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第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.
教材再回首
1.基本事实1~3
文字语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过　　　　　　　　的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
基本事实2 如果一条直线上的　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有　　　过该点的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l
2.3个推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
推论2 经过两条　　　直线,有且只有一个平面
推论3 经过两条　　　直线,有且只有一个平面
3.空间中两条直线的位置关系
(1)位置关系分类
共面 直线 ①相交直线:在同一平面内,有且只有　　 　　; ②平行直线:在同一平面内,没有公共点
异面 直线 不同在　　　　　　　内,没有公共点
(2)基本事实4和定理
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线　　
定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角　　　　　
4.异面直线所成的角
定义 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的　　　叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 　　　　
垂直 如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直
5.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 　　　 　　　个
平行 　　　 　　　个
在平 面内 　　　 　　　个
平面与平面 平行 　　　 　　　个
相交 　　　 　　　个
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线. (　　)
(2)若两平面α,β有一个公共点,则这两个平面重合. (　　)
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. (　　)
(4)若直线a不平行于平面α,a α,则α内的所有直线与a异面. (　　)
2.(人A必修②P128T2改编)[多选]下列命题是假命题的是 (　　)
A.空间不共线的三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线确定一个平面
D.两两平行的三条直线确定三个平面
3.(苏教必修②P218T9)下列图形中,能确定直线a,b是异面直线的是 (　　)
4.(人A必修②P132T5改编)三个平面最多能把空间分为　　　　部分,最少能把空间分成　　　　部分.
题点一　基本事实的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
|思维建模|
共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明共面方法:
①纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内.
②辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证明其余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(2)证明共线方法:
①先由两点确定一条直线,再证明其他各点都在这条直线上.
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点方法:
先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
[即时训练]
1.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG=P,则点P (　　)
A.一定在直线BD上　　 B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上
2.若P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则在下列图形中,这四个点不共面的一个图形是 (　　)
拓展与建模:求截面的方法
　　在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.
(一)平行线法
　　若截面与几何体的两个平行平面相交或者截面上有一条直线与几何体的某一个平面平行,可以借助两个性质:①如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行;②如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行,利用平行线法作截面.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BB1的中点,画出过A1,D1,P三点的截面,若AB=2,则所画截面图形的面积为　　　　.
(二)延长线法
　　若截面上的点至少有两个点在几何体的一个表面上,可以借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内”,利用延长线法作截面.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,Q分别为AB,BC,AA1的中点,若AB=2,则过E,F,Q的截面图形的周长为　　　　.
(三)直接法
　　若截面上的点都在几何体的棱上,且两两在同一个平面内,可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内”,直接连线作截面.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BB1的中点,画出过A1,C1,P三点的截面.
题点二　空间线、面位置关系的判断
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)已知直线m 平面α,则“平面α∥平面β”是“m∥β”的 (　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是的中点,F是AB的中点,则 (　　)
A.AE=CF,AC与EF是共面直线
B.AE≠CF,AC与EF是共面直线
C.AE=CF,AC与EF是异面直线
D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
|思维建模|
(1)判断空间直线的位置关系,一般有两种方法:一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断;二是利用排除法.
(2)异面直线的判定方法
①反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
此法在异面直线的判定中经常用到.
②判定定理法:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[即时训练]
3.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是 (　　)
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
4.[多选]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,以下四个选项正确的是 (　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线　
|谨记结论|　唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
题点三　求异面直线所成的角
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 　　　　.
|易错提醒|
如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
|思维建模|
用平移法求异面直线所成角的3个步骤
(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.
(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.　
(3)三求:解三角形,求出所作的角.
[即时训练]
5.(2025·桂林联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AC=BC=1,则异面直线A1C与AB所成角的大小是 (　　)
A. B.
C. D.
6.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为　　　　.
第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.不在一条直线上　两个点　一条
2.相交　平行
3.(1)一个公共点　任何一个平面　(2)平行　相等或互补
4.角　
5.a∩α=A　1　a∥α　0　a α　无数　α∥β　0　α∩β=l　无数
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.BCD
3.选C　a,b两直线在平面内无交点,但可能在被平面遮住的部分有交点,故A错误;a,b两直线在平面内无交点,但在平面上方有一个交点,故B错误;a,b两直线在平面内无交点,在平面外也无交点且不平行,故C正确;a,b两直线在平面内有交点,故D错误.
