个零点，在上存在一个零点．
综上，当时，没有零点
当时，有一个零点
当时，有两个零点．
证明：若，由可知，在上没有零点，且，
则在上单调递增，，且
因为，
所以．
设函数，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故．
故当时，
若，由可知，在上存在一个零点，
即在上存在唯一的极大值点，
故当时，
由可知，，且，
则当时，．
又因为，且在上单调递增，
所以存在唯一的零点，且满足．
设函数，
则，
由上可知，在上单调递减，且，
则，此时
综上，由可知，当时，，
故是上的“好函数”．
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