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2024-2025学年广东省东莞市光明中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的导数等于( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为的图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
3.在的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.用数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A. B. C. D.
6.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
7.设随机变量服从二项分布，则( )
A. B. C. D.
8.若函数在上单调递增，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于二项式，下列说法正确的是( )
A. 其展开式一共有项 B. 其展开式的二项式系数和为
C. 其展开式的所有项的系数和为 D. 其展开式的第三项为
10.已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则独立
C. 若独立，则
D.
11.已知函数，则( )
A. B. 有两个极值点
C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知变量服从分布，且，则
13.的展开式中常数项是 用数字作答
14.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设．
求的值；
求的值．
16.本小题分
若，求：
的单调递减区间；
在上的最小值和最大值．
17.本小题分
某篮球运动员投篮的命中率为，现投了次球．
求恰有次命中的概率；
设命中的次数为，求．
18.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若在上恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若有两个零点，且，求的取值范围；
在的条件下，求证：．
参考答案
1.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】在中令，则．
在中令，
则，故．

16.【详解】，
当或时，；当时，，
故的增区间为，减区间为．
由可得在为减函数，在上为增函数，
故，．

17.【详解】设为：“投了次球，恰有次命中”，故．
由题设可得，
故，，
，，
故．

18.【详解】时，．
时，单调递增，
时，单调递减，
的增区间为，减区间为；
由在上恒成立，故，
设，则．
当时，单调递增；当时，单调递减，
故，故．

19.【详解】，
当时，，当时，，
故在上为单调递减，在上为单调递增，
因为有两个零点，故，故．
当时，，而，
设，则，故在上为增函数，
故，故，
而，故当时，确有两个实数根，
综上，．
由可得，
先证明：，即证，
而，故即证，
而，故即证，
即证，而，
故即证：，
设，则，
设，则，
故在上为减函数，故，
故在上为增函数，故即成立，
故．
设，则，
故在上为增函数，故，
故，故，
故．

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