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2024-2025学年广东省惠州市光正实验学校高二下学期期中考试
数学试卷(B卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数( )
A. B. C. D.
3.设，，向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.正八边形的对角线的条数为( )
A. B. C. D.
6.已知命题，命题，则命题是命题的 条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第 参考数值：；，
A. 名 B. 名 C. 名 D. 名
8.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，则正面朝上出现的频率在内的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若，则正整数的值是
B.
C.
D.
10.若成等比数列，则( )
A. B. C. D.
11.假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌乙品牌其他品牌，表示买到的是优质品，用表示事件发生的概率，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中的系数为 ．
13.若随机变量服从二项分布，，则 ．
14.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间及极值；
求在区间上的最值．
16.本小题分
甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中道题规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题不答视为答错减分，至少得分才能入选．
求乙得分的分布列和数学期望；
求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点是椭圆的顶点．
求抛物线的方程；
过点作抛物线的切线，求切线的方程．
18.本小题分
如图，在多面体中，平面平面四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，点满足．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数；
若直线是曲线在点处的切线，求的最值；
若没有零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数的定义域为，．
令，得或．
当变化时，，的变化情况如表所示．
单调递减 单调递增 单调递减
故的单调增区间为，单调减区间为和．
当时，有极小值；当时，有极大值．
解：由可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为．
又，，，所以在区间上的最小值为．

16.解：设乙答题所得分数为，则的可能取值为，，，，
；；
；
乙得分的分布列如下：
由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件．
则，
，
故甲乙两人至少有一人入选的概率．

17.解：椭圆的离心率为，可得：，即，
由，可得，则椭圆，它的上顶点坐标，
抛物线的焦点是椭圆的顶点，得，抛物线；
设过点作抛物线的切线，则
整理得，，解得或，
所求是切线方程为：或．

18.解：因为平面，，平面，
所以，，
又，故，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

因为，，，，，
所以，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，故，
因为，
即，而平面，
故平面；
设平面的法向量为，
则
解得，令，则，
则，，
，，，
所以，，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：，由题意可得，．
，令，解得，
当时，，当时，，
在上递减，在上递增，
，无最大值．
，
当时，，在上递减，
当趋近于时，，且，
所以在上有个零点，不合题意，舍去；
当时，由易知在上递减，在上递增，
，
由题意可得，设，
在上递增，且，当时，，
所以，满足题意

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