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2024-2025学年天津市滨海新区汉沽第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，共60分。
1.函数的导数为( )
A. B. C. D.
2.在的二项展开式中，中间一项的二项式系数是( )
A. B. C. D.
3.下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是( )
A. B. C. D.
4.用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上为增函数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.某学校召集高二年级个班级的部分家长座谈，高二班有名家长到会，其余个班级各有名家长到会，会上任选名家长发言，则发言的名家长来自个不同班级的可能情况的种数为( )
A. B. C. D.
7.函数的导函数的图象如图所示，则( )
A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减
C. 为函数的极大值点 D. 是函数的最小值
8.在的展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
9.某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为现从仓库中任抽取个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是( )
A. B. C. D.
10.若离散型随机变量，则和分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
11.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，共40分。
13.在的展开式中，的系数为 ．
14.某次调研测试中，考生成绩服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取名考生，该考生的成绩高于的概率为 ．
15.如图，现有种不同颜色给图中个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法；用数字作答
16.袋子中装有个白球，个黑球，个红球，已知若从袋中每次取出球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为 ，若从中任取个球，用表示取出球中黑球的个数，则随机变量的数学期望 ．
17.已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为 ．
18.所有项的系数和为，则 ；则 ．
19.若对于任意，函数都有，则的最小值为 ．
20.已知函数有零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知二项式，求：
二项展开式第项的二项式系数；
二项展开式第项的系数．
22.为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答已知小明只能答对其中的道，试求：
抽到他能答对题目数的分布列和期望；
求小明至少答对一道题的概率．
23.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
求函数的单调区间和极值；
当时，求函数的最小值．
24.已知函数，
若，求函数的极值；
设函数，求函数的单调区间；
若存在，使得成立，求的取值范围．
参考答案
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17.．
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20.
21.【详解】展开式的通项公式为，
故二项展开式第项的二项式系数为．
二项展开式第项为，
故二项展开式第项的系数为．

22.【详解】由题意可知，
则，，
，，
所以的分布列如下：
．
设小明至少答对一道题为事件
则．
故小明至少答对一道题的概率为．

23.【详解】由题意得在上，故，
而，由题意得，
又，解得，故；
此时，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上为减函数，
且的极大值为，极小值为．
由得当时，单调递增，当时，单调递减，
而，
故当时，函数的最小值为．

24.【详解】当时，，定义域为，
令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值
，定义域为
因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减．
综上：单调递增区间为，单调递减区间为．
存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有
由知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以
当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故．
当，即时，由知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为
令
因为，所以，则，即，不满足题意，舍去
综上所述：的取值范围为
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