4.8　4
课堂·题点精研
题点一
[例1]　证明:(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线,所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,
所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C,
设A1,C,C1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)因为EF∥BD且EF[即时训练]
1.选B　因为EF∩HG=P,E,F,G,H四点分别是AB,BC,CD,DA上的点,所以EF在平面ABC内,HG在平面ACD内,所以P既在平面ABC内,又在平面ACD内,所以P在平面ABC和平面ACD的交线上,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.
2.选D　A中,由PQ与SR相交,知P,Q,R,S四点共面;B中,由QR与PS相交,知P,Q,R,S四点共面;C中,由PQ∥SR,知P,Q,R,S四点共面;D中,由QR和PS是异面直线,并且任意两个点的连线既不平行也不相交,知四点不共面.
拓展与建模
1.解析:连接A1P,其余面上的交线根据平面的性质寻找,由于A1,D1,P在一个平面内,且两个平面A1ADD1和B1BCC1平行,只要过P作A1D1的平行线就可以了.设CC1的中点为Q,连接PQ和D1Q,即可得到截面A1D1QP.
又由AB=2,得A1D1=2,A1P=,易知截面A1D1QP为矩形,故=2.
答案:2
2.解析:连接EF,得到平面EFQ和平面ABCD的交线,其余面由正方体的性质和平面的性质来判断,延长FE,EF,分别交DA,DC的延长线于G,H,则G,Q都在平面AA1D1D内,连接GQ并延长交A1D1于点P,交DD1的延长线于点S,则S,H都在平面DD1C1C内,连接SH交D1C1于点M,交CC1于点N,连接QE,NF,PM,就得到截面EFNMPQ.易知截面EFNMPQ为正六边形.又AB=2,可得QE=,故截面EFNMPQ的周长为6.
答案:6
3.解:因为此三点在几何体的棱上,且两两在一个平面内,直接连接A1P,A1C1,C1P就得到截面A1C1P.
题点二
[例2]　(1)B　(2)D
(1)由于m α,若α∥β,由面面平行的定义知α与β无公共点,即m与β无公共点,故可以推出m∥β成立,所以是充分条件.反之,若m∥β,平面α与平面β也可能相交,所以不是必要条件.则“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件.
(2)由题意,圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,E是的中点,F是AB的中点,AC 平面ABC,所以EF与平面ABC相交,且与AC无交点,所以AC与EF是异面直线.又CF==,AE==,所以AE≠CF.故选D.
[即时训练]
3.选D　如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A、B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.
4.选CD　因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;取DD1的中点E,连接AE(图略),则BN∥AE,但AE与AM相交,所以AM与BN不平行,故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确.
题点三
[例3]　方法引入:法一:运用直接平移法,作已知直线的平行线,找到异面直线所成的角,并运用余弦定理求解.
法二:运用补形法,将三棱柱补成平行六面体,解法更显直观.
法三:运用向量法,设异面直线AB1与BC1所成角为θ,依法求·,||,||并代入公式cos θ=得解.
解析:法一:平移法　如图所示,作A1O⊥底面ABC,由∠BAA1=∠CAA1=60° 可知,AO为∠BAC 的角平分线,且AO⊥BC,BC⊥平面AA1O,BC⊥AA1,于是BC⊥BB1,四边形BB1C1C 为矩形.
取AC 的中点E,连接B1C 交BC1 于点F,连接EF,BE,则F 为B1C 的中点,EFAB1.
所以异面直线AB1 与BC1 所成的角等于EF 与BF 所成的角,即∠BFE 或其补角.设三棱柱的棱长为2,由题意即可得BE=,EF=AB1=,BF=BC1=.于是cos∠BFE===.故异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为.
法二:补形法　将三棱柱补为平行六面体,再放同样的一个平行六面体,如图所示,∠C1BE或其补角就是异面直线AB1 与BC1 所成的角.
设三棱柱的棱长为1,易得AB1=,即BE=.
