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2024-2025学年新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知的边上有一点，且满足，则( )
A. B. C. D.
3.设，是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
4.已知向量，若向量与平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 四边形的周长为
D. 四边形的面积为
7.为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设，分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是和，，测角仪器的高度是由此可计算出建筑物的高度，若，则此建筑物的高度是( )
A. B. C. D.
8.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D. 若，则
10.已知向量，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为
11.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则在方向上的投影为 ．
13.已知球的表面积与圆锥的侧面积相等，且球的直径为，圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径为 ．
14.在中，分别是角的对边，的面积为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
求；
若，求；
若，且是纯虚数，求．
16.本小题分
在中，分别是角所对的边，且满足．
求角的大小；
设向量，向量，且，判断的形状．
17.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，为直角，为的中点，
当时，用向量，表示向量；
求的最小值，并指出相应的实数的值．
18.本小题分
某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域阴影部分上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面内距离点米的点
处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

求的值；
测得，观光通道每米的造价为元，若景区准备预算资金万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点．
求证：；
求的长；
求证：．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：；
；
设，
则，所以
，
因为是纯虚数，所以
由联立，解得或
所以或．

16.解：因为，
所以，
因为，
所以；
解：因为，，且，
所以，
所以，
所以或舍，
当时，，
所以为直角三角形．

17.解：因为当时，，
所以
因为
，
由于，，，知，
，
因为，所以当时，有最小值，
即有最小值．

18.解：由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
在中，由余弦定理得，
整理得，
解得舍去．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为元，所以总造价低于元，故预算资金够用．

19.解：
证明：法一如图，连接．
分别是的中点，
．
又，
，
．
法二取的中点，连接，
则有，且，
．
又，．
由易知．
证明：法一取的中点，
连接，则有．
又，
．
四边形为平行四边形，，
又，
．
法二取的中点，连接，
则有，且，
．
又，．

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