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2024-2025学年四川省成都市田家炳中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，，，则这个数列第九项是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则 ．
A. B. C. D.
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.从这五个数字中选出个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为定义在上的奇函数，，且当时，有，则使成立的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.若表示大于的的最小整数，如数列满足，，记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项
C. 展开式的常数项为 D. 展开式中各项的系数和为
10.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的四个区参加规培工作，下列选项正确的是( )
A. 若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法．
B. 若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法．
C. 若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法．
D. 若这名医生只能去两个区参加工作，且这两个区都必须有人去，则共有种不同的安排方法．
11.已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是( )
A.
B. 异面直线和所成角的余弦值为
C. 四棱锥的体积为
D. 与三棱锥各棱均相切的球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.已知数列中，，且满足，则 ．
14.已知函数，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在处取得极值．
求实数的值：
求在区间上的值域．
16.本小题分
在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，．

求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：是等比数列；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知，分别为椭圆的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形．
求椭圆的离心率；
若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程；
在的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若时
Ⅰ函数存在两个极值点，，求的取值范围；
Ⅱ当时，均有恒成立，求整数的最小值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由，则，因为在处取得极值，所以，解得，
此时，则，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极小值，符合题意，则．
由知，，且函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为，值域为．

16.【详解】因为侧面是边长为的正方形，
所以，
因为，
则，因为，
所以，即，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；

以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
则，
设平面的法向量为，
由，可得，令，则，
平面的法向量为，
所以，
又二面角为锐角，所以其余弦值为．

17.【详解】证明：因为，
所以当时，，解得；
当时，，
所以，即，
所以，又．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知，所以，
则，
，
有．
所以

18.【详解】设短轴的端点为，左右焦点为，
由于是直角三角形，所以，结合，
解得，故，
由可得椭圆方程为，
与直线联立可得，
由于直线恰好与椭圆相切，故，解得，
所以椭圆方程为
由于在椭圆上，设，
由可得，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
代入椭圆方程中，消去可得，
则，
由可得
即，
化简得，
由于不在直线上，所以，故，，
故直线的方程为，故过定点，
当直线的斜率不存在时，可得，
代入可得，
结合可得或舍去，
此时直线也经过，
综上可得直线恒经过．
因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长，
又直线恒经过，所以，

19.【详解】的定义域为，，
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，由得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
Ⅰ，
，
令，要使存在两个极值点，，
则方程有两个不相等的正数根，，
所以
解得，所以的取值范围为
Ⅱ由于在上恒成立，
在上恒成立，
令，则在上恒成立，
则，
当时，，
令，则，在上单调递增，
又，，
存在使得，即，，
故当时，，此时，
当时，，此时，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
从而，
令，，则，
在上单调递增，，
又为整数，故，即整数的最小值为．

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