在△A1C1E 中,易求C1E=,易得BC⊥AA1,所以BC⊥CC1.从而在△BCC1 中,求得BC1=.在△BC1E 中,cos∠C1BE==.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
法三:向量法　不妨设AB 长为1,因为=++,=+,所以||2=(++)2=2,所以||=.
因为||2=(+)2=3,所以||=.
因为·=(++)·(+)=1,设异面直线AB1 与BC1 所成角为θ,则cos θ===.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
答案:
[即时训练]
5.选C　法一　如图,连接B1C,因为A1B1∥AB,所以∠B1A1C即为异面直线A1C与AB所成的角.因为AA1=AC=BC=1,所以A1C=,B1C=.又因为AC⊥BC,所以AB=A1B1=.在△B1A1C中,A1B1=A1C=B1C=,所以△B1A1C是正三角形,所以∠B1A1C=.
法二　如图,将直三棱柱补形为正方体ACBD-A1C1B1D1,连接BD1,AD1,B1C,则D1B∥A1C,所以异面直线A1C与AB所成的角即直线D1B与AB所成的角,在△D1AB中,D1A=BD1=AB=,所以∠D1BA=,即异面直线A1C与AB所成角的大小是.
6.解析:设BD的中点为O,连接EO,FO,所以EO∥AD,FO∥BC,则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角.所以EO=AD=1,FO=BC=,EF=,在△EOF中,根据余弦定理,得cos∠EOF=
===-,所以∠EOF=150°,从而异面直线AD与BC所成角的大小为30°.
答案:30°(共82张PPT)
第三节
空间点、直线、平面之间的位置关系
明确目标
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.基本事实1~3
文字语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过________________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
不在一条直线上
续表
基本事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
两个点
续表
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β=l，且P∈l
一条
2.3个推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条______直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条______直线，有且只有一个平面
相交
平行
3.空间中两条直线的位置关系
(1)位置关系分类
共面 直线 ①相交直线：在同一平面内，有且只有___________;
②平行直线：在同一平面内，没有公共点
异面 直线 不同在______________内，没有公共点
一个公共点
任何一个平面
(2)基本事实4和定理
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线______
定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____________
平行
相等或互补
4.异面直线所成的角
定义 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把a'与b'所成的____叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 ________
垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直
角
5.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 ________ ___个
平行 ________ ___个
在平 面内 _____ _____个
a∩α=A
1
a∥α
0
a α
无数
续表
平面与平面 平行 ______________ ___个
相交 ______________ ____个
α∥β
0
α∩β=l
无数
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　)
(2)若两平面α，β有一个公共点，则这两个平面重合.(　　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　)
(4)若直线a不平行于平面α，a α，则α内的所有直线与a异面.(　　)
×
×
×
×
2.(人A必修②P128T2改编)[多选]下列命题是假命题的是 (　　)
A.空间不共线的三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线确定一个平面
D.两两平行的三条直线确定三个平面
√
√
√
3.(苏教必修②P218T9)下列图形中，能确定直线a，b是异面直线的是 (　　)
√
解析：a，b两直线在平面内无交点，但可能在被平面遮住的部分有交点，故A错误;a，b两直线在平面内无交点，但在平面上方有一个交点，故B错误;a，b两直线在平面内无交点，在平面外也无交点且不平行，故C正确;a，b两直线在平面内有交点，故D错误.
4.(人A必修②P132T5改编)三个平面最多能把空间分为____部分，最少能把空间分成____部分.
　
8
4
课堂·题点精研
02
[例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面;
证明：如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
B1D1∥BD，所以EF∥BD，
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面.
题点一　基本事实的应用
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线;
证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
证明：因为EF∥BD且EF共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明共面方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内.②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合.
思维建模
(2)证明共线方法：
①先由两点确定一条直线，再证明其他各点都在这条直线上.
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点方法：
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
1.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P (　　)
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
即时训练
√
解析：因为EF∩HG=P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点，所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内，所以P在平面ABC和平面ACD的交线上，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC.
