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2024-2025学年广东省惠州市光正实验学校高二下学期期中考试
数学试卷(A卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知的展开式中的所有二项式系数之和为，则展开式中的系数为 ．
A. B. C. D.
5.光正实验学校高二年级拟举行“诗词”、“历史”、“地理”三场不同主题的知识竞答活动，要求各班各派名学生分别参加这三个主题的竞答某班准备从甲、乙、丙、丁位同学中选派位，已知甲不参加“诗词”主题的竞答活动，则该班不同的选派方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.在中，角所对的边分别为，若，则为( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7.某次调研测试中，考生成绩服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取名考生，该考生的成绩高于的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的动点，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 是偶函数
C. 将的图象向右平移个单位后，得到的图象关于原点对称
D. 时，的值域为
10.已知直线，则下列说法错误的是( )
A. 直线的纵截距是 B. 点在直线上，则
C. 直线与圆相切 D. 直线与直线间的距离为
11.假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌乙品牌其他品牌，表示买到的是优质品，用表示事件发生的概率，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为 ．
13.若，记，则 ．
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
求证：平面；
若是的中点，求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球球的形状和大小都相同，抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元．
求的分布列与数学期望；
若企业有名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值保留到整数．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．
18.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若，求函数的极值；
若，求函数的单调区间．
19.本小题分
过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．

求抛物线的方程；
利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点异于，两点，过作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边，于，，证明：．
参考答案
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15.解：因为，，所以，
所以；
因为，
所以，
所以
．

16.解：因为，平面，平面，
所以平面；
以，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
因为底面是直角梯形，，，，
所以，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，所以，令，则，
设与平面所成角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为．

17.解：依题意可得的可能取值为，，，，
则，，
，，
的分布列为：
．
由可知给员工颁发奖金的总数为万元，
设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，
所以获得奖金的职工数约为
人，
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为万元．

18.解：当时，，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
时，，，
令，则对恒成立，
所以在上单调递减，又，
所以时，，则，在上单调递增；
时，，则，在上单调递减；
故时取得极大值，无极小值；
由题意可知，函数的定义域为，所以，
设，则，
令，则，解得或舍，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数的单调递增区间为．

19.解：由题意得，，
由，
所以
设，
联立
设方程的两根为，则，
由，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
故的面积．
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为．
由知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
．
所以，即．
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