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2024-2025学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合则集合的子集的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.不等式成立的一个必要不充分条件是( )
A. 或 B. C. 或 D.
6.玻璃杯成箱出售，每箱只，假设各箱含，，只残次品的概率分别为，，，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为( )
A. B. C. D.
7.互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：，则( )
A. B.
C. D.
8.将六枚棋子，，，，，放置在且一端固定的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色颜色不必全部选用，要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子，的颜色必须相同，则一共有 种不同的放置与上色方式
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为且，去除其中两个点和后，得到新的回归直线的则下列说法正确的是附：样本点的残差( )
A. 相关变量具有正相关关系
B. 去除点后的回归直线方程为
C. 去除点后，随值增加相关变量值增加速度变小
D. 去除点后，样本点的残差为
10.下列说法正确的有( )
A. 的最小值为
B. 已知，则的取值范围是
C. 已知，则的最小值为
D. 已知，则最小值为
11.某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时( )
A. 甲队积分为分的概率为
B. 不可能出现恰有三支球队积分相同的情况
C. 甲队胜场且乙队胜场的概率为
D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，，且，，则 ．
13.甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影哪吒，恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 ．用数字作答．
14.已知，若存在实数，使得成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于；
条件：展开式中第项的二项式系数是；
条件：展开式中第项与第项的二项式系数相等．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式若________，求：
求和展开式中二项式系数最大的项；
从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法有理项指所有字母的指数恰好都是整数的项
16.本小题分
已知函数．
当时，解关于的不等式；
若不等式对于任意恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段在随机问卷阶段两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对至岁的人群，按比例随机抽取了份，进行了数据统计，具体情况如下表：
年龄组别 组统计结果 组统计结果
经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车
人 人 人 人
人 人 人 人
人 人 人 人
先用分层抽样的方法从上述人中按“年龄是否达到岁”抽出一个容量为人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．
求这人中“年龄达到岁且偶尔使用单车”的人数；
为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会会后共有份礼品赠送给其中人，每人份其余人员仅赠送骑行优惠券已知参加座谈会的人员中有且只有人来自组，求组这人中得到礼品的人数的分布列和数学期望；
根据已有数据，完成下列列联表单位：人，并判断是否在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为“经常使用共享单车与年龄岁有关”？
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到岁
达到岁
合计
参考公式：其中．
参考数据：
18.本小题分
对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是．
求集合的所有非空子集的交替和的总和；
已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和；
已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和．
19.本小题分
“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．
某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了次的概率．
小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为．
若，求；
当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值．
取
参考答案
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15.解：由二项式的展开式的通项为，
若选条件：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于，可得，
因为，次数不存这样的，不符合题意；
若选条件：展开式中第项的二项式系数是，即，可得，
若选条件：展开式中第项与第项的二项式系数相等，可得，此时，
所以二项式，可得展开式中二项式系数最大的项为第项和第项，
即和．
解：由二项式的展开式的通项为，
当时，可得展开式为有理项；当时，可得展开式为无理项，
从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，
可分为两类：一项为有理项，两项为无理项或两项为有理项，一项为无理项，
当一项为有理项，两项为无理项时，有；
当两项为有理项，一项为无理项时，有，
综上可得，共有不同取法．

16.由，则，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为或；
当，即时，解集为；
由题设，时恒成立，
所以，又，
所以上恒成立，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以．

17.由题意有：从人中抽取人，其中“年龄达到岁”的有人，
再将这人用分层抽样法按是否经常使用单车进行名额划分，其中“年龄达到岁且偶尔使用单车”的人数为人
组这人中得到礼品的人数的可能取值为，，，，
所以，所以的分布列为
所以，
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到岁
达到岁
合计
所以，
所以在犯错误的概率不超过的前提下没有把握认为“经常使用共享单车与年龄岁有关”．

18.集合的非空子集有，
根据题意，集合的交替和分别为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为．
集合的所有非空子集中，考虑数字在子集中出现的情况，
相当于从剩下的个元素中选取若干个元素与组成子集，那么出现的次数为次
同理，每个元素出现的次数为次，
所以，集合所有非空子集的元素和的总和为．
集合，其非空子集有个，
将这些非空子集分为类：第一类，含元素的单元素集，有个，其“交替和”为；
第二类，含元素的多元素集合至少两个元素，有个；
第三类，不含元素的非空集合，有个，
将第二类中的集合与第三类中的集合集合中的元素去掉元素构成的新集合配对，
则集合与集合的“交替和”的和始终为，
如取，则，集合与集合的“交替和”的和为，
这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为．

19.设表示共抽了次，对应事件为第一、二次都抽到，第三次抽到，
由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为，
所以，
而最后一次抽到的情况有抽了次、抽了次、抽了次、抽了次，
除了最后一次，其它抽到，故对应概率依次为、、、，
所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了次的概率为．
这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况，
要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置，有种情况，
综上，所求概率为；
记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则，
由全概率公式知：，
当时，最适合灯谜在前条中，不会被摘到，此时；
当时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，此时，
所以，
令，则，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
当时，取得最大值，从而的最大值为，此时的值为

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