2.若P，Q，R，S分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图形是 (　　)
√
解析：A中，由PQ与SR相交，知P，Q，R，S四点共面;B中，由QR与PS相交，知P，Q，R，S四点共面;C中，由PQ∥SR，知P，Q，R，S四点共面;D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四点不共面.
拓展与建模
求截面的方法
在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题的一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.
(一)平行线法
若截面与几何体的两个平行平面相交或者截面上有一条直线与几何体的某一个平面平行，可以借助两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行;②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P三点的截面，若AB=2，则所画截面图形的面积为_____.
解析：连接A1P，其余面上的交线根据平面的性质寻找，由于A1，D1，P在一个平面内，且两个平面A1ADD1和B1BCC1平行，只要过P作A1D1的平行线就可以了.设CC1的中点为Q，连接PQ和D1Q，
即可得到截面A1D1QP.又由AB=2，得A1D1=2，A1P
=，易知截面A1D1QP为矩形，故=2.
2
(二)延长线法
若截面上的点至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，若AB=2，则过E，F，Q的截面图形的周长为_____.
6
解析：连接EF，得到平面EFQ和平面ABCD的交线，其余面由正方体的性质和平面的性质来判断，延长FE，EF，分别交DA，DC的延长线于G，H，则G，Q都在平面AA1D1D内，连接GQ并延长交A1D1于点P，交DD1的延长线于点S，则S，H都在平面DD1C1C内，连接SH交D1C1于点M，交CC1于点N，连接QE，
NF，PM，就得到截面EFNMPQ.易知截
面EFNMPQ为正六边形.又AB=2，可得QE
=，故截面EFNMPQ的周长为6.
(三)直接法
若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P三点的截面.
解：因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P.
[例2]
(1)已知直线m 平面α，则“平面α∥平面β”是“m∥β”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由于m α，若α∥β，由面面平行的定义知α与β无公共点，即m与β无公共点，故可以推出m∥β成立，所以是充分条件.反之，若m∥β，平面α与平面β也可能相交，所以不是必要条件.则“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件.
√
题点二　空间线、面位置关系的判断
(2)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是 的中点，F是AB的中点，则(　　)
A.AE=CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE=CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
√
解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是 的中点，F是AB的中点，AC 平面ABC，所以EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线.
又CF==，AE==
，所以AE≠CF.故选D.
(1)判断空间直线的位置关系，一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断;二是利用排除法.
(2)异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
此法在异面直线的判定中经常用到.
②判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
思维建模
3.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是 (　　)
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
即时训练
√
解析：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确;如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
4.[多选]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是 (　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线　
√
√
解析：因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误;取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确;同理D正确.
唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
谨记结论
[例3]　在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1
=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______.
方法引入：法一：运用直接平移法，作已知直线的平行线，找到异面直线所成的角，并运用余弦定理求解.
法二：运用补形法，将三棱柱补成平行六面体，解法更显直观.
法三：运用向量法，设异面直线AB1与BC1所成角为θ，依法求·，||，||并代入公式cos θ=得解.
题点三　求异面直线所成的角
解析：法一：平移法　如图所示，作A1O⊥底面ABC，由∠BAA1=∠CAA1=60° 可知，AO为∠BAC 的角平分线，且AO⊥BC，BC⊥平面AA1O，BC⊥AA1，于是BC⊥BB1，四边形BB1C1C 为矩形.
取AC 的中点E，连接B1C 交BC1 于点F，连接EF，BE，则F 为B1C 的中点，EF AB1.
所以异面直线AB1 与BC1 所成的角等于EF 与BF 所成的角，
即∠BFE 或其补角.
设三棱柱的棱长为2，
由题意即可得BE=，EF=AB1=，BF=BC1=.
于是cos∠BFE===.
故异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为.
法二：补形法　将三棱柱补为平行六面体，再放同样的一个平行六面体，如图所示，∠C1BE或其补角就是异面直线AB1 与BC1 所成的角.设三棱柱的棱长为1，易得AB1=，即BE=.
在△A1C1E 中，易求C1E=，易得BC⊥AA1，
所以BC⊥CC1.
从而在△BCC1 中，求得BC1=.
在△BC1E 中，cos∠C1BE==.
故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
法三：向量法　不妨设AB 长为1，
因为=++=+，
所以||2=(++)2=2，
所以||=.
