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2024-2025学年广东省惠州市光正实验学校高一下学期期中考试
数学试卷(B卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则的坐标是( )
A. B. C. D.
3.圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则此圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，内角的对边分别是，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
8.下列正确的是( )
A. 过球面上两点与球心有且只有一个平面
B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于复数的说法，正确的是( )
A. 的虚部为 B.
C. 是纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.下列四个命题中，真命题是( )
A. 四边形可以确定一个平面
B. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
C. 若直线，相交，且平面，则直线不在平面内
D. 若直线平面，直线平面，则
11.在中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是( )
A. 若为锐角，则
B. 若为锐角，则
C. 若，则
D. 若为锐角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是关于的实系数方程的一个复数根，则 ．
13.已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
14.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在边长为的正方体中，为中点，
证明：平面；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数．
求实数及；
设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，，的夹角是，计算
计算，；
求和的夹角的余弦值．
18.本小题分
在中，分别是内角的对边，且．
求；
若，，求的面积．
19.本小题分
已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
求圆锥的底面积；
在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.【详解】在边长为的正方体中，设，交于点，连结，
是中点，而为中点，则，
又平面，平面，所以平面．
在边长为的正方体中，平面，
所以三棱锥的体积为．

16.【详解】由，得，
，
又为纯虚数，则，解得，，
所以．
由知，．
又复数所对应的点在第一象限，，解得，
所以实数的取值范围是．

17.【详解】由题可得，
，所以；
，
设和的夹角为，
所以．

18.【详解】因为，
由正弦定理得．
再由余弦定理得，
又因为，所以．
因为，，
代入得，
解得．
故的面积．

19.【详解】沿母线剪开，侧展图如图所示：
设，在半圆中，，弧长，这是圆锥的底面周长，
所以，
所以，故圆锥的底面积为；
设圆柱的高，，
在中，，
∽，所以，即，，
圆柱侧面积为：，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大．

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