因为||2=(+)2=3，所以||=.
因为·=(++)·(+)=1，
设异面直线AB1 与BC1 所成角为θ，
则cos θ===.
故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角;如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
易错提醒
用平移法求异面直线所成角的3个步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.　
(3)三求：解三角形，求出所作的角.
思维建模
5.(2025·桂林联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1=AC=BC=1，则异面直线A1C与AB所成角的大小是 (　　)
A. B.
C. D.
即时训练
√
解析：法一　如图，连接B1C，因为A1B1∥AB，所以∠B1A1C即为异面直线A1C与AB所成的角.因为AA1=AC=BC=1，所以A1C=，B1C=.又因为AC⊥BC，所以AB=A1B1=.在△B1A1C中，A1B1=
A1C=B1C=，所以△B1A1C是正三角形，所以∠B1A1C=.
法二　如图，将直三棱柱补形为正方体ACBD-A1C1B1D1，连接BD1，AD1，B1C，则D1B∥A1C，所以异面直线A1C与AB所成的角即直线D1B与AB所成的角，在△D1AB中，D1A=BD1=AB=，所以∠D1BA=，即异面直线A1C与AB所成角的大小是.
6.在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为____.
解析：设BD的中点为O，
连接EO，FO，所以EO∥AD，
FO∥BC，
则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角.
所以EO=AD=1，FO=BC=，EF=，
30°
在△EOF中，根据余弦定理，得cos∠EOF=
===-，
所以∠EOF=150°，从而异面直线AD与BC所成角的大小为30°.
数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)
A.l α B.l α
C.l∩α=M D.l∩α=N
解析：∵M∈a，a α，∴M∈α，同理，N∈α.又M∈l，N∈l，则l α.故选A.
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2.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β=c，a α，b β，则“a，b相交”是“a，c相交”的 (　　)
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：若a，b相交，a α，b β，则其交点在交线c上，故a，c相交;若a，c相交，则a，b为相交直线或异面直线.综上所述，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要条件.故选C.
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3.在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是棱AB，PA，AC的中点，则∠DEF= (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：如图所示，因为E，D，F分别为棱AB，
PA，AC的中点，所以DE∥PB，EF∥BC.又因为PB
⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF=90°.故选D.
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4.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有 (　　)
A.1条或2条 B.2条或3条
C.只有2条 D.1条或2条或3条
解析：当平面α过平面β与平面γ的交线时，这三个平面有1条交线;当β∥γ时，平面α与平面β，γ各有1条交线，这三个平面有2条交线;当平面α，β，γ两两相交时，这三个平面有3条交线.
(考虑平面α与平面β，γ的相交情形时，注意做到不重不漏)
故选D.
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5.如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2，O1O2⊥平面ABCD，O1O2=3，AB=5，A1B1=4，则直线O1O2与直线AA1所成角的正切值为 (　　)
A. B.
C. D.
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解析：连接AO1，A1O2，作A1E⊥AO1，垂足为E，则∠AA1E或其补角即为直线O1O2与直线AA1所成的角，
所以AE=AO1-A1O2=-=，
故tan∠AA1E===.故选B.
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6.已知在四面体ABCD中，AD=DC=AC=CB=1，则当四面体ABCD的体积最大时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 (　　)
A. B.
C. D.
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解析：∵AD=DC=AC=1，∴△ACD的面积为定值，∴当CB⊥平面ACD时，四面体ABCD的体积最大.当四面体ABCD的体积最大时，分别取AD，AC，BC的中点E，F，G，连接EF，EG，FG(图略)，则EF∥DC，FG∥AB，∴∠EFG即异面直线AB与CD所成的角或其补角.
(构造平行线，将异面直线所成的角转化为同一平面内两条相交直线所成的角)
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连接CE，∵CB⊥平面ACD，AD=DC=AC=CB=1，∴AB==，EG==1，EF=CD=，
FG=AB=，∴在△EFG中，由余弦定理知cos∠EFG=-，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值是.
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二、多选题
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，B1，B四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
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解析：因为O∈AC，AC 平面ACC1A1，所以O∈平面ACC1A1.因为O∈BD，BD 平面C1BD，所以O∈平面C1BD，所以O 是平面ACC1A1 和平面C1BD 的公共点.同理可得，点M 和C1 都是平面ACC1A1 和平面C1BD 的公共点，所以C1，M，O三点在平面C1BD 与平面ACC1A1 的交线上，即C1，M，O三点共线.又C C1O，所以C1，M，O，C四点共面，故A、B正确;根据异面直线的判定定理可得BB1 与C1O 为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确;根据异面直线的判定定理可得DD1 与MO 为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确.
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8.如图为一正方体的展开图，则在原正方体中 (　　)
A.AB∥CD
B.AB⊥CD
C.直线AB与EF所成的角为60°
D.直线CD与EF所成的角为60°
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解析：作出原正方体如图所示，由图可知，AB与CD不平行，所以A错误;根据正方体的性质可知BH∥AG，BH=AG，所以四边形ABHG是平行四边形，所以AB∥GH，而GH⊥CD，所以AB⊥CD，所以B正确;根据正方体的性质可知，△ABC是等边三角形，直线AB与EF所成的角为∠BAC，所以直线AB与EF
所成的角为60°，所以C正确;又△EFD是等
边三角形，直线CD与EF所成的角为∠FCD，
所以直线CD与EF所成的角为60°，所以D正确.
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9.(2025·重庆名校联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线一定与直线OP异面的是 (　　)
A.AB1 B.A1C
C.A1A D.AD1
√
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解析：对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，
当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确;对于B，如图②(右栏)，连接A1C，A1C1，AC，因为A1C 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1C，P 平面AA1C1C，
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所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确;对于C，如图②，因为A1A 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1A，P 平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确;
对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，因为AD1 平面AD1C，O∈平面AD1C，O AD1，P 平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确.故选BCD.
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三、填空题
10.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β=l，m α，n β，m∩n=P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为______.
解析：∵m α，n β，m∩n=P，∴P∈α且P∈β，又α∩β=l，∴点P在直线l上，即P∈l.
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P∈l
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC=2，D是BC的中点，若AA1=，则异面直线A1C与AD所成角的大小为_____.
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60°
解析：如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角，连接D1C.∵A1B1=A1C1，∴A1D1⊥
B1C1，由已知可得A1D1=1，D1C=，A1C=2，∵A1C2=A1+D1C2，∴△A1D1C为直角三角形且∠A1D1C=90°.在Rt△A1D1C中，A1C=2，CD1=，∴∠CA1D1=60°.
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四、解答题
12.(10分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1内接于圆柱，若D，E分别为A1B1，A1C1的中点.
(1)求证：D，E，C，B四点共面;(5分)
证明：连接DE(图略)，由于D，E分别为A1B1，
A1C1的中点，所以DE∥B1C1.又BC∥B1C1，
所以DE∥BC，所以D，E，C，B四点共面.
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(2)若直线BD与直线CE交于点P，求证：点P在直线AA1上.(5分)
证明：由P∈BD，BD 平面A1ABB1，得P∈平面A1ABB1.由P∈CE，CE 平面A1ACC1，得P∈平面A1ACC1.又平面A1ABB1∩平面A1ACC1=AA1，所以P∈AA1.
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13.(10分)已知ABCD是空间四边形，如图所示(M，N，E，F分别是AB，AD，BC，CD上的点).
(1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线;(5分)
解：证明：因为M∈AB，N∈AD，
AB 平面ABD，AD 平面ABD，所以MN 平面ABD.
因为E∈CB，F∈CD，CB 平面CBD，
CD 平面CBD，所以EF 平面CBD.
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由于直线MN与直线EF相交于点O，
即O∈MN，O∈平面ABD，O∈EF，O∈平面CBD.
又平面ABD∩平面CBD=BD，则O∈BD，
所以B，D，O三点共线.
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(2)若E，N为BC，AD的中点，AB=6，DC=4，NE=2，求异面直线AB与DC所成角的余弦值.(5分)
解：连接BD，取BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示，
在△ABD中，点N，G分别是AD和BD的中点，且AB=6，
所以GN∥AB，且GN=AB=3，
在△CBD中，点E，G分别是BC和BD的中点，且DC=4，
所以GE∥DC，且GE=DC=2，
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则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的补角.
又NE=2，由余弦定理得cos∠EGN=
==>0，
故异面直线AB与DC所成角的余弦值为.
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13课时跟踪检测(四十九)　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1.如果直线a 平面α,直线b 平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则 (　　)
A.l α B.l α
C.l∩α=M D.l∩α=N
2.已知a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,α∩β=c,a α,b β,则“a,b相交”是“a,c相交”的 (　　)
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在三棱锥P ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是棱AB,PA,AC的中点,则∠DEF= (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有 (　　)
A.1条或2条 B.2条或3条
C.只有2条 D.1条或2条或3条
5.如图,在四棱台ABCD A1B1C1D1中,正方形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2,O1O2⊥平面ABCD,O1O2=3,AB=5,A1B1=4,则直线O1O2与直线AA1所成角的正切值为 (　　)
A. B.
C. D.
6.已知在四面体ABCD中,AD=DC=AC=CB=1,则当四面体ABCD的体积最大时,异面直线AB与CD所成角的余弦值为 (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
7.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O是DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是 (　　)
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,B1,B四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
8.如图为一正方体的展开图,则在原正方体中 (　　)
A.AB∥CD
B.AB⊥CD
C.直线AB与EF所成的角为60°
D.直线CD与EF所成的角为60°
9.(2025·重庆名校联考)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时,下列直线一定与直线OP异面的是 (　　)
A.AB1 B.A1C
C.A1A D.AD1
三、填空题
10.已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点.若α∩β=l,m α,n β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为　　　　.
11.在直三棱柱ABC A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=,则异面直线A1C与AD所成角的大小为　　　　.
四、解答题
12.(10分)如图,正三棱柱ABC A1B1C1内接于圆柱,若D,E分别为A1B1,A1C1的中点.
(1)求证:D,E,C,B四点共面;(5分)
(2)若直线BD与直线CE交于点P,求证:点P在直线AA1上.(5分)
13.(10分)已知ABCD是空间四边形,如图所示(M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点).
(1)若直线MN与直线EF相交于点O,证明:B,D,O三点共线;(5分)
(2)若E,N为BC,AD的中点,AB=6,DC=4,NE=2,求异面直线AB与DC所成角的余弦值.(5分)
课时跟踪检测(四十九)
1.选A　∵M∈a,a α,∴M∈α,同理,N∈α.又M∈l,N∈l,则l α.故选A.
2.选C　若a,b相交,a α,b β,则其交点在交线c上,故a,c相交;若a,c相交,则a,b为相交直线或异面直线.综上所述,“a,b相交”是“a,c相交”的充分不必要条件.故选C.
3.选D　如图所示,因为E,D,F分别为棱AB,PA,AC的中点,
所以DE∥PB,EF∥BC.又因为PB⊥BC,所以DE⊥EF,所以∠DEF=90°.故选D.
4.选D　当平面α过平面β与平面γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β∥γ时,平面α与平面β,γ各有1条交线,这三个平面有2条交线;当平面α,β,γ两两相交时,这三个平面有3条交线.
(考虑平面α与平面β,γ的相交情形时,注意做到不重不漏)故选D.
5.选B　连接AO1,A1O2,作A1E⊥AO1,垂足为E,
则∠AA1E或其补角即为直线O1O2与直线AA1所成的角,所以AE=AO1-A1O2=-=,故tan∠AA1E===.故选B.
6.选D　∵AD=DC=AC=1,∴△ACD的面积为定值,∴当CB⊥平面ACD时,四面体ABCD的体积最大.当四面体ABCD的体积最大时,分别取AD,AC,BC的中点E,F,G,连接EF,EG,FG(图略),则EF∥DC,FG∥AB,∴∠EFG即异面直线AB与CD所成的角或其补角.
(构造平行线,将异面直线所成的角转化为同一平面内两条相交直线所成的角)
连接CE,∵CB⊥平面ACD,AD=DC=AC=CB=1,∴AB==,EG==1,EF=CD=,
FG=AB=,∴在△EFG中,由余弦定理知cos∠EFG=-,∴异面直线AB与CD所成角的余弦值是.
7.选AB　因为O∈AC,AC 平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1.因为O∈BD,BD 平面C1BD,所以O∈平面C1BD,所以O 是平面ACC1A1 和平面C1BD 的公共点.同理可得,点M 和C1 都是平面ACC1A1 和平面C1BD 的公共点,所以C1,M,O三点在平面C1BD 与平面ACC1A1 的交线上,即C1,M,O三点共线.又C C1O,所以C1,M,O,C四点共面,故A、B正确;根据异面直线的判定定理可得BB1 与C1O 为异面直线,故C1,O,B1,B四点不共面,故C不正确;根据异面直线的判定定理可得DD1 与MO 为异面直线,故D1,D,O,M四点不共面,故D不正确.
8.选BCD　作出原正方体如图所示,
由图可知,AB与CD不平行,所以A错误;根据正方体的性质可知BH∥AG,BH=AG,所以四边形ABHG是平行四边形,所以AB∥GH,而GH⊥CD,所以AB⊥CD,所以B正确;根据正方体的性质可知,△ABC是等边三角形,直线AB与EF所成的角为∠BAC,所以直线AB与EF所成的角为60°,所以C正确;又△EFD是等边三角形,直线CD与EF所成的角为∠FCD,所以直线CD与EF所成的角为60°,所以D正确.
9.选BCD　对于A,如图①,连接AB1,C1D,BD,当P为BC1的中点时,OP∥DC1∥AB1,故A不正确;对于B,如图②,连接A1C,A1C1,AC,因为A1C 平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O A1C,P 平面AA1C1C,所以直线A1C与直线OP一定是异面直线,故B正确;对于C,如图②,因为A1A 平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O A1A,P 平面AA1C1C,所以直线A1A与直线OP一定是异面直线,故C正确;对于D,如图③,连接AD1,D1C,AC,因为AD1 平面AD1C,O∈平面AD1C,O AD1,P 平面AD1C,所以直线AD1与直线OP一定是异面直线,故D正确.故选BCD.
10.解析:∵m α,n β,m∩n=P,∴P∈α且P∈β,又α∩β=l,∴点P在直线l上,即P∈l.
答案:P∈l
11.解析:
如图,取B1C1的中点D1,连接A1D1,则AD∥A1D1,∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角,连接D1C.∵A1B1=A1C1,∴A1D1⊥B1C1,由已知可得A1D1=1,D1C=,A1C=2,∵A1C2=A1+D1C2,∴△A1D1C为直角三角形且∠A1D1C=90°.在Rt△A1D1C中,A1C=2,CD1=,∴∠CA1D1=60°.
答案:60°
12.证明:(1)连接DE(图略),由于D,E分别为A1B1,A1C1的中点,所以DE∥B1C1.又BC∥B1C1,所以DE∥BC,所以D,E,C,B四点共面.
(2)由P∈BD,BD 平面A1ABB1,得P∈平面A1ABB1.由P∈CE,CE 平面A1ACC1,得P∈平面A1ACC1.又平面A1ABB1∩平面A1ACC1=AA1,所以P∈AA1.
13.解:(1)证明:因为M∈AB,N∈AD,
AB 平面ABD,AD 平面ABD,所以MN 平面ABD.
因为E∈CB,F∈CD,CB 平面CBD,CD 平面CBD,所以EF 平面CBD.由于直线MN与直线EF相交于点O,
即O∈MN,O∈平面ABD,O∈EF,O∈平面CBD.
又平面ABD∩平面CBD=BD,则O∈BD,
所以B,D,O三点共线.
(2)连接BD,取BD的中点G,并连接GN,GE,如图所示,
在△ABD中,点N,G分别是AD和BD的中点,且AB=6,所以GN∥AB,且GN=AB=3,
在△CBD中,点E,G分别是BC和BD的中点,且DC=4,所以GE∥DC,且GE=DC=2,
则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角,即∠EGN或∠EGN的补角.
又NE=2,由余弦定理得cos∠EGN=
==>0,故异面直线AB与DC所成角的余弦值为.

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